Distribucion Normal Estandarizada
Summary
TLDREl script del video ofrece una explicación detallada de la distribución normal estandarizada y su aplicación en un ejemplo práctico. Se describe cómo, a partir de los tiempos de los primeros 75 corredores en el maratón de Londres 2012, se puede utilizar la media y la desviación estándar para estandarizar los valores y convertirlos en valores 'z'. Este proceso permite identificar qué porcentaje de corredores terminó el maratón en un tiempo específico, en este caso, en menos de 2 horas y 10 minutos. Utilizando la tabla de la distribución normal estandarizada o funciones de hoja de cálculo, se calcula que el 4% de los corredores cumplió esta condición. El video también menciona la posibilidad de calcular intervalos de tiempo utilizando valores 'z' correspondientes, lo cual se explorará en futuras secciones del video.
Takeaways
- 📊 La distribución normal estandarizada es una forma de transformar una distribución normal en una con una media de 0 y una desviación estándar de 1.
- 📈 El valor z indica cuántas desviaciones estándar un valor x se encuentra de la media y en qué dirección.
- ⏱️ En el ejemplo de los corredores del maratón de Londres 2012, la media de los tiempos fue de 8.300,4 segundos y la desviación estándar fue de 288,9 segundos.
- 📉 El 68% de los datos en una distribución normal están dentro de una desviación estándar de la media, el 95% están dentro de dos y el 99% dentro de tres.
- 🔍 Para estandarizar un valor x, se resta la media y se divide entre la desviación estándar, obteniendo el valor z.
- 📌 Los valores z negativos corresponden a valores x menores que la media, y los valores z positivos a valores x mayores que la media.
- 🧮 Para calcular el porcentaje de corredores que terminaron en menos de 2 horas y 10 minutos, se usó el valor z correspondiente a ese tiempo.
- 🔢 Se transformó 2 horas y 10 minutos en 7.800 segundos para calcular el valor z, que resultó en -1.75.
- 📉 Un valor z negativo indica que el tiempo se encuentra a la izquierda de la media en la distribución normal.
- 📊 La probabilidad de que un corredor haya terminado en menos de 2 horas y 10 minutos, con un valor z de -1.75, es del 4%.
- 📚 Se utilizó una tabla de distribución normal estandarizada y una hoja de cálculo para encontrar la probabilidad asociada al valor z.
- 📝 Tres corredores de los 75 analizados terminaron en menos de 2 horas y 10 minutos, lo que coincide con el porcentaje calculado.
Q & A
¿Qué es una distribución normal estandarizada?
-Una distribución normal estandarizada es una transformación de una distribución normal en una nueva variable con una media de 0 y una desviación estándar de 1. Esto se logra restando la media y dividiendo por la desviación estándar del valor original.
¿Cómo se calcula el valor z para un valor x en una distribución normal estandarizada?
-Para calcular el valor z, se resta la media del valor x y se divide entre la desviación estándar. Es decir, z = (x - media) / desviación estándar.
¿Cuál es el porcentaje de datos que se encuentra dentro de una desviación estándar de la media en una distribución normal?
-En una distribución normal, aproximadamente el 68% de los datos se encuentra dentro de una desviación estándar de la media.
¿Cuál es el porcentaje de corredores que realizó menos de 2 horas y 10 minutos en el maratón de Londres 2012 según la distribución normal estandarizada?
-Según la distribución normal estandarizada, el 4% de los corredores realizó menos de 2 horas y 10 minutos en el maratón de Londres 2012.
¿Cómo se puede convertir el tiempo de 2 horas y 10 minutos en segundos para su uso en cálculos?
-Para convertir 2 horas y 10 minutos en segundos, se multiplica 2 horas por 60 minutos por 60 segundos, sumando los 10 minutos multiplicados por 60 segundos, lo que da un total de 7800 segundos.
¿Cómo se determina el porcentaje de corredores que realizaron un tiempo específico utilizando la distribución normal estandarizada?
-Para determinar el porcentaje de corredores que realizaron un tiempo específico, se calcula el valor z para ese tiempo, luego se utiliza una tabla de distribución normal estandarizada o una función de hoja de cálculo para encontrar la probabilidad asociada a ese valor z, que corresponde al porcentaje de corredores.
¿Cuál es la desviación estándar de los tiempos de los primeros 75 corredores en el maratón de Londres 2012?
-La desviación estándar de los tiempos de los primeros 75 corredores en el maratón de Londres 2012 fue de 288.9 segundos.
¿Cómo se puede utilizar una hoja de cálculo para encontrar la probabilidad asociada a un valor z?
-En una hoja de cálculo, se puede utilizar la función de distribución normal estandarizada, como NORMSDIST en Excel, ingresando el valor z para encontrar la probabilidad asociada.
