Matriz de rotación en 2d y sistemas de coordenadas

Summary

En este video, se explica cómo se forma una matriz de rotación en dos dimensiones. Se comienza definiendo sistemas de coordenadas y referencias, utilizando letras para identificarlos. Se detalla cómo localizar un punto en el espacio utilizando vectores de posición y cómo representar estos vectores por medio de sus componentes en relación con los vectores unitarios. A continuación, se construye la matriz de rotación, encontrando la rotación de los ejes unitarios de una trama con respecto a otra, utilizando funciones trigonométricas para determinar las componentes del vector unitario rotado. Finalmente, se presenta la matriz de rotación en dos dimensiones, que describe cómo se ha girado una trama con respecto a otra.

Takeaways

• 📚 Se define un sistema de coordenadas como un marco de referencia que contiene ejes 'x' y 'y', y se identifica con una letra, como 'A'.
• 📍 Para localizar un punto en el espacio, se utiliza un vector posición que parte del origen hasta el punto de interés, representado como p con respecto a la trama o sistema de coordenadas.
• 📈 Los vectores se representan por medio de sus componentes en los ejes, acompañados de sus vectores unitarios correspondientes, como 'i' para 'x' y 'j' para 'y'.
• 📝 En el caso de tres dimensiones, se incluye también el eje 'z' con su vector unitario 'k', y se representa un vector posición como un vector de datos con tres componentes.
• 🔄 Para obtener una matriz de rotación en dos dimensiones, se definen las relaciones entre los vectores unitarios de dos tramas, 'A' y 'B', tras una rotación de ángulo 'teta'.
• 📐 Se utilizan funciones trigonométricas para encontrar las componentes proyectadas de los vectores unitarios de una trama con respecto a los ejes de otra trama.
• 📈 La matriz de rotación 'R' es una representación de cómo se ha rotado una trama 'B' con respecto a otra trama 'A', y está formada por las componentes proyectadas de los vectores unitarios.
• 🧩 La matriz de rotación en dos dimensiones se compone de los componentes 'cos(teta)' y 'sen(teta)' para la rotación del eje 'x' de 'B' con respecto a 'A', y '-sen(teta)' y 'cos(teta)' para el eje 'y'.
• 🔍 La proyección de un vector unitario sobre otro se calcula mediante el producto punto, y se utiliza para determinar las componentes del vector proyectado.
• 📘 La matriz de rotación resultante es crucial para entender la transformación de un sistema de coordenadas tras una rotación en el plano.

Q & A

¿Qué es un sistema de coordenadas y cómo se identifica?

Un sistema de coordenadas es un marco de referencia utilizado para ubicar puntos en un espacio. Se identifica generalmente mediante una letra asociada, como 'a', para distinguirlo de otros sistemas de referencia o tramas.

Cómo se representa la localización de un punto en un sistema de coordenadas?

Para localizar un punto en un sistema de coordenadas, se utiliza un vector posición que va desde el origen del sistema hasta el punto de interés, representando las coordenadas en x e y.

¿Qué es un vector unitario y cómo se relaciona con las componentes de un vector?

Un vector unitario es un vector con magnitud igual a 1, utilizado para representar la dirección de los ejes en un sistema de coordenadas. Las componentes de un vector se relacionan con los vectores unitarios correspondientes a través de multiplicaciones que definen su dirección y magnitud en el espacio.

¿Cómo se representa un vector en términos de sus componentes en un sistema de coordenadas tridimensional?

Un vector en un sistema de coordenadas tridimensional se representa por medio de sus componentes en x, y y z, junto con sus vectores unitarios correspondientes, usualmente representados por i, j y k.

¿Qué es una matriz de rotación y cómo se relaciona con los vectores unitarios de un sistema de coordenadas?

Una matriz de rotación es una matriz matemática que describe cómo se rota un sistema de coordenadas con respecto a otro. Se relaciona con los vectores unitarios al definir la transformación de estos vectores bajo la rotación.

¿Cómo se calcula la proyección de un vector unitario en otro vector unitario durante una rotación?

La proyección de un vector unitario sobre otro se calcula utilizando el producto punto entre los vectores y las funciones trigonométricas, como el coseno y el seno, para determinar las componentes en las direcciones de los ejes rotados.

¿Cómo se definen las ecuaciones para la rotación de los ejes unitarios durante una transformación de rotación?

