RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Summary
TLDREl guion del video ofrece una explicación detallada sobre cómo calcular las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Se describen los conceptos básicos como catetos, hipotenusa y los ángulos agudos, incluyendo su doble nomenclatura. A través de un ejemplo práctico, se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del cateto desconocido y luego se calculan las seis razones trigonométricas del ángulo agudo menor, utilizando las relaciones de los catetos con la hipotenusa y entre sí. El video termina con una revisión de los conceptos clave para comprender el cálculo de estas razones en un triángulo rectángulo.
Takeaways
- 📐 Los triángulos rectángulos son caracterizados por tener un ángulo de 90 grados, llamado ángulo recto, en este caso, el ángulo de vértice B.
- 🏛 Los lados de un triángulo rectángulo tienen nombres específicos: los dos lados más pequeños son los catetos y el lado más largo es la hipotenusa.
- 🟢 El cateto más grande en la figura es el lado A, pintado de color verde, y el cateto más pequeño es el lado C, pintado de color celeste.
- 🔍 Los catetos tienen un doble nombre dependiendo de su relación con los ángulos agudos, Alfa (α) y Beta (β), en el triángulo.
- 📐 Los catetos se cortan perpendicularmente, formando siempre un ángulo recto con el ángulo de 90 grados.
- 📏 La hipotenusa está opuesta al ángulo recto y es el lado más largo del triángulo rectángulo.
- 🔢 Se utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la medida del lado desconocido en un triángulo rectángulo, estableciendo que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
- 📉 El ángulo más pequeño en un triángulo rectángulo se opone al lado más corto, lo que se deduce para determinar cuál de los ángulos agudos es menor.
- 🧭 Las razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo se calculan utilizando las medidas de los catetos y la hipotenusa en relación con el ángulo en cuestión.
- 📈 Las razones trigonométricas incluyen el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y coseccante, cada uno calculado a partir de las relaciones entre los lados del triángulo y el ángulo.
- 📝 Al final del script, se ilustra cómo calcular las diferentes razones trigonométricas para el ángulo Alfa (α), utilizando las medidas de los lados del triángulo proporcionadas.
Q & A
¿Qué es un triángulo rectángulo y cuál es su característica principal?
-Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de 90 grados, el cual es el ángulo de vértice B en el script.
¿Cuáles son los nombres de los lados de un triángulo rectángulo y cuál es su función?
-Los dos lados más pequeños se llaman catetos, y el lado más grande es la hipotenusa. Los catetos se cortan perpendicularmente formando el ángulo recto, mientras que la hipotenusa está opuesta a este ángulo.
¿Cómo se llaman los catetos en relación con los ángulos de un triángulo rectángulo?
-Los catetos tienen un doble nombre en función de su relación con los ángulos. Por ejemplo, el cateto AB se llama cateto opuesto de beta y cateto adyacente de alfa.
En el ejemplo dado, ¿cuáles miden los lados de un triángulo rectángulo y cuál es su relación con los catetos?
-En el ejemplo, la hipotenusa mide 13 centímetros y el cateto AB mide 12 centímetros, siendo este último el cateto mayor. El otro cateto, BC, no se conoce su medida inicialmente y se calcula usando el teorema de Pitágoras.
¿Qué es el teorema de Pitágoras y cómo se usa para encontrar el tercer cateto en un triángulo rectángulo?
-El teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Se usa para encontrar el cateto desconocido al resolver la ecuación x^2 + 12^2 = 13^2.
¿Cuál es el ángulo agudo más pequeño en el triángulo rectángulo del ejemplo y cómo se determina?
-El ángulo agudo más pequeño es alfa. Se determina porque el lado más pequeño (cateto BC) se opone a él, según la teoría de que al lado más pequeño corresponde el ángulo más pequeño.
¿Cómo se calcula el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo?
-El seno de un ángulo se calcula dividiendo el cateto opuesto al ángulo por la hipotenusa. Por ejemplo, el seno de alfa es 5/13.
¿Cómo se calcula el coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo?
-El coseno de un ángulo se calcula dividiendo el cateto adyacente al ángulo por la hipotenusa. Por ejemplo, el coseno de alfa es 12/13.
¿Cómo se calcula la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo?
-La tangente de un ángulo se calcula dividiendo el cateto opuesto al ángulo por el cateto adyacente al mismo ángulo. Por ejemplo, la tangente de alfa es 5/12.
