Fracciones parciales caso 3
Summary
TLDREl guión del video trata sobre el proceso de simplificación de una fracción con un denominador que es un polinomio cuadrático irreducible. Se describe la división sintética para factorizar el denominador y se explica que, al ser irreducible, no se puede factorizar más. Seguidamente, se detalla el método para escribir las fracciones parciales, utilizando dos letras para el factor irreducible. El script incluye la resolución de un sistema de ecuaciones para encontrar los coeficientes de las fracciones parciales, y finalmente, se presenta la fracción original en su forma simplificada.
Takeaways
- 🔢 El caso número 3 trata sobre fracciones con denominador de polinomio cuadrático irreducible.
- 📉 El numerador de la fracción es 4x^2 - 8x + 1 y el denominador es x^3 - x + 6.
- 🧮 Se utiliza la división sintética para factorizar el denominador, resultando en x - 2 por x^2 - 2x + 3.
- ❌ El polinomio cuadrático x^2 - 2x + 3 es irreducible, ya que su discriminante es menor que cero.
- ➡️ La fracción original se reescribe como 4x^2 - 8x + 1 entre (x - 2)(x^2 - 2x + 3).
- 🔠 Para las fracciones parciales, se usa 'A' para el primer factor x - 2 y 'Bx + C' para el segundo factor irreducible x^2 - 2x + 3.
- 🚫 La única restricción es que x no puede ser igual a -2.
- 📏 Se suma las fracciones parciales usando el máximo común denominador.
- ⚖️ Se igualan los términos con el mismo grado en ambos lados de la ecuación, formando un sistema de ecuaciones.
- 🔍 Resolviendo el sistema de ecuaciones, se encuentra que A = 3, B = 1 y C = -4.
- ✅ La fracción parcial resultante es 3/(x - 2) + (x - 4)/(x^2 - 2x + 3).
Q & A
¿Cuál es el caso número 3 tratado en el guión?
-El caso número 3 trata el caso en el que el denominador es un polinomio cuadrático irreducible.
¿Cuál es la fracción dada en el caso número 3?
-La fracción dada es (4x^2 - 8x + 1) / (x^3 - x + 6).
¿Qué método se utiliza para dividir el polinomio irreducible en el denominador?
-Se utiliza la división sintética para dividir el polinomio irreducible en el denominador.
¿Cuál es el resultado de la división sintética del polinomio irreducible?
-El resultado de la división es x - 2 por x^2 - 2x + 3.
¿Por qué no se puede factorizar el polinomio cuadrático irreducible?
-El polinomio cuadrático irreducible no se puede factorizar porque su discriminante es menor que cero.
¿Cómo se deben escribir las fracciones parciales para el caso número 3?
-Se deben escribir dos fracciones parciales, una para el factor reducible y otra para el factor irreducible, utilizando dos letras para el factor irreducible.
¿Cuáles son las letras utilizadas para las fracciones parciales en el caso número 3?
-Las letras utilizadas para las fracciones parciales son 'a' para el factor reducible y 'B' y 'C' para el factor irreducible.
¿Cuál es la restricción para el factor reducible en las fracciones parciales?
-La restricción para el factor reducible es que x no puede ser -2.
¿Cómo se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de 'a', 'B' y 'C'?
-Se igualan los coeficientes de los términos correspondientes de las fracciones parciales con los términos de la fracción original, formando un sistema de ecuaciones que se resuelve para encontrar los valores de 'a', 'B' y 'C'.
¿Cuáles son los valores encontrados para 'a', 'B' y 'C' en las fracciones parciales?
-Los valores encontrados son 'a' = 3, 'B' = 1 y 'C' = -4.
¿Cómo se expresan las fracciones parciales finales tras reemplazar los valores de 'a', 'B' y 'C'?
-Las fracciones parciales finales son '3/(x + 2)' y '(Bx + C)/(x^2 - 2x + 3)', donde B = 1 y C = -4, dando como resultado '1*x - 4/(x^2 - 2x + 3)'.
