La integral: qué es, de dónde surge y para qué sirve
Summary
TLDREste vídeo ofrece una visión entre rigurosa y divulgativa del concepto de integral, destacando su dificultad comparada con las derivadas y su constante desarrollo. Se introduce la integral como la operación inversa de la derivada, pero también como una herramienta de medida con múltiples aplicaciones. Se explora su historia, desde los métodos de 'agotamiento' de la antigua Grecia hasta el desarrollo del cálculo integral por Newton y Leibniz, pasando por las contribuciones de Riemann y la generalización de la integral de Lebesgue. El video también menciona las actuales investigaciones en integrales de procesos estocásticos, demostrando que el estudio de la integral sigue siendo un área activa de la matemática.
Takeaways
- 📚 La integral es un tema complejo y en constante desarrollo, diferenciado del cálculo diferencial.
- 🔍 Mientras cualquiera puede aprender a derivar cualquier función, no todos pueden integrar todas las funciones.
- 🎯 La definición de la derivada es clara hoy en día, pero la de la integral ha ido en constante generalización.
- 📉 La integral se originó históricamente por la necesidad de medir áreas, perímetros y volúmenes en la geometría.
- 📏 El símbolo de integración es una 'S' deformada que representa la suma infinita, relacionada con el sumatorio para cantidades discretas.
- 📐 El método de 'agotamiento' desarrollado por los griegos antiguos ya tenía la noción de aproximar áreas mediante polígonos regulares.
- 📈 La integral de Riemann, formalizada por Riemann, se basa en subdividir el intervalo en subintervalos y calcular el área mediante rectángulos.
- 📊 La integral de Lebesgue es una generalización más avanzada que se basa en la teoría de la medida y se utiliza para conjuntos más complejos.
- 🚀 La integral también se ha generalizado en el ámbito de procesos estocásticos, como se vio con la integral de Itô y la integral de Stieltjes.
- 🌐 La geometría de Riemann, con sus contribuciones en la teoría de la relatividad y la hipótesis de Riemann, es una extensión importante del concepto de integral.
- 🔬 La integral sigue siendo un tema de investigación en áreas como la mecánica cuántica, donde se explora su aplicación en trayectorias probabilísticas.
Q & A
¿Qué es la integral y cómo se diferencia de la derivada?
-La integral es una operación matemática que se utiliza para calcular áreas, volúmenes y otros conceptos relacionados con la medición, mientras que la derivada es una operación que se utiliza para encontrar la tasa de cambio de una función en un punto específico.
¿Por qué se dice que la integral es más difícil que la derivada?
-La integral es considerada más difícil que la derivada porque, mientras cualquiera puede aprender a derivar cualquier función, no todas las funciones son integrables, y la definición de integración ha ido en constante generalización a lo largo del tiempo.
¿Cuál es la relación entre la integral y el teorema fundamental del cálculo?
-El teorema fundamental del cálculo establece que la integral es la operación inversa de la derivada, lo que permite calcular áreas delimitadas por curvas utilizando funciones y sus derivadas correspondientes.
¿Qué es el método de agotamiento y cómo está relacionado con la integral?
-El método de agotamiento es una técnica desarrollada en la antigua Grecia que se utilizaba para calcular áreas y perímetros de figuras geométricas. Es la base intuitiva de la integral moderna, que implica la suma de cantidades infinitesimales para aproximar áreas bajo curvas.
¿Qué es el símbolo de integración y qué representa?
-El símbolo de integración es una 'S' deformada que representa la suma de cantidades infinitesimales. Proviene de la palabra 'suma' y se utiliza para indicar que se está realizando una integración.
¿Qué es la integral de Riemann y cómo se calcula?
-La integral de Riemann es una forma de calcular la integral dividiendo el intervalo en subintervalos y utilizando rectángulos para aproximar el área bajo la curva. Se toma el límite de esta suma cuando el número de subintervalos tiende a infinito.
¿Qué es la integral de Lebesgue y cómo se diferencia de la integral de Riemann?
-La integral de Lebesgue es una generalización de la integral de Riemann que se basa en la teoría de la medida. Se utiliza para integrar funciones con propiedades más complejas y permite integrar sobre conjuntos de medida cero.