¿Cómo se calcula la cotangente de un ángulo en un triángulo rectángulo?
-La cotangente de un ángulo se calcula dividiendo el cateto adyacente al ángulo por el cateto opuesto al mismo ángulo. Por ejemplo, la cotangente de alfa es 12/5.
¿Cómo se calculan las razones trigonométricas secantes y cosecantes de un ángulo en un triángulo rectángulo?
-La secante se calcula dividiendo la hipotenusa por el cateto adyacente, y la cosecante se calcula dividiendo la hipotenusa por el cateto opuesto. Por ejemplo, la secante de alfa es 13/12 y la cosecante de alfa es 13/5.
Outlines
📐 Conceptos básicos del triángulo rectángulo
El primer párrafo introduce los conceptos fundamentales del triángulo rectángulo, destacando su característica de tener un ángulo recto de 90 grados. Se describen los lados catetos y la hipotenusa, con una mención especial a su nomenclatura en relación con los ángulos opuestos y adyacentes. El triángulo rectángulo se caracteriza por tener dos ángulos agudos y se asignan las medidas alfa y beta a estos, siendo el ángulo recto de 90 grados. Se enfatiza la importancia de entender estos conceptos para calcular las razones trigonométricas.
🔍 Aplicación del teorema de Pitágoras y cálculo de las razones trigonométricas
En el segundo párrafo se presenta un ejemplo práctico de cómo calcular las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo dado los lados mayores. Se utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del cateto desconocido y, a partir de ahí, se calculan las razones trigonométricas del ángulo agudo menor, identificado como el ángulo alfa. Se describe el proceso de calcular el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de alfa, proporcionando fórmulas y ejemplos numéricos.
📘 Conclusión y despedida
El último párrafo concluye el video con una revisión de los cálculos realizados y una despedida a los espectadores. Se resalta que se han calculado las razones trigonométricas de un ángulo y se agradece la atención de los espectadores, prometiendo más contenido en futuras oportunidades.
Mindmap
Keywords
💡Triángulo rectángulo
💡Catetos
💡Hipotenusa
💡Ángulos agudos
💡Teorema de PitaGORAS
💡Razones trigonométricas
💡Seno
💡Coseno
💡Tangente
💡Cotangente
Highlights
Caracterización del triángulo rectángulo por un ángulo de 90 grados en el vértice B.
Los catetos son los dos lados más pequeños y se cortan perpendicularmente en el ángulo recto.
La hipotenusa es el lado más grande del triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.
Los ángulos agudos en el triángulo rectángulo se miden en alfa y beta.
El cateto tiene dos nombres dobles según su relación con los ángulos alfa y beta.
Ejemplo práctico de cálculo de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Aplicación del Teorema de PitaGORAS para encontrar el lado desconocido (cateto).
Determinación de cuál es el ángulo agudo más pequeño y su correspondiente razón trigonométrica.
Cálculo del seno de alfa como la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Cálculo del coseno de alfa como la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Cálculo de la tangente de alfa como la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Cálculo de la cotangente de alfa como la inversa de la tangente.
Cálculo de la secante de alfa como la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cálculo de la cosecante de alfa como la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Importancia de las razones trigonométricas en la resolución de problemas de triángulos rectángulos.
Agradecimiento y despedida al final de la explicación de las razones trigonométricas.