Outlines
📚 División de fracciones con denominadores polinomios
En el párrafo 1 se discute cómo dividir una fracción donde el denominador es un polinomio cuadrático irreducible. Se toma como ejemplo la fracción 4x^2 - 8x + 1 / (x^3 - x + 6) y se intenta factorizar el denominador. Tras realizar la división sintética, se obtiene x - 2 / (x^2 - 2x + 3). Se señala que el segundo término es irreducible y no se puede factorizar más. Se procede a escribir las fracciones parciales, utilizando dos letras para el término irreducible, y se establecen las restricciones para x, siendo -2 la única restricción en este caso. Finalmente, se resuelven las fracciones parciales mediante el método de la 'carita feliz', lo que resulta en una expresión con términos a, b y c que aún deben ser determinados.
🔍 Resolución del sistema de ecuaciones para fracciones parciales
El párrafo 2 continúa el proceso de resolución de la fracción parcial del párrafo anterior. Se establece un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de a, b y c, que son los coeficientes en la expresión resultante de las fracciones parciales. Se resuelve el sistema y se encuentran los valores de a como 3, b como 1 y c como -4. Con estos valores, se actualiza la fracción parcial, obteniendo la solución final de la fracción original como 3 / (x + 2) + (x - 4) / (x^2 - 2x + 13).
Mindmap
Keywords
💡Polinomio
💡División sintética
💡Discriminante
💡Fracción parcial
💡Factor irreducible
💡Sistema de ecuaciones
💡Método de la carita feliz
💡Restricciones
💡Distribución
💡Factor común
Highlights
El caso número 3 trata de una fracción con un polinomio cuadrático irreducible en el denominador.
La fracción dada es 4x^2 - 8x + 1 sobre x^3 - x + 6.
Se intenta factorizar el denominador x^3 - x + 6 utilizando la división sintética.
El resultado de la división es x - 2 por x^2 - 2x + 3.
El segundo término, x^2 - 2x + 3, es irreducible y no se puede factorizar más.
El discriminante del polinomio cuadrático es menor que cero, lo que confirma su irreductibilidad.
La fracción se escribe en su forma factorizada más completa posible.
Se utilizan dos letras, B y C, para las fracciones parciales debido a la irreductibilidad del segundo factor.
Se establecen las restricciones para x: x no puede ser -2 y no hay restricción para el término irreducible.
Se escriben las fracciones parciales con el denominador común y se aplican las restricciones.
Se utiliza el método de la 'carita feliz' para sumar las fracciones parciales.
Se distribuyen los términos y se agrupan los coeficientes de x^2, x y los constantes.
Se establecen las ecuaciones para resolver las fracciones parciales basadas en los coeficientes agrupados.
Se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de A, B y C.
Los valores encontrados son A = 3, B = 1 y C = -4.
Se reemplazan los valores de A, B y C en las fracciones parciales para obtener la solución final.
Las fracciones parciales resueltas son 3/(x + 2) + (x - 4)/(x^2 - 2x + 3).
