Aproximación del área bajo una curva y la notación sigma
Summary
TLDREn este vídeo se explica cómo aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos y notación sigma. Se toma la función f(x) = 1 + 0.1x^2, y se divide el intervalo de 0 a 8 en cuatro secciones iguales, calculando la altura de los rectángulos en el punto medio de cada sección. Se utiliza la fórmula de suma sigma para estimar el área, evaluando la función en puntos clave y multiplicando por la base de 2. El resultado es una aproximación del área bajo la curva, demostrando la relación entre la notación sigma y el cálculo de áreas.
Takeaways
- 📊 El objetivo del vídeo es practicar el cálculo de la aproximación del área bajo una curva utilizando rectángulos.
- 🔢 La función f(x) considerada es f(x) = 1 + 0.1x^2, y se grafica para visualizar el área a ser aproximada.
- 📐 El intervalo de x va de 0 a 8, y se divide en cuatro secciones iguales, cada una de 2 unidades de longitud.
- 📐 Los rectángulos se construyen con una base de 2 unidades y alturas determinadas por el valor medio de f(x) en cada intervalo.
- 📈 Se utilizan los valores medios de f(x) en los puntos x = 1, 3, 5 y 7 para calcular las alturas de los rectángulos.
- 🧮 La notación sigma (Σ) se introduce para representar la suma de las áreas de los cuatro rectángulos.
- 🔢 Se establece una relación entre el índice n y el argumento de la función f(x), donde el argumento es 2n - 1.
- 📝 Se calcula el área de cada rectángulo como la base (2) multiplicada por la altura (f(2n - 1)) y se suman usando la notación sigma.
- 🔢 Se evalúa la suma Sigma para obtener una aproximación numérica del área bajo la curva.
- 📉 El resultado final, 24.8, representa la estimación del área bajo la curva entre x = 0 y x = 8 utilizando la aproximación de rectángulos.
Q & A
¿Qué es el objetivo principal del video?
-El objetivo principal del video es practicar el cálculo de la aproximación del área bajo una curva y el uso de la notación sigma en este contexto.
¿Cuál es la función f(x) que se utiliza en el video para aproximar el área?
-La función f(x) utilizada en el video es f(x) = 1 + 0.1x^2.
¿Cómo se divide el intervalo de 0 a 8 para la aproximación?
-El intervalo de 0 a 8 se divide en cuatro secciones iguales, lo que significa que cada sección tiene una longitud de 2.
¿Cómo se calcula la altura de cada rectángulo utilizado en la aproximación?
-La altura de cada rectángulo se calcula a partir del punto medio del intervalo correspondiente, usando la función f(x) evaluada en ese punto.
¿Cuál es la base de los rectángulos utilizados en la aproximación?
-La base de cada uno de los rectángulos es de 2 unidades, ya que el intervalo total se ha dividido en secciones de 2.
¿Cómo se establece la suma de las áreas de los rectángulos usando la notación sigma?
-La suma de las áreas de los rectángulos se establece usando la notación sigma como la suma desde n=1 hasta n=4 de 2*f(2n-1).
¿Cómo se relaciona el valor de n con el argumento de la función f(x)?
-El argumento de la función f(x) se relaciona con el valor de n multiplicando n por 2 y restando 1, es decir, el argumento es 2n-1.
¿Cuál es el resultado final de la aproximación del área bajo la curva usando los rectángulos?
-El resultado final de la aproximación es 24.8, que se obtiene sumando las áreas de los cuatro rectángulos.
¿Qué significa la notación 'sigma' en el contexto del video?
-La notación 'sigma' en el contexto del video representa una suma acumulada, que se utiliza para calcular el área aproximada bajo la curva sumando el área de los rectángulos.
¿Cómo se evalúa la función f(x) para diferentes valores de x en el video?
-La función f(x) se evalúa para diferentes valores de x (1, 3, 5, 7) multiplicando estos valores por 0.1 y sumando 1, según la definición de la función f(x) = 1 + 0.1x^2.
Outlines
📐 Análisis de aproximación de área bajo la curva
El vídeo comienza explicando el objetivo de practicar el cálculo de la aproximación del área bajo una curva y el uso de la notación sigma. Se presenta la función f(x) = 1 + 0.1x^2 y se describe cómo se aproxima el área bajo esta curva usando rectángulos. Cada rectángulo tiene una base de 2 y se calcula la altura a partir del punto medio del intervalo correspondiente. El intervalo total de 0 a 8 se divide en cuatro secciones iguales, y se evalúa la función en los puntos medios para determinar las alturas de los rectángulos. Se invita al espectador a calcular la suma de las áreas de estos rectángulos usando la notación sigma, y se sugiere una relación entre el índice n y el argumento de la función, que es 2n - 1.