¿Cuál es la media de los tiempos de los primeros 75 corredores en el maratón de Londres 2012?
-La media de los tiempos de los primeros 75 corredores en el maratón de Londres 2012 fue de 8306.4 segundos.
¿Por qué es útil estandarizar una distribución normal?
-Estandarizar una distribución normal es útil porque transforma diferentes distribuciones normales en una escala común, lo que facilita comparaciones y análisis estadísticos entre diferentes conjuntos de datos.
¿Cómo se puede interpretar un valor z negativo en una distribución normal estandarizada?
-Un valor z negativo indica que el valor x se encuentra a una distancia de desviaciones estándar negativas de la media, es decir, se encuentra a la izquierda de la media en el gráfico de la distribución normal.
¿Cuál es la probabilidad de que un corredor haya terminado el maratón en más de 2 horas y 30 minutos si la media es de 8306.4 segundos y la desviación estándar es de 288.9 segundos?
-Para encontrar la probabilidad de que un corredor haya terminado en más de 2 horas y 30 minutos (equivale a 9000 segundos), se calcula el valor z para 9000 segundos y se utiliza una tabla de distribución normal estandarizada o una función de hoja de cálculo para encontrar la probabilidad a la derecha de ese valor z.
Outlines
📊 Introducción a la Distribución Normal Estandarizada
El primer párrafo introduce la distribución normal estandarizada, explicando cómo se obtienen los valores z y cómo aplicarlos al ejemplo de los tiempos de los corredores en el maratón de Londres 2012. Se describe la forma en que una curva normal se puede describir a través de su media y desviación estándar, y cómo estos valores son utilizados para establecer porcentajes de datos dentro de intervalos de desviación estándar. Además, se detalla el proceso de estandarización de un valor x, obteniendo el valor z, que indica cuántas desviaciones estándar se encuentra el valor de la media y la dirección en la que se encuentra. Finalmente, se define la distribución normal estandarizada como una distribución con media 0 y desviación estándar 1.
🏃 Aplicación de la Distribución Normal Estandarizada al Ejemplo de los Corredores
El segundo párrafo se enfoca en cómo aplicar los conceptos de la distribución normal estandarizada al análisis de los tiempos de los corredores del maratón. Se plantea la pregunta de cuántos corredores completaron la carrera en menos de dos horas y diez minutos, y se describe el proceso para encontrar la respuesta. Esto involucra la conversión de tiempos de horas y minutos a segundos, el cálculo del valor z correspondiente a este tiempo y la utilización de una tabla de distribución normal estandarizada o una hoja de cálculo para encontrar la probabilidad. Se calcula que el 4% de los corredores cumplió con esta condición, y se menciona que este resultado se puede verificar con los datos originales, donde tres corredores terminaron en ese tiempo.
🔢 Utilización de Herramientas para Calcular Probabilidades
El tercer párrafo habla sobre la utilización de herramientas para calcular probabilidades en lugar de recurrir a tablas de valores z. Se menciona el uso de funciones de estadística en una hoja de cálculo para encontrar la probabilidad asociada a un valor z específico, en este caso, -1.75. Se demuestra cómo se puede obtener el mismo resultado (un 4%) que el encontrado con la tabla de valores z, pero de una manera más rápida y directa. Además, se sugiere que en futuras presentaciones se explorarán otras funciones de la hoja de cálculo que permiten obtener estos resultados de manera aún más eficiente.
Mindmap
Keywords
💡distribución normal
💡distribución normal estandarizada
💡valores z
💡desviación estándar
💡intervalo de una desviación estándar
💡intervalo de dos desviaciones estándar
💡intervalo de tres desviaciones estándar
💡probabilidad
💡tabla de distribución normal estandarizada
💡hoja de cálculo
💡maratón de Londres
Highlights
Una distribución normal estandarizada es aquella que transforma las distribuciones normales en una escala común con una media de 0 y desviación estándar de 1.
Los valores z representan cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor respecto a la media.
Un valor z positivo indica que el valor está a la derecha de la media, mientras que un valor z negativo indica que está a la izquierda.
El 68% de los datos en una distribución normal están dentro del intervalo de +/- una desviación estándar.
El 95% de los datos están dentro de +/- dos desviaciones estándar, y el 99% dentro de +/- tres desviaciones estándar.
Para estandarizar un valor x, se resta la media y se divide entre la desviación estándar, obteniendo el valor z.
La distribución normal estandarizada es representada como N(0,1), con una media de 0 y desviación estándar de 1.
Se utilizó el ejemplo de los tiempos de los corredores en el maratón de Londres 2012 para aplicar los conceptos de la distribución normal estandarizada.
La media de los tiempos de los primeros 75 corredores fue de 8300.4 segundos, y la desviación estándar fue de 288.9 segundos.