Las ecuaciones para la rotación de los ejes unitarios se definen a través de la proyección de estos vectores en los ejes del sistema de coordenadas original, utilizando trigonometría para hallar las componentes resultantes.

¿Cuáles son los componentes de la matriz de rotación en dos dimensiones y cómo se deducen?

Los componentes de la matriz de rotación en dos dimensiones son las proyecciones de los vectores unitarios del sistema rotado sobre los ejes del sistema original, y se deducen a través de las funciones trigonométricas del ángulo de rotación.

¿Cómo se construye la matriz de rotación para un sistema de coordenadas bidimensional?

Para construir la matriz de rotación en dos dimensiones, se sustituyen las componentes calculadas de los vectores unitarios rotados en las filas correspondientes de la matriz, donde cada fila representa un eje del sistema de coordenadas original.

¿Qué información se puede obtener de la matriz de rotación y cómo se interpreta?

La matriz de rotación proporciona información sobre cómo se ha transformado un sistema de coordenadas durante una rotación. Se interpreta como las nuevas direcciones y magnitudes de los vectores unitarios del sistema rotado con respecto al sistema original.

¿Cómo se relaciona el ángulo de rotación con la construcción de la matriz de rotación?

El ángulo de rotación es un parámetro fundamental en la construcción de la matriz de rotación, ya que determina las componentes de los vectores unitarios tras la rotación, y por ende, los valores dentro de la matriz.

Outlines

00:00

📚 Introducción a las matrices de rotación en dos dimensiones

El primer párrafo introduce el tema de las matrices de rotación en dos dimensiones. Se definen conceptos básicos como sistemas de coordenadas, referencias y vectores de posición. Se explica cómo se identifican los sistemas de coordenadas mediante letras y cómo se localiza un punto en el espacio utilizando vectores de posición que parten del origen hasta el punto de interés. Además, se menciona la importancia de los vectores unitarios y cómo se representan los vectores en función de sus componentes en un espacio tridimensional y bidimensional.

05:01

📐 Proyección y cálculo de vectores unitarios en dos dimensiones

En el segundo párrafo, se profundiza en el cálculo de la rotación de vectores unitarios en dos dimensiones. Se describe el proceso de proyección de estos vectores unitarios sobre los ejes de un sistema de coordenadas de referencia, utilizando funciones trigonométricas como el coseno y el seno para determinar las componentes de los vectores unitarios tras la rotación. Se calculan las componentes de los vectores unitarios 'i' y 'j' de un sistema de coordenadas rotado con respecto al sistema original, empleando el ángulo de rotación 'teta'.

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🔍 Detallando la construcción de la matriz de rotación

El tercer párrafo se enfoca en la construcción de la matriz de rotación a partir de las componentes proyectadas de los vectores unitarios. Se presentan las ecuaciones que definen la rotación del eje 'x' y 'y' del sistema de coordenadas rotado con respecto al sistema original. Se utiliza el concepto de proyección para encontrar las componentes de los vectores unitarios en los ejes de referencia y se resaltan los pasos para llegar a las fórmulas que definen la rotación de los ejes.

15:05

📘 Conclusión: La matriz de rotación en dos dimensiones

El último párrafo sintetiza la información presentada en los párrafos anteriores y concluye con la representación final de la matriz de rotación en dos dimensiones. Se reitera el proceso de sustitución de las componentes calculadas en las ecuaciones para formar la matriz de rotación. Se enfatiza que esta matriz describe cómo se ha rotado el sistema de coordenadas 'b' con respecto al sistema de coordenadas 'a', y se presenta la matriz en su forma final.

Keywords

💡Matriz de rotación

Una matriz de rotación es una herramienta matemática que se utiliza para describir la transformación de un objeto en el plano o en el espacio, girándolo un ángulo determinado alrededor del eje de rotación. En el video, se discute cómo se conforma una matriz de rotación en dos dimensiones, la cual es fundamental para entender el movimiento y la transformación de figuras en un sistema de coordenadas.

💡Sistema de coordenadas

El sistema de coordenadas es un marco de referencia utilizado para determinar la posición de los puntos en un plano o en el espacio. En el script, se menciona que cada sistema de coordenadas puede ser identificado por una letra y que se utiliza para trabajar con vectores de posición y para definir el espacio de trabajo, como en el caso de las tramas A y B.

