Derivada sucesiva en función trigonométrica
Summary
TLDREl script del video ofrece una lección sobre derivadas sucesivas, iniciando con la introducción de las notaciones prima y de Leibniz. Seguidamente, el instructor ilustra cómo calcular la primera y segunda derivada de funciones trigonométricas como el seno, utilizando ejemplos prácticos y fórmulas de derivadas. El enfoque se centra en la manipulación algebraica y la aplicación de reglas de derivación, como la del producto, para simplificar y resolver ejercicios avanzados. El objetivo es enseñar a los estudiantes a manejar derivadas más complejas y prepararlos para temas más avanzados de cálculo.
Takeaways
- 📚 Hoy se discuten derivadas sucesivas, una extensión del concepto de derivadas que se vio anteriormente.
- 📝 Se presenta una tabla para recordar las fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas.
- 🔍 Se enfatiza la importancia de entender la diferencia entre derivar el ángulo y la función seno en sí.
- 📐 Se trabaja con la función seno de 3x al cuadrado, destacando la necesidad de aplicar las reglas de derivación adecuadamente.
- 👉 Se muestra el proceso de calcular la primera derivada, destacando la multiplicación y el uso de las fórmulas de derivadas trigonométricas.
- 📉 Se destaca la necesidad de simplificar el resultado de la primera derivada para facilitar el cálculo de la segunda derivada.
- 📚 Se aplica la regla del producto para calcular la segunda derivada, recordando a los estudiantes cómo se maneja esta técnica.
- 📝 Se menciona la importancia de recordar las fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas, como la derivada del coseno.
- 🔢 Se ilustra cómo se maneja la simplificación algebraica en el proceso de derivación, especialmente en la segunda derivada.
- 📝 Se concluye con la segunda derivada calculada, sugiriendo que hay más formas de simplificar el resultado si se desea.
- 👋 Se despiden los estudiantes y se alude a que se verán en el próximo vídeo sobre derivadas sucesivas.
Q & A
¿Qué se discute en el video de hoy según el guion?
-El video de hoy trata sobre derivadas sucesivas, incluyendo la notación prima y la notación de Leibniz, y se trabaja con funciones trigonométricas más allá de las lineales.
¿Cuál es la derivada de la función seno en términos de su notación trigonométrica?
-La derivada del seno de una variable 'v' es el coseno de 'v', que se denota como cos(v).
¿Cómo se describe la derivada de seno de una función en términos de la notación de Leibniz?
-La derivada de seno de una función 'v' en la notación de Leibniz se escribe como cos(v) * dv/dx, donde 'v' es la función original y 'dx' representa la derivada con respecto a 'x'.
¿Qué significa el número 7 en la fracción que se menciona en el guion?
-El número 7 en la fracción se refiere a un término constante que se separa para facilitar el cálculo de la derivada, resultando en un séptimo de 'x' y el seno de '3x' al cuadrado.
¿Cómo se calcula la primera derivada del término 'seno de 3x' al cuadrado según el guion?
-Para calcular la primera derivada, se toma el coseno de '3x' al cuadrado y se multiplica por la derivada del ángulo, que es '3x', y se simplifica el resultado.
¿Qué es la regla del producto y cómo se aplica en el cálculo de la segunda derivada según el guion?
-La regla del producto es una técnica para derivar una función que es el producto de dos otras funciones. Se aplica sumando la multiplicación del primer factor por la derivada del segundo más la derivada del primer factor por el segundo factor.
¿Cuál es la segunda derivada del término '18 séptimos menos' según el guion?
-La segunda derivada del término '18 séptimos menos' se calcula utilizando la regla del producto y resulta en un término que incluye el coseno de '3x' al cuadrado y el seno de '3x' al cuadrado, multiplicado por factores correspondientes.
¿Cómo se simplifica la segunda derivada que se calculó en el guion?
-La segunda derivada se simplifica combinando términos similares y utilizando las propiedades de las funciones trigonométricas, lo que resulta en una expresión más compacta.
¿Qué es la notación prima y cómo se relaciona con las derivadas sucesivas?
-La notación prima, representada por un punto encima de la variable, es una forma de denotar la derivada de una función. Las derivadas sucesivas se calculan tomando la derivada de una función derivada, y se suelen representar con múltiples puntos o nomenclatura similar.
¿Por qué es importante anotar las fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas en el guion?
-Es importante anotar las fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas porque son necesarias para realizar los cálculos de derivadas sucesivas y para entender el proceso de derivación en el contexto de las funciones trigonométricas.
Outlines
📚 Introducción a derivadas sucesivas y trigonométricas
El primer párrafo presenta una lección sobre derivadas sucesivas, enfocándose en la derivada de funciones trigonométricas como el seno. Se menciona la importancia de conocer las fórmulas de derivadas para funciones trigonométricas directas y se da un ejemplo práctico de cómo calcular la primera derivada de una función que involucra al seno de un ángulo multiplicado por un número. Se destaca la diferencia entre derivar el ángulo y la función en sí, y se procede a simplificar la expresión para obtener la primera derivada.
