Asimtot Datar, Asimtot Tegak dan Asimtot Miring Fungsi Rasional Matematika Peminatan Kelas XII

Summary

In this educational video, Deni from Mad lem channel teaches how to determine the asymptotes of rational functions, including horizontal, vertical, and oblique asymptotes. The video covers prerequisites like polynomial factorization and limits. Deni explains that asymptotes are lines approached by curves without intersection, but they can intersect. The tutorial walks through determining vertical asymptotes by finding the zero of the denominator, horizontal asymptotes using limits as x approaches infinity, and oblique asymptotes when the degree of the numerator is higher than the denominator. Examples are provided for clarity.

Takeaways

• 📚 The video is an educational tutorial focused on teaching the determination of asymptotes of rational functions.
• 🔢 It covers three types of asymptotes: horizontal (datar), vertical (tegak), and oblique (miring).
• 📐 The presenter emphasizes prerequisite knowledge, such as polynomial factorization, polynomial division, and limits of infinity.
• 📉 The video explains that rational functions are ratios of two polynomials, with examples provided to illustrate the concept.
• 🌐 Asymptotes are described as lines that curves approach but never touch, with examples given for each type.
• 🚫 The video clarifies a common misconception that asymptotes never intersect their curves, showing examples where they do.
• 📌 To find vertical asymptotes, one must identify values of x that make the denominator zero, provided the numerator does not also become zero at those values.
• 📉 For horizontal asymptotes, the presenter teaches using limits as x approaches infinity to determine the asymptote's equation.
• 📈 The method for finding oblique asymptotes involves dividing the highest degree terms of the numerator by those of the denominator.
• 📝 The tutorial includes practical examples and step-by-step calculations to solve for asymptotes in given rational functions.
• 👋 The presenter concludes with a sign-off wishing viewers well, indicating the end of the tutorial.

Q & A

What are the different types of asymptotes discussed in the script?

The script discusses three types of asymptotes: horizontal (asimtot datar), vertical (asimtot tegak), and oblique (asimtot miring).

What is a rational function according to the script?

A rational function is defined as the ratio of two polynomial functions, similar to a rational number with a numerator and a denominator, but with variables involved.

What are the prerequisites mentioned in the script to understand asymptotes of rational functions?

The prerequisites include understanding how to factor polynomials, divide polynomials, and comprehend limits of infinity.

Can an asymptote intersect with the curve it is associated with?

Yes, an asymptote can intersect with the curve it is associated with. The script clarifies that an asymptote is characterized by approaching the curve without being concerned with whether it intersects or not.

How is a vertical asymptote determined for a rational function?

A vertical asymptote is determined by finding the values of x that make the denominator zero, provided that these values do not also make the numerator zero, as that would result in an undefined expression.

What is the condition for a rational function to have a horizontal asymptote?

A rational function has a horizontal asymptote if the degree of the polynomial in the numerator is less than or equal to the degree of the polynomial in the denominator.

How can you find the equation of a horizontal asymptote?

The equation of a horizontal asymptote can be found by taking the ratio of the leading coefficients of the highest degree terms in the numerator and the denominator when the limit of the function as x approaches infinity is considered.

What is the condition for a rational function to have an oblique asymptote?

A rational function has an oblique asymptote if the degree of the polynomial in the numerator is greater than the degree of the polynomial in the denominator.

How is an oblique asymptote different from a horizontal or vertical asymptote?

An oblique asymptote is a slanted line that the function approaches but does not necessarily reach, unlike horizontal asymptotes which are horizontal lines and vertical asymptotes which are vertical lines.

What is the significance of the term 'asymptote' in mathematics?

In mathematics, an asymptote is a line that a curve approaches but never reaches, no matter how far the curve extends.

How does the script illustrate the concept of an asymptote intersecting with a curve?

The script uses the example of the function f(x) = x / (x^2 + 1) to illustrate that an asymptote (in this case, the x-axis) can intersect with the curve of the function.