🔢 Cálculo de la suma de áreas de rectángulos
En el segundo párrafo, se procede con el cálculo de la suma de las áreas de los rectángulos para estimar el área bajo la curva. Se factoriza el 2 común de la base de los rectángulos y se evalúa la función f(x) en los puntos correspondientes a cada altura. Se realizan los cálculos para cada uno de los rectángulos y se suman los resultados. Se incluyen los cálculos detallados para cada valor de n, mostrando cómo se evalúa la función en los puntos medios y cómo se obtiene la suma final. El resultado de la suma es 24.8, que representa la aproximación del área bajo la curva utilizando el método de los rectángulos.
Mindmap
Keywords
💡Aproximación
💡Área bajo la curva
💡Notación sigma
💡Rectángulos
💡Función f(x)
💡Intervalo
💡Base del rectángulo
💡Altura del rectángulo
💡Punto medio
💡Suma de áreas
Highlights
El objetivo del video es practicar el cálculo de la aproximación del área bajo la curva utilizando la notación sigma.
Se presenta la función f(x) = 1 + 0.1x^2 y se describe cómo se aproxima el área bajo su curva.
Se divide el intervalo de 0 a 8 en cuatro secciones iguales para aproximar el área.
Cada rectángulo tiene una base de 2 unidades, correspondiente a las divisiones del intervalo.
La altura de cada rectángulo se calcula a partir del punto medio de su base.
Se describe cómo se relaciona la altura de los rectángulos con la función f(x) evaluada en puntos específicos.
Se invita al espectador a pausar el video y completar la fórmula de la suma de las áreas de los rectángulos.
Se explica que la notación funcional se puede usar en lugar de valores específicos para la fórmula de la suma.
Se construye una tabla para visualizar la relación entre los valores de n y los argumentos de la función f(x).
Se descubre que el argumento de la función para cada rectángulo es 2n - 1.
Se calcula el área de los rectángulos como la base multiplicada por la altura, usando la función f(2n - 1).
Se factoriza el 2 en la suma para simplificar los cálculos.
Se evalúa la función f(x) en los puntos medios de cada base para calcular las alturas de los rectángulos.
Se suman las áreas de los cuatro rectángulos para obtener una aproximación del área bajo la curva.
Se obtiene un resultado aproximado de 24.8 para el área bajo la curva entre x = 0 y x = 8.
Se enfatiza que la aproximación es una estimación basada en el área de los rectángulos.
Transcripts
lo que quiero hacer en este vídeo es
practicar el cálculo de la aproximación
del área bajo la curva y el uso de la
notación sigma en este contexto aquí
tenemos la gráfica de la función f x
igual a 1 + 0.1 x cuadrada es esta curva
que aparece aquí también tenemos estos
rectángulos como una aproximación del
área bajo la curva del área que se
encuentra por debajo de la gráfica de f
/ x igual a 0 y x igual a 8 y la manera
como haremos esta aproximación de
acuerdo a este diagrama es dividiendo el
área en estos cuatro rectángulos así es
que a este rectángulo le podemos llamar
rectángulo 1 a este rectángulo 2
rectángulo 3 y rectángulo 4 ya esta
altura pero veamos primero el intervalo
parece ser que cada uno de estos
rectángulos tiene una base de 2 el
intervalo de 0 a 8 lo hemos dividido en
cuatro secciones iguales así es que cada
sección tiene una longitud de 2 ahí
tenemos 22
2 y 2 y la altura del rectángulo
aparentemente se toma se calcula a
partir del punto medio
así es que entre el lado izquierdo y el
lado derecho de la base del rectángulo
tomaremos la altura a partir del punto
medio así tenemos que la altura aquí es
efe de 1 la altura aquí es efe de 3 la
altura de este rectángulo es efe de 5 y
finalmente la altura aquí es efe de 7
entonces en base a esta construcción que
tenemos aquí queremos usar la suma de
las áreas de estos 4 rectángulos para
aproximar el área bajo la curva como
podríamos establecer dicha suma