🔍 Proceso detallado para calcular la segunda derivada
El segundo párrafo continúa el tema de las derivadas sucesivas, específicamente la segunda derivada. Se describe el proceso de simplificación y aplicación de la regla del producto para calcular la segunda derivada de la función dada. Se destaca la necesidad de recordar las formulas de derivadas de funciones trigonométricas y se ejemplifica cómo se maneja la multiplicación y la derivación de términos que involucran a funciones trigonométricas al cuadrado. Se concluye con la expresión de la segunda derivada, sugiriendo que aún hay espacio para simplificarla más.
🎉 Conclusión del ejemplo de derivadas sucesivas
El tercer y último párrafo cierra el video con un breve resumen de lo aprendido y una expresión de satisfacción por el progreso en el tema de las derivadas sucesivas. Se alude a la intención de continuar explorando este tema en futuras lecciones y se despiden a los espectadores con la promesa de más contenido sobre derivadas en próximos videos.
Mindmap
Keywords
💡Derivadas sucesivas
💡Notación prima
💡Notación de Leibniz
💡Funciones trigonométricas
💡Derivada del seno
💡Ángulo variable
💡Primera derivada
💡Segunda derivada
💡Regla del producto
💡Simplificación
💡Concordancia de signos
Highlights
El día de hoy se presenta un nuevo video sobre derivadas sucesivas.
Se utiliza la notación prima y la notación de Leibniz para describir las derivadas.
Se incluye un ejercicio para derivadas trigonométricas, ampliando el conocimiento más allá de las derivadas elementales.
Se destaca la importancia de conocer las fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas directas.
Se menciona que la derivada de seno es coseno por el ángulo, utilizando la notación de derivada.
Se presenta el proceso de calcular la primera derivada de la función dada, destacando la necesidad de simplificación.
Se destaca la importancia de entender que el cuadrado está en el ángulo y no en toda la función seno.
Se realiza la primera derivada, obteniendo una expresión que incluye el coseno de 3x al cuadrado.
Se simplifica la primera derivada, obteniendo una fórmula más manejable para el siguiente paso.
Se procede a calcular la segunda derivada, utilizando la fórmula de derivada del producto.
Se aplica la regla del producto para derivar la expresión que involucra el coseno de 3x al cuadrado.
Se destaca la necesidad de recordar las reglas de derivación para manejar correctamente el proceso.
Se obtiene la segunda derivada, presentando una expresión que incluye términos como seno y coseno de 3x al cuadrado.
Se sugiere que la segunda derivada puede ser simplificada aún más para una presentación más clara.
Se concluye el video con una revisión de los pasos y una invitación a los siguientes videos sobre derivadas sucesivas.
Transcripts
muy buenos días chicas y chicos el día
de hoy estaremos viendo un nuevo vídeo
de derivadas sucesivas como ustedes
pueden ver aquí les vuelvo a anotar aquí
no está tablita con la que nosotros
sabemos que podemos describir las
derivadas tanto en notación prima como
una notación de leibniz y como ustedes
pueden ver además he agregado en el
ejercicio para trigonométricas que
estaremos viendo en este caso para
trabajar algo más allá de las elas
hebraicas como lo que vimos en el primer
vídeo entonces vamos por este segundo
ejercicio de derivadas sucesivas
para poder determinar la derivada de
esta función ustedes deberán tener a la
mano su formulario con las derivadas de
funciones trigonométricas directas en
este caso como ustedes saben y se los he
mostrado en vídeos anteriores la
derivada de un seno es
kosen o por la derivada del ángulo ahora
en este caso
ustedes saben según el formulario que yo
les he dado dice la derivada del seno de
v es igual a coseno de eeuu por su prima
entonces si ustedes tienen esas fórmulas
anotadas por aquí voy a aprovechar para
anotarse las por este medio dice la
derivada con respecto a x del seno de
uno es igual al coseno dv
por prima
sin embargo chicos ustedes están viendo
de la misma manera que yo este número 7
que está en la parte del denominador de
la fracción entonces lo que vamos a
hacer es separarlo para que para
trabajarlo como una de constante por
unos va a quedar un séptimo x
el seno de 3x
elevado al cuadrado ojo que ese cuadro
está específicamente en el ángulo de la
función seno no está situado para toda
la función seno sino únicamente para el
ángulo chicos es muy diferente ok nos va
a causar confusión a esta parte
ok ahora que ya tenemos esto bien
definido ya podemos implementar y
calcular nuestra primera derivada
primera derivada de lo que tenemos aquí
un séptimo por la derivada de seno de
uno en este caso seno de 3x al cuadrado
sería coseno
de 3x dejamos al cuadrado
por su prima es decir la derivada de lo
que es el ángulo en este caso sería
x
a la n-121 por prima que sería la
derivada del 3
observen qué es lo que hemos hecho
tomamos al 13 x y el valor al cuadrado