Outlines

00:00

📘 Introduction to Rational Functions and Asymptotes

The speaker, Deni, introduces the topic of rational functions and asymptotes. They explain that rational functions are ratios of two polynomials and can have different types of asymptotes: horizontal, vertical, and oblique. The concept of asymptotes is clarified as lines that a curve approaches but never reaches. Deni emphasizes the importance of understanding the prerequisites, such as polynomial factorization, polynomial division, and limits of infinity, before diving into the specifics of determining asymptotes. Examples of rational functions and their asymptotes are provided to illustrate the concepts.

05:03

📐 Understanding Vertical Asymptotes in Rational Functions

Deni explains vertical asymptotes, which occur when the denominator of a rational function equals zero, causing the function to be undefined at those points. The vertical asymptote is represented by the equation x = k, where k is a real number. The speaker clarifies that a vertical asymptote is not defined when the numerator also equals zero at the same value of x. An example is given to demonstrate how to find the vertical asymptote by setting the denominator equal to zero and solving for x after simplifying the function.

10:04

📉 Determining Horizontal Asymptotes of Rational Functions

The section discusses horizontal asymptotes, which are horizontal lines that a function approaches as x approaches infinity or negative infinity. Deni explains how to determine the horizontal asymptote by using the concept of limits. The method involves dividing the leading coefficients of the highest powers of x in the numerator and the denominator. Examples are provided to show how to calculate horizontal asymptotes, emphasizing that if the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, the horizontal asymptote is y = 0.

15:05

🔍 Identifying Oblique Asymptotes in Rational Functions

Deni covers oblique or slant asymptotes, which occur when the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator. The process involves dividing the numerator by the denominator and simplifying to find the quotient and the remainder. The quotient represents the oblique asymptote. An example is given to demonstrate the division process, resulting in the asymptote equation. The speaker also mentions that the gradient of the oblique asymptote can be understood from the quotient's coefficient.

Keywords

💡Rational Function

A rational function is a mathematical expression that is the ratio of two polynomials. In the video, rational functions are defined as having a numerator and a denominator, both of which can be polynomials, and they include a variable. The video uses the example of f(x) = (2x + 1)/(x - 5) to illustrate a rational function, where the numerator is '2x + 1' and the denominator is 'x - 5'. Rational functions are the main focus of the video, as they are used to discuss various types of asymptotes.

💡Asymptote

An asymptote is a line that a curve on a graph approaches but never touches or intersects. The video explains that asymptotes can be horizontal, vertical, or oblique (slant). The concept is central to the video's theme, as it is used to explain how certain lines relate to the behavior of rational functions as they approach infinity. For instance, the video mentions that a horizontal asymptote is a constant line like y = k, which the graph of a function may approach but never reach.

💡Horizontal Asymptote

A horizontal asymptote is a horizontal line that the graph of a function approaches as the input (x-values) increases or decreases without bound. The video explains how to determine horizontal asymptotes by looking at the degrees of the polynomials in the numerator and the denominator of a rational function. For example, if the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, the horizontal asymptote is y = 0.

💡Vertical Asymptote

A vertical asymptote is a vertical line where the graph of a function approaches infinity or negative infinity. The video describes how to find vertical asymptotes by identifying values of x that make the denominator of a rational function zero, provided that these values do not also make the numerator zero. The script gives an example of finding the vertical asymptote of the function y = (x^2 - 5x - 6)/(x^2 - 4) by setting the denominator equal to zero.

💡Oblique Asymptote

An oblique or slant asymptote is a line that the graph of a function approaches, where the line has a non-zero slope. The video explains that oblique asymptotes occur when the degree of the polynomial in the numerator is exactly one more than the degree of the polynomial in the denominator. An example given is the function y = (2x^3 - 3)/(x^2 - 1), where the oblique asymptote is found by dividing the numerator by the denominator.

💡Factoring

Factoring is the process of breaking down a polynomial into a product of its factors. The video mentions factoring as a prerequisite skill for understanding how to find asymptotes of rational functions. Factoring is used in the script to simplify expressions and to identify values that create vertical asymptotes.

💡Polynomial Division

Polynomial division is a method used to divide one polynomial by another, resulting in a quotient and a remainder. The video script uses polynomial division to explain how to find oblique asymptotes. It is shown as a process where the highest degree terms are divided first, and then the remainder is divided by the divisor until it is of a lower degree than the divisor.

