Combinaciones, permutaciones y variaciones | Ejemplo 2

Summary

本视频讲解了组合、排列和变换的基本概念，并通过三个实际练习进行演示。首先，通过一个关于四个队伍的冠军赛问题讲解了排列的计算方法。接着，介绍了如何计算从10个运动员中选择3个代表队参加世界杯的组合问题。最后，讲解了如何通过变换来计算金、银、铜奖的分配方式。视频还提供了进一步练习和解答，强调了无重复选项的计算方法，并解释了不同情况下的排列组合公式。

Takeaways

• 😀 在本视频中，讲解了组合、排列和变换的概念，并通过实际例题进行演示。
• 😀 变换和排列关注顺序是否重要。如果顺序重要，那么使用排列，否则使用组合。
• 😀 通过案例解释了如何判断问题是排列、组合还是变换。
• 😀 在第一个例子中，四个队伍进行比赛时，重要的是顺序，因此采用排列方法，结果是24种可能。
• 😀 在第二个例子中，10名运动员参加选拔，问题是选择3名代表，因此使用组合方法，结果是120种可能。
• 😀 在第三个例子中，10名运动员获得金、银、铜奖，顺序重要，因此采用排列方法，结果是720种可能。
• 😀 讲解了组合公式和排列公式的实际应用，展示了如何通过简化阶乘来解决问题。
• 😀 强调了组合的计算不能使用盒子法，而是要使用组合公式。
• 😀 讲解了如何简化阶乘计算，比如通过分解并消去共同的因子来加速计算。
• 😀 提供了一个课后练习，要求根据不同的奖品类型（相同或不同）来计算可能的结果。
• 😀 通过视频解释了重复和不重复选择的区别，提醒学生在实际操作中要注意是否允许重复选择。

Q & A

什么是组合数学中的排列、组合和变换的区别？

排列、组合和变换是组合数学中的三种基本概念。排列是指考虑顺序的情况，组合则是不考虑顺序的情况，而变换通常指有序的选择，且元素可以重复。

在比赛中，如何判断是否是排列或组合问题？

判断是否是排列或组合问题，首先要问自己是否考虑顺序。如果顺序很重要，则是排列问题；如果顺序不重要，则是组合问题。

在第一个例子中，如何判断四个队伍的排名问题属于排列还是组合？

在四个队伍的排名问题中，因为考虑了奖项的顺序（如第一、第二、第三名），所以这是一个排列问题。

什么是‘箱子法’？

‘箱子法’是一种计算排列问题的简化方法，通过为每个位置列出可能的选择数来计算不同的排列。

如果问题没有顺序要求，如何解答？

如果问题没有顺序要求，通常使用组合公式进行计算。组合只关注从总数中选择多少个元素，而不考虑顺序。

在第二个例子中，如何选择三个运动员代表国家参加世界杯？

在这个问题中，因为不考虑顺序，所以这是一个组合问题，计算方法是使用组合公式来选择三个运动员。

什么是排列公式和组合公式的区别？

排列公式是 n!/(n-r)!，用于计算有顺序的选择，而组合公式是 n!/(r!(n-r)!)，用于计算没有顺序的选择。

如何用公式计算从10个运动员中选出3个运动员的组合数？

使用组合公式，首先计算10的阶乘（10!），然后除以3的阶乘（3!）以及7的阶乘（7!），得到的结果是120。

如何解决‘颁发金银铜奖’的排列问题？

在‘颁发金银铜奖’的问题中，因考虑到奖项的不同（如金奖、银奖、铜奖），顺序很重要，因此这是一个排列问题。用排列公式计算，得到的结果是720种不同的方式。

如果是‘抽奖’问题，奖品相同，如何解答？

如果奖品相同，则不考虑顺序，是一个组合问题。例如，20个朋友中选择2个奖品的方式为20组合2，结果为190种。