lo colocamos como n que es el 2 que está
aquí por el 3x que es el mismo que
tenemos acá es el mismo que esté elevado
a la n es decir a la 2 menos uno por la
derivada de lo que está dentro del
paréntesis ok ya que tenemos todo esto
de esta forma vamos a continuar para
simplificar nuestro procedimiento nos
pidieron segunda derivada estamos en la
primera derivada todavía ok
ahora todo esto está manera de
multiplicación todo esto qué quiere
decir que puedo tomar todos los números
multiplicarlos por este 1 y simplificar
los desde antes ustedes va a ser 2 x 3 x
x 3 3 por 3 99 por 2 18 18 x entre 7 por
el coseno de 3x y esto elevado al
cuadrado esta es nuestra primera
derivada para este ejercicio ahora que
tenemos
una vez que ustedes ya hayan obtenido la
primera derivada de su ejercicio
vamos a ir a buscar la segunda derivada
tal y como se nos está pidiendo de este
lado entonces yo ya he copiado el
ejercicio a una segunda página que
tenemos aquí y como ustedes pueden ver
aquí están ya los cálculos que hicimos
en la hoja pasada ahora lo que vamos a
hacer es volver a aplicar la derivada a
este resultados habíamos llegado hasta
aquí yo aquí ya lo he simplificado como
ustedes pueden ver estos 18 séptimos
están separados de la x la x coseno de 3
x al cuadrado que está acá
y los he dejado a un ladito para poder
usar mi técnica que sí me gusta mucho
trabajar esta fórmula que dice constante
por uno se quedan las constantes y se
deriva lo que contenga las variables
entonces aquí vamos a hacer lo siguiente
se va a quedar entonces
mi prima es igual se queda a los 18
séptimos chicos y se va a derivar todo
lo demás aquí observen ustedes cómo
vamos a requerir d
primero seleccionar qué fórmula vamos a
utilizar yo aquí en simple vista puedo
observar aún y puede observar a v veo
como algo multiplicándose por ahí verdad
entonces como veo esta multiplicación
ustedes recordarán hace unos vídeos
atrás vimos lo que era la regla del
producto y la regla del cociente pues
para este caso particular se van a
necesitar acordar de la regla de él
producto chicos entonces vamos a tomar
los datos que tenemos aquí y vamos a
seguir lo que dice la regla del producto
la regla del producto recordándoles por
ahí no voy a notar la carita dice la
derivada con respecto a x de x v es
igual a el primero por la derivada del
segundo más el segundo por la derivada
del primero esa es nuestra fórmula que
siempre estamos trabajando chicos
entonces vamos a hacerlo ahora con
nuestra xy con nuestro coche no de 3 x
al cuadrado en este caso nos va a ser
tablita porque forman cante el espacio
sin embargo ustedes saben gay me encanta
poner tablas sí entonces vamos a hacer
lo siguiente
el primero el primero es la equis la
derivada del segundo chicos cuál es la
derivada de nuestro coseno la derivada
de coseno si ustedes se van a su
formulario van a ver que es menos seno
del ángulo por la derivada del ángulo
entonces va a ser menos seno
- seno de 3x al cuadrado por la derivada
del ángulo que otra vez como de chicos 2
por 13 x
al cuadrado
a la menos -1 entonces vamos a quitar
uno aquí de una vez que los restamos
para que lo anotamos este paso pues está
muy fácil por
que se n por uno a la n 1 por la
derivada de lo de adentro está luego
aquí yo considero que se ve un poquito
no me gusta entonces le voy a poner un
paréntesis por aquí un corchete en este
caso la llavecita para que se vea la
diferencia entre paréntesis y corchete y
llave que normalmente se pone por fuera
pero también a veces se ponen por
adentro algunos autores se oponen no me
gusta bien sí pero en este caso como ya
puse mucho el paréntesis no quiero que
vaya a causar confusiones luego aquí lo
voy a poner un más porque ya hice el
primero por la deriva del segundo más el
segundo es decir en este caso es el
coseno
de 3x al cuadrado por la derivada del
primero que sería 1 esto se va a quedar
así no vamos a hacer más ok entonces que
me va a quedar que mi prima
nieve y prima es igual
a los 18 séptimos que ya teníamos aquí
18 séptimos
menos
es por 39 por 218 va a ser menos 18 x
cuadrada
recordemos que estamos multiplicando así
chicos 3 por 3 9 por 2 18 x por xx
cuadrada el menos es el menos del seno
que está aquí x
y vamos a votar y ya de una vez el seno
de 3x elevado al cuadrado
el coseno
de 3x elevado al cuadrado
ahí está así se queda ok
pues esto que tienen aquí ustedes ya es
la segunda derivada sin embargo todavía
si gustan la pueden simplificar más
si la simplificamos más
aquí les quedaría un 324 negativo
que mi prima es un
- 324
por la equis cuadrada
en 37 chicos
por el seno de 3x al cuadrado así un
poquito feliz de que la letra pero ahí
vamos más los 18 séptimos
del coseno de 3x y todo esto al cuadrado
bueno chicos este es uno más de los
ejemplos que tenemos para este tema
esperemos que les haya gustado nos vemos
en el próximo vídeo de derivadas
sucesivas
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