💡Limit

In the context of the video, a limit refers to the value that a function or sequence approaches as the input (or another variable) approaches some value. The concept of limits is used to define horizontal asymptotes, particularly when discussing what happens as x approaches infinity or negative infinity. The video uses the concept of limits to explain how to determine the y-value of a horizontal asymptote.

💡Degree of a Polynomial

The degree of a polynomial is the highest power of the variable in the polynomial. The video emphasizes the importance of the degree of the polynomials in determining the type of asymptote a rational function will have. For example, if the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator, there is no horizontal asymptote.

💡Graphical Interpretation

Graphical interpretation in the video refers to the visual representation of functions and their asymptotes. The script uses graphical examples to illustrate the concepts of horizontal, vertical, and oblique asymptotes. By showing the graphs, the video helps viewers understand how the functions behave as they approach these asymptotes.

Highlights

Introduction to determining asymptotes of rational functions, including horizontal, vertical, and oblique asymptotes.

Prerequisites for understanding asymptotes include factoring polynomials, polynomial division, and limits of infinity.

Definition of a rational function as a ratio of two polynomials.

Explanation of what an asymptote is and its role in approaching curves without reaching them.

Examples of horizontal asymptotes and their representation as horizontal lines.

Examples of vertical asymptotes and their representation as vertical lines.

Examples of oblique asymptotes and their representation as slanted lines.

Clarification that asymptotes can intersect with the curve they approach.

Explanation of how to determine vertical asymptotes by finding the values of x that make the denominator zero.

Process of simplifying a rational function before finding vertical asymptotes.

Explanation of why certain values of x cause the function to be undefined, leading to vertical asymptotes.

Method for determining horizontal asymptotes using limits as x approaches infinity.

Procedure for calculating horizontal asymptotes by comparing the highest powers of the numerator and denominator.

Example of determining horizontal asymptotes for a given rational function.

Explanation of oblique asymptotes for rational functions where the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator.

Process of dividing the numerator by the denominator to find the oblique asymptote.

Example of determining an oblique asymptote for a specific rational function.

Conclusion of the discussion on horizontal, vertical, and oblique asymptotes in rational functions.