Transcripts
hoy veremos cómo se calculan las razones
trigonométricas en un triángulo
rectángulo
pero antes vayamos a ver algunos
conceptos o cuestiones previas al tema
el triángulo rectángulo se caracteriza
porque uno de sus ángulos mide 90 grados
en nuestra figura corresponde al ángulo
de vértice b
además los lados de un triángulo
rectángulo reciben nombres especiales
los dos lados más pequeños de un
triángulo rectángulo se les llaman
catetos en nuestra figura uno de los
catetos corresponde al lado ave a este
lado que hemos pintado de color verde y
el otro cateto de acuerdo a nuestra
figura corresponde al lado vez en este
lado que hemos pintado de color celeste
los catetos se caracterizan porque se
cortan perpendicularmente es decir están
formando siempre el ángulo de 90 grados
en el triángulo rectángulo
el tercer lado que es el lado más grande
es decir el lado mayor se le llama
hipotenusa en el triángulo rectángulo
aquí en nuestra figura corresponde al
lado hacer
la hipotenusa se caracteriza porque
siempre siempre se está oponiendo al
ángulo de 90 grados
el triángulo rectángulo tiene dos
ángulos agudos en nuestra figura serían
los ángulos
hice
a la medida del ángulo a le asignaremos
alfa y a la medida del ángulo ce y
asignaremos beta
el tercer ángulo en un triángulo
rectángulo es el ángulo recta cuya
medida ya sabemos cuánto es es igual a
90 grados el ángulo recto en nuestra
figura se ubica aquí en el vértice b
otro de los aspectos de suma importancia
a tener en cuenta es el doble nombre que
reciben los catetos en el triángulo
rectángulo
vayamos a ver primero el doble nombre
que recibiría el cateto ave de acuerdo a
nuestra figura
el cateto a b cuando se relaciona con su
ángulo opuesto que aquí vendría a ser el
ángulo beta
recibe el nombre de cateto opuesto de
beta
y cuando se relacionan con su ángulo
adyacente que aquí sería el ángulo alfa
recibe el nombre de cateto adyacente de
alfa
lo mismo sucede con el cateto abc
cuando este cateto s se relaciona con su
ángulo opuesto que sería el ángulo alfa
se le llama al cateto bc cateto opuesto
de alfa y cuando se le relaciona con su
ángulo adyacente que aquí sería el
ángulo beta se le llama cateto adyacente
de beta
estos conceptos son de suma importancia
a la hora de comprender cómo se calcula
las razones trigonométricas en un
triángulo rectángulo
ahora sí vamos a ver cómo se calculan
las razones trigonométricas en un
triángulo rectángulo y lo haremos a
partir del desarrollo de un ejemplo
aquí tenemos el ejercicio y dice en un
triángulo rectángulo los lados mayores
miden 13 centímetros y 12 centímetros de
acuerdo a esta información se nos pide
calcular las razones trigonométricas del
menor ángulo agudo ojo y oído del menor
ángulo agudo
lo primero que vamos a hacer aquí es
graficar nuestro triángulo rectángulo al
cual asignaremos una letra a sus
respectivos vértices
al ángulo a le asignaremos la medida
alfa y al ángulo ce la medida beta de
acuerdo a la información proporcionada
por el ejercicio los dos lados mayores
los dos lados más grandes del triángulo
rectángulo miden 13 centímetros y 12
centímetros
nosotros sabemos por los conceptos
anteriormente explicados que el lado más
grande del triángulo rectángulo
corresponde a la hipotenusa en este caso
a la hipotenusa ac entonces decimos que
la medida de la hipotenusa ce es igual a
13 centímetros
y la otra medida corresponde a uno de
los catetos por supuesto sería el cateto
mayor según la información que nos
proporciona el ejercicio
y de acuerdo y de acuerdo a nuestro
triángulo que hemos construido el cateto
mayor correspondería al cateto ave ya
que este según la figura que vemos es
más grande que el cateto bc por lo tanto
la medida del cateto ave sería igual a
12 centímetros
esto significa que el lado más pequeño o
el cateto más pequeño corresponde al
lado de ce cuya medida no la conocemos
debemos calcularla
de acuerdo a la información del
ejercicio se nos pide calcular las
razones trigonométricas del menor ángulo
agudo
entonces debemos averiguar cuál de estos
dos ángulos agudos alfa o beta es el
menor
según la teoría de los triángulos
al lado más pequeño debe oponerse el
ángulo más pequeño nosotros sabemos que
el lado más pequeño de este triángulo es
veces cuya medida es x y a este lado se
estaba poniendo el ángulo alfa
entonces concluimos que el ángulo agudo
más pequeño entre alfa y beta según lo
que vemos es alfa por lo tanto debemos
calcular las razones trigonométricas del
ángulo alba pero antes de calcular las
razones trigonométricas del ángulo alfa