Se calculó el porcentaje de corredores que completaron la maratón en menos de 2 horas y 10 minutos utilizando la distribución normal estandarizada.
El valor z para 2 horas y 10 minutos de tiempo fue calculado como -1.75, lo que indica una posición a la izquierda de la media.
La probabilidad de que un corredor haya terminado en menos de 2 horas y 10 minutos es del 4%.
Se utilizó una tabla de distribución normal estandarizada y una hoja de cálculo para encontrar la probabilidad asociada al valor z.
El uso de funciones estadísticas en una hoja de cálculo puede simplificar el proceso de encontrar probabilidades en distribuciones normales estandarizadas.
Se observó que el número de corredores que terminaron en menos de 2 horas y 10 minutos (3 corredores) coincide con el porcentaje calculado (4%).
La distribución normal estandarizada permite determinar con precisión el porcentaje de valores que caen dentro de un rango específico de tiempos.
Se presentó la posibilidad de calcular el porcentaje de corredores que terminaron entre 2 horas 10 minutos y 2 horas 20 minutos en un próximo vídeo.
Transcripts
distribución normal estandarizada vamos
a ver qué es una distribución normal
estandarizada obtendremos los valores z
y aplicaremos estos resultados al
ejemplo de los tiempos que realizaron
los corredores en el maratón de london
2012 aquí tenemos el histograma de los
tiempos realizados por los primeros 75
corredores que llegaron a la meta en un
vídeo previo vimos como pasar de un
historia con características de una
distribución aproximadamente simétrica a
una curva de densidad que tiene un
comportamiento que es normal también
vimos que una curva normal se puede
describir conociendo el valor de su
media y el valor de su desviación
estándar para los datos de los 75
corredores tenemos que hicieron una
media de 8.300
punto 4 segundos y que la desviación
estándar fue de
288 punto 9 también vimos que si a
partir de la media que se ubica en el
punto central tenemos un intervalo
comprendido entre más o menos una
desviación estándar en este intervalo
está el 68% de los datos ahora a partir
de la media más dos desviaciones
estándar menos dos desviaciones estándar
en ese intervalo está contenido el 95%
de los datos y a partir de la media más
tres desviaciones estándar menos tres
desviaciones estándar vemos que en ese
intervalo está contenido más del 99 por
ciento de los datos gráficamente se
puede observar que con tres desviaciones
estándar está cubriendo prácticamente
toda la gráfica ahora veamos qué es una
distribución normal
estandarizada
decimos que para estandarizar un valor x
a este valor x le vamos a restar el
valor de la media y a esto lo vamos a
dividir entre la desviación estándar y
vamos a denominar como z a este valor
estandarizado de x un valor z nos indica
a cuántas desviaciones estándar se
encuentra el valor de la media y en qué
dirección
por ejemplo este valor z igual a menos 1
nos dice que en este punto se encuentra
a una distancia de una desviación
estándar con respecto a la media el
signo negativo nos indica que se
encuentra del lado izquierdo de la media
en cambio este valor z nos dice que se
encuentra al lado derecho pero que se
encuentra a la misma distancia es decir
a una desviación estándar
si tomamos el valor menos 3 nos dice que
este valor se encuentra a una distancia
de 3 desviaciones estándar y como el
signo es negativo nos indica que se
encuentra a la izquierda de la media por
lo tanto decimos que los valores z
negativo corresponden a los valores x
que son menores a la media y que los
valores z positivos corresponden a los
valores x que son mayores que la media
ahora pasemos a definir la distribución
normal estandarizada
decimos que la estandarización
transforma las distribuciones que son
normales en una distribución de una
escala común y este proceso de pasar de
los valores x a los valores z genera una
nueva variable con una distribución
normal
estandarizada por lo tanto decimos que
la distribución normal estandarizada es
la distribución normal con media mí o
igual a 0 y desviación estándar sigma
igual a 1 y que representamos con esta
anotación n entre paréntesis con media
igual a cero coma y desviación estándar
igual a 1 entonces si tenemos una
variable x con una distribución normal
de media
y desviación estándar sigma entonces la
variable estandarizada de este valor
sigma será zeta igual a x menos la media
sobre la desviación estándar
y esta variable zeta tendrá una
distribución normal estandarizada que es
esta que tenemos aquí con las
características que ya hemos mencionado
es decir esta curva es una distribución
normal con media 0 y desviación estándar
1
ahora veamos cómo podemos aplicar estos
resultados a nuestro ejemplo de los
corredores del maratón si nos
preguntamos qué porcentaje de los
corredores realizó su recorrido en menos