Transcripts

Hai assalamualaikum warahmatullahi

wabarakatuh ketemu lagi dengan saya Deni

Handayani di channel Mad lem pada video

kali ini kita akan belajar cara

menentukan asimtot dari fungsi rasional

terdiri dari asimtot datar asimtot tegak

dan asimtot miring Agar kalian mudah

menguasai materi ini ada beberapa materi

prasyarat yang harus kalian kuasai

terlebih dahulu diantaranya yang pertama

cara memfaktorkan persamaan polinomial

yang kedua pembagian polinomial dan yang

ketiga limit tak hingga Nah kalau kalian

sudah menguasai materi prasyarat nya

kalian bisa mempelajari materi ini Oke

sebelum kita pelajari cara menentukan

asimtot dari fungsi rasional atau lebih

dahulu kita pahami dulu

Apa itu fungsi rasional dan apa itu

asimtot kita awali dari fungsi rasional

dulu apa itu fungsi rasional nah fungsi

rasional bentuknya seperti ini ya berupa

rasio dari dua fungsi polinomial ya jadi

seperti bilangan rasional ada pembilang

ada penyebutnya kayak gini hanya bedanya

nanti ada variabelnya contohnya

Hai fx = 2x + 1 per X min 5 ini

fungsional ada yang menjadi pembilang

dan ada yang menjadi penyebutnya Oke

contoh lagi misalkan fx = x kuadrat

ditambah empat X min 5 per dua x min 4

ini juga fungsi rasional nah ini fungsi

yang akan kita pelajari

Hai kemudian Apa itu asimtot Nah mungkin

teman-teman sudah tidak asing dengan

kata asimtot waktu kelas 10 saat belajar

fungsi eksponen dan fungsi logaritma di

matematika peminatan kelas 10 kalian

udah belajar tentang asimtot asimtot

adalah suatu garis yang terus didekati

oleh kurva atau garis lengkung sampai

jauh tak hingga jadi asimtot dia akan

terus mendekati atau terus didekati oleh

kurvanya contohnya

Hai Nah misalkan ini kurvanya ya ini

kurvanya atau garis lengkung ya asimtot

itu garis yang mendekati atau yang

didekati oleh kurva ini dan

terus-menerus didekati nah ini adalah

asimtotnya ini adalah asimtot ini

disebutnya asimtot datar horizontal y =

k ya garis ini asimtot ini dia terus

didekati oleh kurva Jadi kalau kurva

yang kita perpanjang sekalipun terus ke

kanan dan asimtotnya juga kita

perpanjang ke kanan dia akan terus

mendekat itu nah ini yang disebut dengan

asimtot contoh lagi

Hai misalnya kurvanya seperti ini

Oh ya Nah asimtotnya yang mana garis

yang terus didekati oleh kurva nah ini

asimtotnya ini disebut sebagai asimtot

vertikal atau asimtot tegak kalau yang

tadi ini horizontal atau datar ya Nah

itu asimtot kemudian contoh ketiga

Hai misalkan kurvanya seperti ini

teman-teman asimtotnya nenek asimtotnya

itu sebelah sini nah ini disebut sebagai

asimtot miring nah ini yang akan kita

pelajari pada video kali ini ya kita

akan belajar bagaimana cara menentukan

asimtot datar bagaimana cara menentukan

asimtot tegak dan asimtot miring dari

fungsi rasional

Hai nah ini yang menjadi pertanyaan

Apakah asimtot itu mungkin berpotongan

dengan kurva waktu kelas 10 kalian

belajar asimtot Mungkin sering mendengar

bahwa asimtot itu selalu mendekati kurva

tanpa berpotongan tidak mungkin

berpotongan Nah itu keliru ya asimtot

itu bisa saja berpotongan dengan kurva

karena intinya bukan masalah berpotongan

atau tidak berpotongan tapi mendekati

kurva contohnya fx = x per x kuadrat + 1

ini fungsi rasional kalau kita buat

grafiknya itu akan seperti ini

teman-teman nah ini adalah grafik kurva

fungsi tersebut asimtotnya Dia memiliki

asimtot datar yaitu sumbu x sumbu x

adalah garis yang didekati oleh kurva ke

kanan dan ke kiri ke arah positif tak

hingga dan ke arah negatif hingga nah

disini kurva Dia memotong rambut

Hai kurvanya Dia memotong sumbu x di

sini DX =

Oh ya Nah ini menunjukkan bahwa kurva

dengan asimtot itu mungkin saya

berpotongan karena intinya bukan masalah

berpotongan atau tidak berpotongan tapi

terus mendekati ya contoh lain