Transcripts
caso número 3 el caso número 3 es cuando
tenemos en el denominador un polinomio
cuadrático irreducible en este caso
nuestra fracción es 4x a la 2 - 8x + 1
entre x a la 3 - x + 6 igual que en los
dos ejercicios anteriores lo que vamos a
hacer primero es ver si podemos
factorizar al máximo el denominador
nuestro denominador es x a la 3 - x + 6
en este caso como es un polinomio de
grado 3 y no a todos los términos del
polinomio tienen una x entonces debemos
usar división sintética que la hice por
acá Cuando hacemos división sintética el
resultado nos queda x - 2 por x al
cuadrado menos 2x + 3
si ustedes observan dentro del segundo
paréntesis este que está acá me queda un
polinomio de grado 2 que podría
resolverse o factorizarse utilizando
fórmulas general o inspección sin
embargo cuando ustedes
intenten hacer alguna de las dos van a
encontrar que no se puede factorizar
verdad el discriminante es menor que
cero
entonces eso se queda así entonces la
fracción original que es esta
escrita ya de la manera factorizada lo
más que se pudo es esta que está acá
4x a la 2 - 8x Entre x + 2 por x a la 2
- 2x + 3 recordando que el segundo
paréntesis es de polinomio cuadrático es
un polinomio irreducible
procedemos ahora a escribir las
fracciones parciales en este caso Esta
es la fracción que me quedó ya con la
factorización que se logró hacer Tenemos
dos factores x + 2 por x a la 2 - 2x + 3
lo que significa que deberíamos usar en
teoría dos letras Entonces vamos a usar
a entre entre el primer factor que es x
+ 2 pero el segundo factor al ser
irreducible vamos a utilizar dos letras
cuando el factor es irreducible ustedes
van a usar dos letras en este caso las
dos letras siguientes son B y C por eso
escribí B x + c si tuvieran otro factor
irreducible tienen que escribir más de X
+ p entre ese otro factor Ok entonces va
a depender de
de las de la cantidad de factores y
reducibles que tengan y de la letra por
la que vaya Entonces en este caso el x^2
- 2x + 3 al ser irreducible entonces
debemos escribir B x + c ok En este caso
sólo tenemos dos fracciones parciales
igual que la anterior y que las
anteriores Hay que sacar las
restricciones
en este caso del primero x no puede ser
menos 2 y del segundo como es
irreducible Entonces no no tiene
restricción la única restricción en este
caso es -2
como Solo tengo dos fracciones parciales
a la derecha que se están sumando pues
vamos a sumar esas dos fracciones con
máximo común denominador o utilizando en
este caso como son sólo dos el método de
la carita feliz
por eso me queda a por x a la 2 - 2x + 3
+ p x + c por x + 2 y abajo en el
denominador x + 2 por x a la 2 - 2x + 3
igual que en los casos anteriores ya al
tener sólo una fracción a la izquierda y
una sola fracción a la derecha los
denominadores al ser iguales Y ser parte
de las restricciones Entonces no tenemos
ningún problema con cancelarlos
Me quedaría entonces
4x a la 2 - 8x + 1 igual a por x a la 2
- 2x + 3 + BX + c por x + 2 lo que
procedemos a realizar ahora es son las
respectivas distribuciones
a por x a la 2 - 2a x + 3a + BX a la 2 +
2 B x + x + 12
Luego de eso lo que hacíamos era
agrupar todo lo que tiene x al cuadrado
que en este caso es este paréntesis
luego todo lo que tiene x que en este
caso es este paréntesis
Y por último todo lo que no tiene ni x
ni x a la 2 que en este caso son estos
dos
dentro del primer paréntesis sacamos un
x al cuadrado factor común dentro del
segundo paréntesis tenemos x ahí como
factor común entonces la sacamos y en el
último paréntesis no hay nada o factor
común Entonces nos quedarían esas tres
lo que hacemos ahora igual que los
ejercicios anteriores es montar el
sistema de ecuaciones igualando los
términos
esto que tiene x al cuadrado lo vamos a
igualar con esto que tiene x al cuadrado
a más B igual a 4
eso que tiene x lo igualamos a esto que
tiene x menos 2a + 2b + C = -8
y finalmente lo que no tiene ni x al
cuadrado ni x que es esto 3a es igual a
uno resuelven ese sistema de ecuaciones
y van a encontrar que a es 3 B es 1 y C
es -4 nos devolvemos al inicio donde
teníamos la fracción parcial que era
esta y ya cambiamos los valores de a y b
por los que encontramos a era 3 entonces
me queda 3 entre x + 2 + BX + c b era 1
entonces 1 por x es x y el c es menos 4
por eso me queda x menos 4 entre x a la
2 - 2x + 13 esa es son las fracciones
parciales de la fracción original que
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