💡Vector de posición

Un vector de posición es un vector que comienza en el origen del sistema de coordenadas y termina en el punto de interés. Se utiliza para representar la ubicación de un punto en el espacio. En el video, se describe cómo se relaciona un punto con su sistema de coordenadas a través de un vector de posición, el cual es crucial para la construcción de la matriz de rotación.

💡Tramas

Las tramas son sistemas de referencia distintos que se utilizan para describir la posición de objetos en el espacio. En el script, se habla de tramas A y B, donde la trama B es relativa con respecto a la trama A, y se busca entender cómo se ha rotado la trama B con respecto a la trama A.

💡Ángulo de rotación

El ángulo de rotación, representado por la letra 'teta' en el script, es la medida en la que se gira un sistema de coordenadas con respecto a otro. Es un elemento clave en la definición de la matriz de rotación, ya que indica el desfase angular entre las tramas.

💡Vector unitario

Los vectores unitarios son vectores de longitud igual a 1 que se utilizan para describir la dirección de los ejes en un sistema de coordenadas. En el video, se discuten los vectores unitarios de las tramas A y B, y cómo se transforman bajo una rotación.

💡Producto punto

El producto punto, o dot product, es una operación entre dos vectores que resulta en un escalar y se utiliza para calcular la proyección de un vector sobre otro. En el script, se menciona el uso del producto punto para encontrar las componentes de los vectores unitarios tras la rotación.

💡Proyección de vectores

La proyección de vectores es el proceso de encontrar la representación de un vector en dirección de otro vector. En el video, se calculan las proyecciones de los vectores unitarios de la trama B sobre los ejes de la trama A para construir la matriz de rotación.

💡Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas, como el coseno y el seno, se utilizan para relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos que forman. En el script, se aplican estas funciones para calcular las componentes de los vectores unitarios tras la rotación, basándose en el ángulo de rotación 'teta'.

💡Matriz de rotación 2D

La matriz de rotación 2D es una matriz especial que se utiliza para representar la rotación de un objeto en un plano bidimensional. En el video, se construye esta matriz a partir de las proyecciones de los vectores unitarios de la trama B sobre los ejes de la trama A, utilizando el ángulo de rotación 'teta'.

Highlights

Introducción al concepto de sistemas de coordenadas y referencias en dos y tres dimensiones.

Importancia de identificar sistemas de coordenadas con una letra para diferenciación.

Explicación de cómo localizar un punto en un sistema de coordenadas utilizando vectores de posición.

Descripción de la representación de vectores en términos de sus componentes y vectores unitarios.

Construcción de vectores de elementos a partir de la representación de vectores en espacio tridimensional.

Método para obtener la matriz de rotación en dos dimensiones.

Definición de la rotación de un sistema de coordenadas utilizando ángulos y vectores unitarios.

Proceso de proyección de vectores unitarios y su análisis trigonométrico para obtener componentes.

Cálculo de la componente en x del vector unitario y utilizando la función coseno.

Determinación de la componente en y del vector unitario utilizando la función seno.

Formación de la matriz de rotación a partir de las componentes proyectadas del vector unitario.

Representación de la matriz de rotación en forma de columna para la rotación del eje x.

Análisis de la rotación del eje y en relación con el eje x y su representación en la matriz.

Integración de las ecuaciones de proyección en la matriz de rotación para completar el modelo.

Conclusión del proceso de creación de la matriz de rotación en dos dimensiones.