Hai nehi fungsi trigonometri temen-temen

lihat ini asimtotnya itu garis yang

putus-putus ini

Hai nah ini kurvanya kurvanya

Hai kurva dengan asimtot ini berpotongan

tak hingga banyak sekali perpotongannya

tapi ini asimtot karena dia terus

mendekat semakin mendekat semakin kita

perpanjang kesini semakin mendekat ini

contoh asimtot yang berpotongan dengan

kurva Jadi kalau ada yang menanyakan

apakah asimtot mungkin berpotongan

dengan kurva 4 jawabannya ya mungkin

saja berpotongan Oke seorang kita bahas

cara menentukan asimtot tegak atau

vertikal asimtot dari fungsi rasional

yang asimtot tegak itu seperti ini Ya

seperti yang saya tunjukkan di awal

kalau misalkan ini adalah kurva ini maka

asimtot tegak nya dia vertikal bentuknya

lurus-lurus tegak seperti ini nah

persamaannya nanti akan menjadi x = k

dengan ke adalah bilangan riil nah

secara logika saja teman-teman

perhatikan disini X yaitu nilainya cuma

1x = k bisa x = 2x = 3 atau X = berapa

pun ya kayaknya bilangan riil untuk x =

k

itu nilai x nilainya itu jumlahnya tak

hingga misalnya disini y = 1 memenuhi Y

= 2 memenuhi juga y = 3 memenuhi kebawah

juga sama artinya untuk satu nilai x

nilainya itu tidak bisa didefinisikan

tidak terdefinisi nilainya berapa Eh

tidak bisa kita tentukan jadi untuk

fungsi rasional FX = GX Apa yang

menyebabkan dia nilainya tidak bisa

didefinisikan kalau bentuk pecahan ingat

dia tidak terdefinisi kalau pembaginya

nol gitu kan Nah jadi fungsi y = FX GX

memiliki asimtot tegak x = k jika GK =

Hai jadi secara sederhananya Kalian cari

penyebab penyebutnya bernilai nol karena

itu yang menyebabkan nilai tidak bisa

didefinisikan tapi dengan syarat nilai k

tersebut bukan juga penyebab

pembilangnya nol karena kalau

pembilangnya nol juga nanti 00 itu tidak

tentu ya tak tentu Oke jadinya ini untuk

menentukan asimtot tegak Kalian cari

penyebab atau pembuat nol dari penyebut

bagian bawahnya Oke ini intinya Biar

lebih jelas kita coba soal berikut

Tentukan asimtot tegak fungsi Y = X

kuadrat dikurangi 5 x dikurangi 6 para x

kuadrat min 3x Min 4 nah intinya tadi

penyebab nol dari penyebut itu adalah

asimtot tegak nya sebelum kalian cari

pembuat no dari penyebutnya ini harus

disederhanakan dulu y sama dengan ini

kita faktorkan dulu X kuadrat dikurangi

5S

enam ini bisa kita faktor Ken

Hai kalau dijumlahkan hasilnya negatif 5

kalau dikalikan hasilnya negatif 6

berapa Berarti negatif 6 dan positif

satu ini enggak ya jadi X min 6 x + 1

kemudian yang bawah juga ini kita

faktorkan juga

Ayo kita cari dua bilangan kalau

dijumlahkan hasilnya negatif 3 kalau

dikalikan hasilnya negatif 4 berapa

negatif 4 dan positif 1 x min 4 x + 1

nah ini harus kita Sederhanakan dulu ini

faktor persekutuannya faktor yang sama

antara pembilang dan penyebut ini kita

buang dulu nah x + 1 ini kan sama jadi

ini kita buang dulu jadi fungsinya

menjadi y = x min 6 per X min 4 6 baru

kita cari penyebab motor dari

penyebutnya dari bagian bawah

Hai X min 4 = 0 maka SM berapa x = 4 nah

ini adalah asimtot tegak nya

Hai nah ini ada asimtot tegak nya lalu

Bagaimana dengan x + 1 yang kita hapus

ini penyebab kalau kita gambar grafiknya

akan terjadi sebuah lubang nanti kenapa

Karena kalau action negatif satu ya

penyebab noda di sini X = negatif 1 ini

akan menyebabkan fungsi ini menjadi 00

itu bilangan tak tentu Oke sekarang kita

bahas cara menentukan asimtot datar atau

horizontal asimtot dari fungsi rasional

nah asimtot datar itu bentuknya seperti

ini dia garis lurus horizontal nanti

persamaannya y = k nah jika kita

perhatikan disini nilai Y yang memenuhi

hanya satu Nilai saja tapi nilai x yang

memenuhi misalkan x = 1 kita ambil

bilangan bulat aja x = 1 dia memenuhi

juga x = 2 bisa juga x = 3 bisa juga

bahkan nilai x nya aja itu bukan hanya

bilangan bulat aja disini ini memenuhi