utilizando la notación sigma bien
queremos hacer la suma de las áreas de
estos 4 rectángulos eso podemos
escribirlo como la suma desde n igual a
1 hasta en igual a 4 son 4 rectángulos
aquí te invito a que le pongas pausa y
completes lo que viene aquí escríbelo en
términos de la función no es necesario
que lo escribas como 10.1 de algo al
cuadrado sino que puedes usar la
notación funcional
pongo que ya lo intentaste así es que
veamos para el primer rectángulo su área
la vamos a calcular como 2 que es la
base por la altura que es la función
evaluada en 1
así es que aquí podemos poner que es 2
por efe dn
para el segundo rectángulo tenemos que
también sería 2 que corresponde a la
base del rectángulo multiplicada por la
altura que es f evaluada en 3 ya que no
nos funciona fn porque n vale 2 y lo que
queremos es f de 3 tenemos que ver cómo
construimos este argumento a ver veamos
hagamos una tabla para ver esto en esta
tabla vamos a considerar entonces los
valores de n que es 1234 y los valores
de f dn bueno eso es lo que queremos
determinar así para en igual a uno la
altura si es f1 cuando n es igual a 2 la
altura correspondiente es f de 3 cuando
en es igual a 3
efe de 5 y cuando n es igual a 4
la altura es f de 7 y qué relación hay
entre n y el argumento bien parece ser
que cuando multiplicas por 2 y restas 1
obtienes el argumento a ver veamos 2 x 1
- 1 1 2 x 2 menos 13 2 por 3 menos 5 2
por 3 menos 15 2 por 4 menos 17 de tal
manera que el argumento de la función es
12 n 1 y el área de los rectángulos la
podemos calcular como la base que es 2
por la altura que es f de 12 ene - 12
por efe de 12 n 1 y aquí la tenemos
espero que te haya quedado claro cómo
relacionamos la notación sigma con lo
que estamos intentando hacer y ahora
divirtámonos un poco tratando de evaluar
esto de aquí obtener el resultado de
esta expresión esto es igual a 2
efe de 2 x 1 1/2 por efe de 1 + 2 por
efe de 2 x 24 menos uno efe de 3 más
cuando en es igual a 32 por efe de 5 más
cuando en es igual a 42 por efe de 72
por 48 menos 172 por f de 7 así es que
esto va a ser igual a vamos a tener que
evaluar varias veces esta expresión
déjame borrar esto de aquí para que
tenga más espacio se me hace que vamos a
tener que escribir bastantes cálculos
así es que esto va a ser igual a podemos
factorizar el 2 para empezar y f1 es uno
más punto uno por uno al cuadrado esto
es uno más
punto uno deja de poner lo mejor con
colores para que quede más claro que lo
que estoy haciendo
efe de 11.1 10.1 es 1.1
este de aquí efe de tres es uno más
punto uno por tres al cuadrado tres al
cuadrado es nueve esto es uno más punto
91.9 más 1.9 a eso le vamos a sumar f 5f
de 5 que es uno más punto uno por cinco
al cuadrado que es 25 por punto 1 es 2.5
más 13.5 y finalmente más
efe de 7 que es igual a 1.1 por 7 al
cuadrado que es 49.1 por 49 4.91 esto es
5.9 + 5.9 bien y ahora todo esto a
cuánto es igual veamos aquí podemos
sumar 1.1 más 1.9 esto es igual a 3
y por otro lado tenemos 3.5 5.9 y esto
es igual veamos 3.55 s 8.5 más punto
99.4 + 9.4 entonces y se viene esto a
ver 35 8.5 punto 91.4 89.4 por lo que
esto es igual a por cierto hay que
incluir el 2
así es que esto va a ser igual a 2 por
12.4 y 2 por 12.4 es igual a 24.8 que es
el valor de la aproximación no olvidemos
que esta es una estimación usando el
área de estos rectángulos para estimar
el valor del área bajo la curva entre x
igual a 0 y x igual a 8
浏览更多相关视频
Área bajo la curva (Cálculo integral) Método de rectángulos. EJEMPLO 2
Área bajo la curva (Cálculo integral) Método de rectángulos. EJEMPLO 1
Suma de Riemann ¿Qué es? ¿De dónde sale? EXPLICACIÓN COMPLETA
Cálculo Integral 01:Área bajo una curva. Area under a curve
Área aproximada por rectángulos (inscritos y circunscritos)
Método: rectángulos CIRCUNSCRITOS | Área bajo la curva | Cálculo Integral
5.0 / 5 (0 votes)