¿Qué es la integral de Itô y cómo está relacionada con los procesos estocásticos?
-La integral de Itô es una forma de integral que se utiliza en los procesos estocásticos, como los movimientos de precios en bolsa. Es una generalización de la integral para funciones que toman valores aleatorios a lo largo del tiempo.
¿Cómo se relaciona la integral con la geometría y la medición de áreas?
-La integral está estrechamente ligada a la geometría y la medición de áreas, ya que nace de la necesidad de calcular áreas delimitadas por curvas y ejes en el plano. La integral de Riemann, en particular, se utiliza comúnmente para calcular estas áreas.
¿Por qué la integral aún está en desarrollo y cómo está involucrada en áreas de investigación actuales?
-La integral aún está en desarrollo porque hay generalizaciones y aplicaciones nuevas que surgen en áreas como la mecánica cuántica y la probabilidad. La integral es una herramienta fundamental en el estudio de fenómenos que involucran procesos estocásticos y mediciones de áreas y volúmenes en diferentes contextos.
Outlines
🔍 Introducción a la Integral
El vídeo comienza explicando la complejidad de la integral en comparación con la derivada. Se destaca que, aunque cualquiera puede aprender a derivar funciones, la integración es un proceso más difícil y en constante desarrollo. Se introduce la integral como la operación inversa de la derivada, pero se enfatiza que su concepto es mucho más amplio. El objetivo del vídeo es explorar cómo ha evolucionado la idea de la integral, su origen, y cómo ha sido desarrollada a lo largo del tiempo.
📏 El Problema de Medir Áreas y Volúmenes
Se explica cómo surgió la necesidad de la integral para resolver problemas de medición, como el cálculo de áreas, perímetros y volúmenes. La discusión se remonta a la antigua Grecia, donde se usaban métodos rudimentarios de integración para estos fines. Se menciona que la idea de integrar ya existía en el antiguo Egipto, aunque de manera muy diferente a cómo la entendemos hoy en día. Se introduce el símbolo de la integral como una deformación de la letra 'S' de 'suma', que representa la suma infinita de cantidades pequeñas.
🏛️ Método de Exhausión y la Idea Intuitiva de la Integral
Se describe el método de exhausión desarrollado en la antigua Grecia, que permitió a matemáticos como Euclides calcular áreas y perímetros. Este método consistía en aproximar el área de una circunferencia utilizando polígonos regulares inscritos y circunscritos. La clave de este método es que, al aumentar el número de lados del polígono, se aproxima cada vez más al área real de la circunferencia. Esta idea de sumar una cantidad creciente de pequeñas áreas es fundamental en el concepto de la integral.
🧮 Formalización y Avances en la Teoría de la Integral
El vídeo continúa con la historia del desarrollo de la integral, destacando el avance significativo logrado por Newton y Leibniz con el cálculo diferencial e integral. Se menciona el Teorema Fundamental del Cálculo, que conecta la derivada y la integral como operaciones inversas. Posteriormente, se discute la formalización del concepto de integral por Riemann, quien desarrolló una forma rigurosa de calcular áreas bajo curvas utilizando sumas de rectángulos, un método que es la base del cálculo integral en la mayoría de los casos.
Mindmap
Keywords
💡Integral
💡Derivada
💡Cálculo Integral
💡Método de agotamiento
💡Área
💡Teorema Fundamental del Cálculo
💡Geometría de Riemann
💡Integral de Riemann
💡Integral de Lebesgue
💡Cálculo de medidas
Highlights
El video trata sobre la integral desde un punto de vista entre riguroso y divulgativo, destacando su dificultad y desarrollo constante.
Se menciona que cualquier persona puede aprender a derivar funciones, pero la capacidad para integrar varía y está en constante evolución.
La definición de derivada es clara hoy en día, a diferencia de la de integración, que ha ido generalizándose.
La integral es comúnmente vista como la operación inversa de la derivada, según el teorema fundamental del cálculo.
Se explora el desarrollo histórico de la integral, desde la antigua Grecia y Egipto hasta la formalización moderna.
El símbolo de integración es una 'S' deformada que representa la suma infinita, ligado al concepto de sumatorio.