debemos hallar cuánto vale x así que
para esto vamos a usar el teorema de
pitágoras que dice pitágoras que la suma
de los cuadrados los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa así que
procedemos el cuadrado de un cateto que
no conocemos sus medidas es decir x al
cuadrado sumado con el cuadrado del otro
cateto cuya medida es 12 debería ser
igual al cuadrado de la hipotenusa cuya
medida es 13
ahora sí nos queda resolver esta
ecuación x cuadrado copiamos igual
decimos 12 al cuadrado cuando es
muy bien es 144 en el segundo miembro 13
al cuadrado cuánto es
muy bien dicho esto es 169 ahora el 144
que esté en el primer miembro va a pasar
al segundo miembro pero restando
procedemos estaba sumando ahora pasa a
restar
en el segundo miembro efectuamos la
resta a ver si me ayudan 169 menos 144
eso es muy bien dicho la respuesta de
esta resta vendría a ser igual a 25
tenemos aquí una ecuación de segundo
grado
vamos a tener dos resultados un positivo
y un negativo pero nos vamos a quedar
con el positivo porque porque el x
representa medida y las medidas son
siempre positivas
el exponente 2 va a pasar al segundo
miembro pero como índice es decir
quedaría x igual a raíz cuadrada de 25
ahora a calcular la raíz cuadrada de 25
cuánto es
eso mismo es igual a 5 ya tenemos
entonces el valor de x este valor vamos
a colocar en nuestro gráfico la medida
del cateto bc sería entonces 5
centímetros ahora sí vamos a calcular
las razones trigonométricas del ángulo
alfa empezaremos por la primera razón
trigonométricas
el seno de alfa
cómo se calcula el seno de un ángulo
dividiendo al cateto opuesto sobre la
hipotenusa
en nuestra figura el cateto opuesto del
ángulo alfa corresponde al cateto bc
cuya medida es 5 centímetros ahí lo
tenemos
y la hipotenusa y nuestra figura
corresponde a la medida del lado hace
que vendría a ser 13 centímetros
como pueden ver ustedes las unidades de
medidas se van a simplificar siempre
centímetros arriba y centímetros abajo
los simplificamos entonces de aquí en
adelante solamente trabajaremos con los
números obviaremos a las unidades de
medida porque hemos visto que siempre se
van a simplificar
entonces el seno de alfa sería igual a 5
13 a 2 ya tenemos calculado el seno del
ángulo alfa
ahora vayamos a calcular la siguiente
razón trigonométricas el coseno de alfa
y cómo se calcula el coseno de alfa
dividiendo al cateto adyacente entre la
hipotenusa
en nuestra figura el cateto adyacente de
alfa corresponde al cateto ave cuya
medida es 12
y la hipotenusa en nuestra figura
vendría a ser la hipotenusa ac cuya
medida es 13 por lo tanto el coseno de
alfa es igual a 12 sobre 13
ahora calcularemos
la siguiente razón trigonométricas la
tangente de alfa
y cómo se calcula también la tangente de
alfa muy fácil dividiendo el cateto
opuesto del ángulo sobre el cateto
adyacente del mismo ángulo
en nuestra figura el cateto opuesto del
ángulo alfa corresponde al lado b c cuya
medida es 5
y el cateto adyacente de alfa en nuestra
figura corresponde al lado ave cuya
medida es 12
entonces decimos que la tangente de alfa
es igual a 5 sobre 12
ahora calcularemos la co tangente de
alfa y como se calcula lago tangente de
alfa muy fácil dividiendo al cateto
adyacente del ángulo sobre el cateto
opuesto del mismo ángulo
en nuestra figura el cateto adyacente
del ángulo alfa corresponde al cateto
ave cuya medida es 12
y el cateto opuesto de alfa en nuestra
figura corresponde al canto de c cuya
medida es 5
entonces decimos que la otan gente de
alfa es igual a 12 quintos
ahora veamos cómo se calcula la secante
de alfa la secante de alfa se calcula
dividiendo a la hipotenusa sobre el
cateto adyacente del ángulo en nuestra
figura la hipotenusa su medida es 13 y
el cateto adyacente en nuestra figura
corresponde al cateto ave cuya medida es
igual a 12 entonces decimos que la
secante de alfa viene a ser igual a 13
sobre 12-13 12 a 2
y por último calcularemos la co secante
de alfa
cómo se calcula la constante de alfa muy
sencillo dividiendo la hipotenusa sobre
el cateto opuesto del ángulo
en nuestra figura el valor de la
hipotenusa es igual a 13
y el cateto opuesto en nuestra figura
corresponde al cateto bc cuya medida es
5 entonces podemos decir que la cose
cante de alfa es igual a 13 sobre 53 se
quintas
de esta manera se calculan las razones
trigonométricas de un ángulo
muy bien estimados amigos eso ha sido
todo por hoy y muchas gracias por su
atención será hasta una próxima
oportunidad
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