Transcripts

saludos a todos y bienvenidos en esta

ocasión vamos a ver cómo se conforma una

matriz de rotación en dos dimensiones

antes de comenzar vamos a definir

algunas cosas cuando nosotros vamos a

trabajar en un sistema de coordenadas o

un sistema de referencia a este

generalmente se le va a asociar una

letra ya que vamos a estar trabajando

con diversos sistemas diversas tramas

entonces tenemos que identificarlos por

medio de una letra por lo tanto este

sistema de coordenadas lo voy a nombrar

con la letra a y generalmente nuestro

sistema de coordenadas va a estar dentro

de llaves bien si nombramos sistema de

coordenadas el sistema de referencia o

bien una trama nos estamos refiriendo a

lo mismo a un sistema el cual contenga

xy o bien x y y ceta es el espacio en

donde vamos a estar trabajando cuando

nosotros necesitamos localizar un punto

en este espacio lo podemos localizar de

la siguiente manera en donde tendríamos

un punto y este punto simplemente

tendría coordenadas en x y coordenadas

en ye si nosotros lo que haremos

a una trama para trabajar con este punto

entonces lo vamos a relacionar por medio

de un vector posición este vector

posición generalmente va a ir desde el

origen de nuestro sistema de coordenadas

hasta nuestro punto por lo tanto aquí ya

tendríamos un vector y ahora sí estamos

relacionando este punto o esta

coordenada por medio de un vector

posición vamos a indicar nuestro punto y

vamos a colocar la trama a la cual está

haciendo referencia generalmente se

puede trabajar de esta manera sin

embargo en muchos textos la posición de

este súper índice puede estar del lado

derecho en esta ocasión para estos

ejemplos vamos a trabajarlo de esta

manera indicando que es p con respecto a

la trama o al sistema de coordenadas

y de la misma manera si tenemos por

ejemplo un sistema de referencia en tres

dimensiones un sistema de coordenadas en

tres dimensiones a este lo podemos

nombrar por ejemplo ve de esta manera y

nuevamente si nosotros queremos

localizar un punto en este espacio lo

podemos realizar por medio de un vector

de posición siempre desde el origen

hasta nuestra coordenada teniendo

nuestro punto p en este caso nosotros

vamos a indicar que este punto está con

respecto a la trama o al sistema b

recordemos que cuando nosotros estamos

ubicando un vector en un espacio éste lo

podemos representar por medio de sus

componentes es decir podemos indicar que

éste tiene componentes en x en y en z y

cada una de estas componentes estaría

relacionada con respecto a la trama

de la misma manera estarían acompañados

cada una de estas componentes con cada

uno de sus vectores unitarios para el

caso de x el vector unitario y para el

caso de y el vector unitario jota y para

el caso de z el vector unitario k una

vez que tenemos cada una de estas

componentes nosotros podemos conformar

nuestro vector posición con respecto a

la trama b por otra parte como vamos a

estar trabajando con matrices es

necesario conformar un vector de

elementos a partir de nuestra

representación por lo tanto para el caso

de tres dimensiones nosotros estaríamos

indicando que tenemos el vector p con

respecto a la trama b y éste va a ser

igual a la componente en x con respecto

a b la componente en ye y la componente

en zeta

por lo tanto este sería nuestro vector

posición con respecto a la trama b en el

caso de dos dimensiones pues nuevamente

tendríamos cada una de sus componentes

para el caso sería la componente en x

del del vector p con respecto a más la

componente n del vector p con respecto

aa y éstos acompañados por sus unitarios

y para x y j para ye representándolo por

medio de un vector de datos entonces

tendríamos que con respecto a

representado de la siguiente manera

en donde tendríamos para el caso de dos

dimensiones un vector de dos filas por

una columna y en el caso de tres

dimensiones tendríamos un vector de tres

filas por una columna ahora sí vamos a

obtener la matriz de rotación en dos

dimensiones

bien entonces vamos a obtener la matriz

de rotación en dos dimensiones para lo

cual ya tengo dibujado nuevamente una

nueva trama nombrada como para esto

vamos a tener una nueva trama esta trama

va a ser la trama b y esta trama va a

ser relativa con respecto a la trama es

decir en este caso la trama es nuestra

trama absoluta y la trama b es nuestra

relativa vamos a obtener las ecuaciones

que nos definen cómo ha girado o cómo ha

rotado esta trama ve con respecto a la

trama y vamos a formar nuestra matriz la

matriz que conforma cada uno de esos

elementos la cual nos indicaría la

rotación de be con respecto a para esto