La idea intuitiva de integración es la suma de cantidades infinitesimales, como se usaba en el método de agotamiento en la antigua Grecia.
El método de agotamiento de Eudocso permitía calcular áreas y perímetros de figuras geométricas usando polígonos regulares.
La integral se ha desarrollado para calcular áreas, perímetros y volúmenes, con aplicaciones en geometría y cálculo.
Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial e infinitesimal, demostrando la relación entre derivada e integral.
Se destaca la contribución de Riemann en la formalización de la integral y su impacto en áreas como la relatividad general de Einstein.
La integral de Riemann es la forma más común de integración, pero hay otras como la integral de Lebesgue y la integral de Riemann-Stieltjes.
La integral de Lebesgue generaliza la integral de Riemann, permitiendo la integración de funciones que no son Riemann-integrables.
La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización para procesos estocásticos y series de datos.
La integral es una herramienta de medida con aplicaciones en cálculo, probabilidad y física.
El video también destaca que la integral está en desarrollo y se investigan nuevas generalizaciones, como la integral de camino.
Se invita a los espectadores a participar en discusiones y preguntas sobre el tema del video.
Transcripts
hola bienvenidos en este vídeo vamos a
hablar sobre la integral vamos a hablar
de la integral desde un punto de vista a
mitad de camino entre los rigurosos y
los divulgativos ante me refiero con
esto pues me refiero a que
contrariamente a lo que pasa con las
derivadas por la integración es un tema
muy difícil muy difícil y que está en
constante el desarrollo claro también
está en desarrollo el cálculo
diferencial pero a lo que me refiero con
esto es a lo siguiente
cualquiera puede aprender a derivar
cualquier tipo de función pero nadie
sabe integra todas las funciones y
además la idea de derivada su definición
es algo que está clarísimo a día de hoy
sin embargo la idea de integrar puede
estar o ha ido constantemente
generalizándose y aún a día de hoy pues
hay mucha gente investigando sobre esto
entonces vamos a introducir de forma
intuitiva la idea de integrar de forma
rigurosa la definición de integrante a
nosotros nos interesa la que nosotros
estamos
de forma común y de forma divulgativa
vamos a hacer referencia a otra idea de
integral que existen aunque están en
desarrollo se tiene la idea común de que
la integral es básicamente la operación
inversa de la derivada y si es verdad
que esto es cierto eso lo garantiza el
teorema fundamental del cálculo integral
pero también es verdad que la idea de
integrar es muchísimo más entonces lo
que yo pueda contar en este vídeo es
cómo se ha ido desarrollando esta idea
históricamente de dónde nace qué
necesidad ha ido atendiendo qué
problemas han motivado el desarrollo de
esta idea y todo esto pues para ir un
paso un poco más allá de este simplismo
de ser la operación inversa de la
derivada entonces vamos a empezar
hablando del problema que motiva la
necesidad de esta herramienta
el problema surge de la necesidad de
encontrar una herramienta que nos sirva
para medir para medir el área para pedir
el perímetro para medir un volumen
esta idea como casi todo en las
matemáticas sobre todo lo que se
relaciona con la geometría como en el
caso área y el perímetro del volumen son
conceptos estrechamente ligados a la
geometría pues como digo esta idea
surgen en la antigua grecia aunque en
este caso ahí parece ser que hay algunas
evidencias de que ya en el egipto
antiguo de unos 1500 años antes de
cristo pues ya se usaban métodos de
integración métodos de integración entre
comillas porque cuando hablamos de
métodos de integración no nos estamos
refiriendo no me estoy refiriendo a la
integrac tal cual la conocemos ahora a
nosotros sino a una definición de
integrar pues más genérica que
es precisamente esta definición o esta
idea intuitiva de integral genérica lo
que motiva la integral de ahora es vamos
a hablar un poco de esto todo el que
haya tratado con integrales está
familiarizado con un símbolo que es este
el símbolo de integración este símbolo
no es más que una s que se va deformando
hasta estirarse y nos da el símbolo de
integrar y esta s viene de suma
suma infinita esto es un concepto