semuanya ya

Hai Jadi kalau gitu nilai x yang

memenuhi itu bisa mendekati tak hingga

banyak sekali

Hai Nah jadi untuk fungsi y = FX

memiliki asimtot datar y = k jika kita

menggunakan konsep limit tak hingga

disini limit FX untuk X mendekati tak

hingga = kak ya kita gunakan konsep

limit disini variabel x nya Dia

mendekati tak hingga seperti yang saya

jelaskan barusan nah ini poinnya kita

coba contoh soal Tentukan asimtot datar

fungsi y = 4 x kuadrat min 5 x dikurangi

62s wadrat Min 3x dikurangi 4na untuk

menentukan asimtot datar yang kita

gunakan konsep limit dengan x mendekati

tak hingga untuk fungsi ini 4 x kuadrat

min 5 x dikurangi 6per bawahnya 2 x

kuadrat min 3x dikurangi 4-10 yang sudah

kita pelajari pada video sebelumnya

tentang limit tak hingga kalau ^

variabelnya sama itu caranya gimana

kalian bagi koefisien dengan koefisien

ya koefisien pangkat tertinggi dibagi

koefisien pangkat tertinggi berarti

disini 4 dibagi2 42422 maka asimtot

datar nya adalah Y = 2 simpulkan satu

soal lagi

Hai Tentukan asimtot datar fungsi y = 6x

kuadrat min 3x min 1/2 xpangkat 3 min 3

x kuadrat min 4 = akan konsep limit juga

limit x mendekati tak hingga fungsinya 6

x kuadrat min 3x dikurangi satu per dua

x pangkat 3 min 3 X kuadrat dikurangi

4na untuk limit x mendekati tak hingga

lihat lagi ^ variabelnya bagian atas

pangkatnya lebih kecil dari yang bawah

Maka hasilnya Gimana hasilnya itu pasti

nol kan Nah sekarang kita dapat ternyata

persamaan asimtot datar Nyai itu adalah

y = 0 atau sumbu x oke salah kita bahas

asimtot miring atau selain asimtot nah

Contohnya seperti ini

Hai ini kurvanya Deni asimtotnya nah ini

dikatakan asimtot miring nah suatu

fungsi rasional itu memiliki asimtot

miring itu ketika pangkat yang bagian

atas pembilang ^ pembilang itu lebih

besar dari ^ penyebutnya

Hai fungsi y = x pangkat n misalkan di

sini n ini adalah derajat atau pangkat

tertinggi dari pembilangnya dan m ini

adalah pangkat tertinggi dari

penyebutnya memiliki asimtot miring Jika

n lebih dari m Jika pangkat yang atas ^

membilang dia lebih besar dari pangkat

yang bawah nah ini poinnya perlu

teman-teman catat contohnya Tentukan

asimtot miring fungsi y = 2x pangkat 3

min 3 per x kuadrat min 1 nah caranya

ini kita bagi seperti yang sudah

teman-teman pelajari saat belajar

polinomial pembagian polinomial kita

bagi ejer menggunakan headset pakai bagi

kurung aja ya

G2 esma3 Min

Ayo kita bagi dengan x kuadrat min 1

Hai cara ngebagi nya lihat aja yang

pangkat terbesar 2x pangkat tiga kita

bagi dengan x kuadrat hasilnya bak 2x

yang enggak 2x coba 2x kalikan dengan x

kuadrat itu gue semangat tiga kemudian

2x kalikan min 1 min 2 x Nikita kurangi

dua semangka tiga dikurangi 2xpangkat ia

akan habis Nah di sini enggak ada

variabel x berarti nol pariabel esnya 0

dikurangi negatif 2x itu positif 2x

negatif 3 dikurangi nol jamin tiga Nah

ini udah gak bisa lagi dibagi oleh ini

karena disini pangkatnya satu ini

paketnya dua Nah ini disebut sebagai

hasil bagi

Hai dan ini disebut sebagai sisa-sisa

pembagian eh jadi bentuk ini y = 2x

pangkat 3 min 3 per x kuadrat min 1

Hai itu sama dengan

Hai hasil baginya berapa 2x kemudian

ditambah sisanya 2x Min

Hai dibagi oleh x kuadrat min 1

Hai nah yang mana asimtot miring ya

asimtot miring yaitu hasil baginya yang

ini nih ya jadi asimtot miring nya

adalah y = 2x ini asimtot miring ya

Hai di sini kalau teman-teman udah

belajar tentang gradien disini kita bisa

lihat gradiennya adalah dua jadi dia

jelas adalah sebuah garis lurus yang

miring Oke sampai sini dulu pembahasan

tentang asimtot datar asimtot tegak dan

asimtot miring pada fungsi rasional

untuk beberapa contoh Insyaallah akan

saya bahas di video yang lain ya

assalamualaikum warahmatullahi

wabarakatuh

hai hai