vamos a trabajar con los vectores

unitarios recordemos que para cada trama

cada uno de los ejes cuenta con los

vectores unitarios en este caso en dos

dimensiones tendríamos para la trama a

el unitario y para xy el unitario j para

y correspondiente a la trama a y en el

caso de la trama b o el sistema de

coordenadas b tendríamos el unitario y

con respecto a b y j con respecto a b

como su nombre lo indica cada uno de

ellos tiene una magnitud igual a 1 y

bueno de la misma manera recordemos que

cuando tenemos alguna magnitud de algún

vector y lo multiplicamos por estos

vectores unitarios pues simplemente

tendríamos el sentido de ese vector bien

ahora vamos a encontrar la rotación de v

con respecto a y si nosotros estamos

girando la trama ve que inicialmente

estaba en la misma posición que la trama

podemos indicar que ésta ha girado un

ángulo de teta grados este ángulo que se

encuentra desfasado aquí también se

encuentra aquí por lo tanto aquí también

tenemos tk grados bien vamos a

representar cómo se encuentra esta

matriz e indicamos que es una matriz de

rotación generalmente con la letra r y

sería la matriz de rotación b con

respecto a la trama a ésta estaría

conformada por una rotación del vector

unitario y de b es decir estaríamos

buscando o estaríamos definiendo cómo se

encuentra rotado este eje x y también

estaríamos encontrando cómo se giró este

eje y debe con respecto aa por lo tanto

como estamos trabajando con los

unitarios decimos que vamos a definir

cómo está rotado idv con respecto aa

éste sería el unitario y y también

tendríamos que definir cómo se encuentra

rotado jdb con respecto aa ahora

definamos cada una de estas ecuaciones

que nos indican la rotación de cada eje

por lo tanto para definir y debe con

respecto a lo que nosotros tenemos que

hacer es encontrar la proyección de este

vector unitario y con respecto a este

vector recordemos que la operación que

nos define la proyección de un vector

con respecto a otro nos lo proporciona

el producto punto entre dos vectores

pero en este momento como estamos

trabajando en dos dimensiones pues

simplemente lo que podemos hacer es

proyectar cada uno de estos vectores y

encontrar sus componentes por lo tanto

vamos a encontrar las componentes del

vector

y como se encuentra proyectado con

respecto aa así es que una vez

proyectado cada una de esas componentes

nosotros encontramos este triángulo

rectángulo en donde nosotros tendríamos

algo como esto que sería nuestro vector

la magnitud de nuestro unitario su

proyección en x y su proyección en ye y

este sería nuestro ángulo teta este

sería nuestro vector y debe la magnitud

de idv y aquí tendríamos la proyección

de idv en la parte x y también

tendríamos aquí su proyección de idv en

su componente en y por lo tanto vamos a

obtener cada una de ellas así es que

definiendo la proyección de idv con

respecto a tendríamos lo siguiente

tendríamos que y debe con respecto a

sería igual a la suma primero la parte

en x que sería y debe en x + y debe su

componente en g

así es que definiendo la componente y

deben xy la componente i deben y vamos a

utilizar las funciones trigonométricas

para encontrarlo por lo tanto nosotros

sabemos que si queremos localizar la

parte adyacente que es la parte que está

junto al ángulo vamos a utilizar la

función coseno de esta manera podemos

definir directamente que el coseno

escribiéndolo completo del ángulo que es

igual al cateto sobre la hipotenusa

ahora sustituyendo valores pues

simplemente sabemos que el coseno del

ángulo es igual al adyacente que es y

debe la componente en x y divx sobre la

hipotenusa la hipotenusa sabemos que es

el unitario y debe como nosotros

queremos saber el valor de itv que es la

componente en x es simplemente el

unitario y de b lo despejamos y quedaría

multiplicando al coseno por lo tanto la

componente i debe de x sería igual a idv

por el coste no de teta y bueno

simplemente como nosotros ya sabemos que

los unitarios cualquier unitario tiene

el valor de 1 pues simplemente esto

sería igual a 1 lo que finalmente nos

daría como resultado la componente idv

en x que sería igual al coseno de teta

esto sería el proceso completo que se va

realizando y nuevamente para encontrar

en este caso a la componente de y sé que

tengo que utilizar la función seno ya

que es el cateto opuesto nuevamente voy

a escribir la función completa e ir

sustituyendo y

así es que tengo el seno del ángulo que

esto va a ser igual al opuesto sobre la

hipotenusa sustituyendo los valores de

acuerdo a esto yo tengo el seno de teta

que es mi ángulo y esto va a ser igual

al opuesto que es la componente y debe