estrechamente ligado a el sumatorio el
sumatorio es cuando nosotros estamos
sumando cantidades discretas
y la integral cuando estamos sumando
cantidades continuas cantidad discretas
son los números 0 1 2 3 4 5 y cantidades
continuas sería un intervalo el
intervalo 0 1 es continuo cada
subdivisión nos puede dar un punto que
está dentro del intervalo sin embargo en
la cantidad de discretas entre 0 y el 1
no hay nada tenemos el cero y tenemos el
1 pero entre medias no hay nada para no
irnos mucho por las ramas vamos a volver
a centrarnos en la idea de integrar la
idea intuitiva de integrar es ser la
suma infinita de su manos
infinitamente pequeños en este sentido
en el que podemos decir que el concepto
ya se utilizaba en la antigua grecia eu
docs o un griego desarrolló un método
que se llamaba de excepción o método de
agotamiento que le permitió a
aristóteles calcular el área de una
circunferencia del área y el perímetro
cómo funcionaba este método
pues algo así como que tenía la
circunferencia y dice yo de la
circunferencia no sé calcular ni el área
en el perímetro pero yo puedo meter
dentro de la circunferencia un pentágono
regular es decir un polígono regular de
5 dados y a este tío yo sí le sé
calcular el área por lo tanto digamos
que el área de la circunferencia va a
ser un poco mayor pero va a estar cerca
del área de este ventaja también podría
proceder
circunscribiendo un pentágono regular en
la circunferencia y entonces estaría
acotando superiormente el área de la
circunferencia es decir el valor del
área del pentágono que contiene la
circunferencia en un valor cercano al
área de la circunferencia pero un poco
mayor y este tío dijo bueno y si yo en
vez de usar un pentágono uso un hexágono
no me estaré aproximando más
porque se fija mejor a la circunferencia
y si en vez de usar un hexágono uso un
polígono regular de 7 lado o de otro de
92 de 10 si le voy añadiendo lado a ese
polígono regular yo sigo sabiendo el
área que tiene y ese polígono regular
aproxima mejor al área de la
circunferencia es decir que yo en un
momento determinado estoy tomando el
área de la circunferencia como un caso
límite de un polígono regular de n lados
todos los lados son iguales
y le sabría calcular el área estoy
aproximando me tanto como quiero qué
está pasando aquí esto es exactamente lo
que hemos hablado de ira intuitiva de
integrar la suma infinita de cantidades
que son cada vez más pequeñas
yo aquí tengo un triángulo y tengo cinco
triángulos y aquí tengo un triángulo y
tengo seis triángulos y conforme voy
añadiendo un lado tengo un triángulo más
pero el área del triángulo es cada vez
más pequeña es decir cada este de una
cantidad mayor de triángulo que tiene
una superficie cada vez más pequeña yo
estoy sumando una cantidad cada vez
mayor de cantidades cada vez más
pequeñas y esto es precisamente el
nacimiento de la integración y esto no
tiene nada que ver con el cálculo de una
derivada la derivada ha sido acordáis de
lo que tener otro vídeo tiene que ver
con la necesidad de calcular la tangente
a una curva y esto es la necesidad de
calcular el área de una curva
ahora nos cuadra perfectamente que la
aplicación más importante de la integral
es el cálculo de área porque nace de eso
bueno ya tenemos un poco la idea
intuitiva y de dónde surge esto de la
necesidad de la herramienta de la
integración vamos a ver cómo se
desarrolla y cómo se forma listo
a quienes según se cuenta pues existe un
desarrollo paralelo encima en india en
otros países pero sin producirse ningún
avance significativo con respecto a este
método de agotamiento que desarrollaban
en la antigua grecia
cuando se produce el primer avance
significativo o el primer avance
significativo se produce cuando newton y
leibniz desarrollan el cálculo
diferencial el cálculo infinitesimal que
consiguen demostrar el teorema
fundamental del cálculo donde se
relacionan la operación derivada y la
operación integral como operaciones
naturalmente inversa entonces qué
significa esto que si yo tengo que esta
función a efe es derivada de esta
función s mayúscula es decir que f prima
e igual a efe pues esta función de f me
va a determinar de forma exacta el área
delimitada por esta curva de la función
s minúscula entonces en este sentido se
amplía muchísimo la cantidad de
problemas que se pueden resolver en este