de dos horas y diez minutos lo que nos
estamos preguntando es cuántos
corredores o qué porcentaje de
corredores realizó menos de dos horas
diez minutos es decir estamos
preguntando por este punto dos horas
diez minutos
para responder a esta pregunta podemos
ubicar en la curva de densidad el valor
x correspondiente a 2 horas con 10
minutos este punto se ubica
aproximadamente aquí
este punto corresponde al valor x que es
igual a 2 horas con 10 minutos
0 segundos ahora lo que nos estamos
preguntando es qué porcentaje realizó
menos de 2 horas 10 minutos por lo tanto
debemos calcular el área si está a la
izquierda es decir toda esta parte la
proporción que corresponde o el
porcentaje de ese número de jugadores
que realizó menos de 2 horas 10 minutos
para hacer eso entonces nos vamos a
ayudar con los valores z ponemos
entonces z igual a 2 horas con 10
minutos menos el valor de la media sobre
la desviación
pero recordemos que hemos transformado
las horas y minutos a segundos entonces
vamos a convertir primero estas horas y
10 minutos a segundos tenemos aquí 2
horas 10 lo que vamos a hacer es de 2
horas tenemos 120 minutos más 10
tendríamos en total 130 minutos por 60
que son los segundos que tiene cada
minuto en total tenemos entonces siete
mil ochocientos segundos y esta es la
cantidad de segundos que tiene dos horas
diez minutos entonces apoyándonos en eso
tenemos que el valor z será igual a
7.800 segundos menos el valor de la
media sobre la desviación estándar pero
si recordamos el valor de la media es
8306 y el valor de la desviación
estándar es 280 y 8.9 tomando en cuenta
estos valores aplicamos nuestra fórmula
y esto será entonces igual a
7.800 menos
8.300
6.4 todo esto dividido por
280 y
8.9
esta operación con la ayuda de una hoja
de cálculo
aquí vamos a obtener entonces el valor z
que hemos dicho que es igual abrimos
paréntesis
7.800 menos la media que es
8.300 6.4 cerramos paréntesis entre la
desviación estándar que es 280 y 8.9 de
mos enter y nos da que el valor z es
igual a menos
1.75 es decir que en este punto el valor
de z es igual a menos 1 punto
75 y como podemos ver el valor z tiene
un valor negativo es decir que se
encuentra a la izquierda de la media que
precisamente se encuentra en este punto
ahora lo que nos falta es calcular la
probabilidad que se encuentra a la
izquierda de este valor z igual a menos
1 punto 75 para encontrar este valor nos
vamos a apoyar en una
tenemos aquí una tabla de la
distribución normal estandarizada para
encontrar el valor de la probabilidad
primero debemos ubicar el 1.75 entonces
aquí en la columna de zeta encontramos
menos 1.7 ahora del lado de las columnas
buscamos el punto 05 y donde se crucen
es decir en este punto aquí tenemos que
la probabilidad de
1.75 es de punto 04 por lo tanto la
probabilidad que se encuentra a la
izquierda del valor z menos 1.75 es de
punto 04 o lo que es lo mismo del 4%
es decir la probabilidad que hemos
marcado aquí que se encuentra a la
izquierda de este valor z igual a menos
1 punto 75 esta probabilidad es igual a
punto 04 que equivale al
4%
por lo tanto decimos que el 4% de los 75
corredores que participaron hizo menos
de 2 horas 10 minutos para llegar a la
meta ahora veamos que también pudimos
llegar a este resultado de manera más
rápida empleando la hoja de cálculo
aquí en vez de utilizar una tabla vamos
a utilizar el asistente de funciones le
damos clic aquí
en las categorías buscamos estadística
aquí en funciones vamos a buscar la
distribución normal estandarizada que es
ésta le damos clic aquí le damos
siguiente y aquí escribimos el valor
menos 1 punto 75 le damos clic en
aceptar y vemos que nos da punto 04 que
es el mismo valor que obtuvimos cuando
utilizamos la tabla de los valores
normales estandarizados
también existen otras funciones de esta
hoja de cálculo que nos permiten llegar
a estos resultados de manera más directa
en otros vídeos más adelante veremos
cómo utilizar estas funciones
aquí lo que podemos concluir es que el 4
por ciento de los corredores hizo menos
de dos horas 10 minutos si nos vamos a
los datos originales vemos que tres
corredores realizaron menos de dos horas
10 minutos tomando en cuenta esto y que
estamos considerando un total de 75
corredores entonces lo que hacemos es
dividir 3 entre 75 y el resultado nos da
4 % entonces vemos como los valores z en
este caso nos ayudaron a determinar con
bastante precisión el porcentaje de
corredores que realizó menos de 2 horas
con 10 minutos otra pregunta interesante
sería determinar el porcentaje que
realizó entre 2 horas 10 y 2 horas 20
para hacer eso nosotros tendríamos que
calcular los valores z correspondientes
a el valor x 2 horas 10 minutos y el
valor x horas 20 minutos pero eso lo
veremos en un siguiente vídeo
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