ser ya y debe y sobre la hipotenusa que

es el unitario y debe nuevamente pues

aquí despejamos y debe ya que

necesitamos la componente de idv y así

es que nos quedaría de la siguiente

manera y de beni y esto sería igual a el

unitario y debe x el seno del ángulo y

nuevamente recordemos que cualquier

unitario vale 1 esto vale 1 así es que

finalmente tenemos un y debe en yale la

componente en jake sería igual al seno

de que está bien en esta ocasión como es

la primera ocasión que se está

realizando esto luego quise realizar

desde el inicio para recordar como

encontramos cada una de las componentes

de un vector así es que una vez ya

obtenido cada una de esas componentes lo

podemos sustituir directamente en

nuestra ecuación y obtener como está

proyectado y debe con respecto a es

decir cómo está proyectado el eje x de

la trama b con respecto

x de la trama así es que sustituyendo

cada uno de estos valores puedo decir

que y debe con respecto a es igual a idv

en x que es justamente el coche no

detecta más y debe en la componente que

es el seno de t por lo tanto tengo más

el seno de teta bien y aquí yo tengo ya

mi primera actuación y con esto ya

encontramos cómo se encuentra ha rotado

el eje x con respecto a la trama y ahora

de la misma manera vamos a encontrar

cómo se encuentra proyectado el eje y

con respecto a la parte en x de la trama

y con respecto al eje de la trama

para esto nuevamente realizó la

proyección de este vector en cada uno de

los ejes para obtener cada uno de los

componentes y nuevamente de esto obtengo

este pequeño triángulo rectángulo en

donde tendría la hipotenusa y sus

catetos este sería mi ángulo teta de

esto yo sé que la hipotenusa sería el

unitario jdb por lo tanto a esto yo lo

puedo nombrar como j debe su componente

en x jdb su componente en y así es que

bien nuevamente ahora yo voy a encontrar

cómo se encuentra la proyección del

unitario j debe con respecto aa para

esto yo indicó que j debe con respecto

aa va a ser igual a la suma de sus

componentes lo que sería j debe la

componente en x + j debe en su

componente en que nuevamente realizando

un análisis trigonométrico de los

catetos que yo tengo aquí y ya

realizando lo de una forma un poco más

directa y más rápida yo sé que jdb en x

va a ser ahora el opuesto por lo tanto

voy a utilizar la función seno y como la

hipoteca vale 1 por lo tanto yo sé que

jbn x simplemente sería el seno de teta

como esta componente se encuentra en la

parte negativa del eje x agregó el signo

menos de la misma manera ahora voy a

encontrar jdb su componente en ye y

nuevamente yo sé que jota debe que es la

componente en yes el cateto adyacente

por lo tanto voy a utilizar la función

coseno tal y como lo hicimos aquí

despejando y como el unitario vale 1

pues simplemente yo sé que esto sería

igual al coste no de teta así es que

sustituyendo estos valores directamente

en esta expresión tendría que jdb con

respecto aa esto sería igual a menos el

seno de teta más el coseno de teta de

aquí yo tengo estas dos ecuaciones en

donde cada una de estas dos ecuaciones

las voy a sustituir directamente en esta

expresión que es mi matriz de rotación

recordemos que esta matriz me va a

definir cómo se encuentra rota da mi

trama ve con respecto a y para esto ya

sé cómo se encuentra ha rotado

xd ve con respecto a x de la idea y

también ya tengo cómo se encuentra ha

rotado el eje y debe con respecto a x de

ahí y con respecto a idea por lo tanto

voy a sustituir estos valores en esta

matriz primero tomando estas dos

ecuaciones y reescribiendo las aquí ya

como mis resultados obtenidos tendría yo

la primera ecuación que es y debe con

respecto a que sería igual al coche no

detecta más el seno de teta y la segunda

que sería jdb con respecto aa que sería

igual a menos el seno de teta más el

coseno dt está bien estas son mis dos

ecuaciones y ahora sí voy a formar mi

matriz de rotación la matriz de rotación

debe con respecto a queda de la

siguiente manera primero tengo que

sustituir y debe con respecto a lo cual

es la primera ecuación recordemos que

esta ecuación se representa en forma de

columna por lo tanto tendría primero

jose no detecta posteriormente tendría

el seno de eta esta fue la primera

ecuación ahora sustituyendo la segunda

ecuación en esta segunda posición de la

misma manera tendría el primero el menos

seno de teta y posteriormente tendría el

coseno dt está bien esto es lo que me

representa cómo se encuentra rota da la

matriz b con respecto a esta es nuestra

primera matriz de rotación en dos

dimensiones y bien por este vídeo ha

sido todo hasta luego