sentido sin embargo la noción de
integral pues aún nos queda bien
formalizada newton y leibniz lo que
consiguen es dar un resultado que nos
permite calcular áreas de muchísimas más
funciones
pero no es un método generalista cuando
se formaliza el concepto cuando se
define de forma rigurosa pues esto ya
fue el amigo riman el amigo rima
otro de los grandísimos riman tiene
muchísimas contribuciones al campo de
las matemáticas tiene una gesta para mi
punto de vista muy loable que es que en
su momento se cuestionó la geometría
euclídea la geometría de euclides que
era la que estaba establecida y la que
era común y aceptada en su época abrió
la mente desarrolló todo un nuevo campo
de conocimiento que permitió a
muchísimas áreas desarrollarse la
geometría diferencia la topología
diferenciar gracias a eso todas estas
contribuciones y las generalizaciones
que hizo en la geometría diferencial hay
una geometría que se conoce como
geometría de riemann la geometría del
imán es la que permite a einstein
enmarcar su teoría general de la
relatividad
y si no tienes bastante con esto pues
tiene otra cosa la hipótesis de riemann
uno de los seis problemas del milenio
que todavía está sin resolver la zeta de
riemann que tiene un montonazo de
aplicaciones en física y en estadísticas
que está entrelazada encima con un
concepto que si cabe
matemáticamente más puro que es la
distribución de los números primos que
es un misterio actualmente hay
superficies de riemann variedades de
yemas geometría de riemann integral de
riemann integral de riemann vamos a
quedarnos con eso integral de 10 más
esa es la integral que nosotros
comúnmente usados como formalizó riman
la integral pues gracias a qué causa ya
había estado por ahí formalizando puesto
del concepto del límite dijo lo
siguiente yo tengo una curva
y voy a calcular el área en el intervalo
ave de esta curva entonces yo voy a
hacer algo parecido al método de
extracción el método de agotamiento que
hacían los griegos esto pues yo cojo el
intervalo lo divido en dos trozos y con
los extremos inferiores me creó dos
rectángulos pues con esos dos
rectángulos yo puedo aproximar el área
de esa integral y dijo por siempre de
utilizar dos cuadrados uso tres la
aproximó mejor igual que hemos visto
aquí del pentágono al hexágono y así
sucesivamente
si yo utilizará cuatro pues me estaría
aproximando bastante más de forma que la
suma de las áreas de estos cuatro
rectángulos aproxima el área de mi curva
y así sucesivamente
yo puedo dividir el intervalo que me dan
en m intervalos iguales m/m sus
intervalos del mismo tamaño cuál va a
ser el tamaño de cada uno de estos sub
intervalos pues bien el tamaño de este
de aquí es d
y si no dividiendo en n trozos pues de
menos a partido n por lo tanto la base
de cada uno de estos rectángulos para
tener este tamaño cuál va a ser la
altura de cada uno de estos rectángulos
pues por ejemplo de este primer
rectángulo yo tendría que ser a la
imagen de la función f
de este segundo rectángulo
la altura va a ser ese de a más justo el
tamaño del intervalo este de menor
partido en el cual será la de este
tercer rectángulo pues será ese de más
de menos a partido n por 2 añadió del
rectángulo estoy todo bases más arriba
que el principio y así sucesivamente
como yo sé que cada rectángulo su área
de base por altura pues yo tendré que el
área de este primero es de menos a
partido m por el pda le tendría que
sumar la de este segundo de menos
partido n por f
+ bms - partido n más la del tercero de
menos a partido ene efe de a más de
menos a partido n por 2 y así
sucesivamente de forma que yo podría
escribir esto en forma de sumatorio de
menos a partido n
de la suma que tengo de menos a partir
de en el factor común
efe
más o menos partido n por acá acá es un
número que va desde cero no sumó nada
hasta una unidad menos de los intervalos
que tenga n 1 cuanto más grande sea la
cantidad de intervalos que tengo mejor
aproximó el área de la curva por lo
tanto dijo pues hago el límite cuando n
tiende a infinito y esto va a ser
exactamente la integral entre a y b de
fx diferencial de aquí
y esto es lo que se conoce como integral
en el sentido de riemann y es la que se
usa el 99 9% de las veces que estamos
integrando en el 99 9% de las
asignaturas en las que estudiamos
integración sin embargo es verdad que a
niveles universitario algunas veces se
da un paso más y se introduce una
generalización de esta integral que se
llama integral de leves que le veis que
generalizó tu esta historia de las
integrales basándose en la teoría de la
medida definió la integral de un
conjunto respecto a una medida por lo
tanto la mayoría de vosotros por ahora
lo único que necesitáis es saber que
existe otro tipo de integral la integran
de leves y no extrañaron cuando escuché
alguna vez integrar en el sentido de
rima o integran en el sentido leves son
dos definiciones que se usan de forma
más o menos común
integral la integral de leves y que como
ya hemos dicho más general
esto significa que toda su visión
integrable de riemann va a ser
integrable el de berger pero hay
funciones que sí tienen integral en el
sentido del everest pero no tiene
solución en el sentido de rima el marco
donde se define la integral de leves que
es muchísimo más complejo porque está
envuelto en la teoría de la medida la
teoría de la medida un campo del
análisis matemático muy específico que
se encarga de estudiar de forma
detallada los conceptos de longitud sin
embargo lo que sí podemos hacer es dar
una idea intuitiva de qué es esto del
integral de leves de la integral de
leves que la diferencia que tiene con la
integral de riemann que lo que hace son
subdividir el dominio en trocitos para
formar rectángulo la integral de leves
que lo que hace es dividir
la imagen y entonces forma rectángulos
del mismo tamaño y calcula su suma
esta sería la idea intuitiva de integrar
de la densidad pero como os digo esto no
es muy riguroso esto ya estamos a nivel
divulgativo entonces el que llegue a
universidad ya se irá enterando de todas
estas cosas de que es conjunto medibles
conjunto de medidas 0 etcétera todo este
tipo de cosas de la teoría de la medida
entonces hasta aquí un nivel de cultura
general
más o menos básico lo único que nos
faltaría a decir pues para saber un
poquito más del tema es que como hemos
dicho al principio del vídeo esto está
aún en desarrollo todavía hay
generalizaciones que se producen de la
definición de integral a principios del
siglo pasado apareció lo que se llamaba
integral de hito que era una integral de
un proceso estocástico con respecto a un
proceso estocástico un proceso
estocástico es un proceso que toma
valores aleatorios a lo largo del tiempo
entonces esto es súper esto es
muy difícil imaginaros que queréis
integrar una la evolución de unos
precios en bolsas sobre sobre
serie de bolsa entonces estas son cosas
que ya se nos escapan a los mortales que
estamos en matemática relativamente
genérica pero nunca está de más saber
que existen estas cosas en el setenta y
pico setenta y cinco por ahí se
generaliza eso con una integral se llama
integral de es coll ojos
de todo esto de proceso estocástico es
decir que la integración es vanguardia
en el estudio en la matemática pura
todavía se está investigando sobre esto
en mecánica cuántica están diciendo que
cualquier trayectoria entre dos puntos
pues contribuye a la probabilidad de que
una partícula vaya de un punto a otro
entonces la medida de estas curvas son
integración y ahí se está investigando y
que no se ha conseguido nada de forma
rigurosa a día de hoy entonces como os
digo esto es un tema súper actual
y súper difícil este vídeo no ha servido
para hacernos una idea para digamos
desligarnos un poco de esta restricción
de que la integral es la operación
inversa de la derivada y punto no es
mucho más es mucho más es una
herramienta de medida una herramienta de
medida con muchísimas aplicaciones en el
cálculo en la probabilidad en todo lo
que tenga que ver con el cálculo de
áreas de superficie de volúmenes de
perímetro etcétera
a lo que a nosotros nos interesa a
nuestro nivel que es calcular el área
delimitada por una curva y el eje de la
equis o el área de la región delimitada
por dos curvas pues sobre eso grava un
par de vídeos para ilustrar sobre la
forma estándar de proceder para no
olvidarnos mucho y resolverlo de la
forma más sencilla posible entonces
espero que os haya gustado este vídeo
que es un poco así divulgativo ya sabes
cómo se define la integral y como
siempre pues si tenéis alguna duda os
invito a que os con este ya los directos
o que escribáis en los comentarios y
podemos discutir lo que queráis
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