Fracciones parciales caso 1
Summary
TLDREl guión ofrece una introducción al método de fracciones parciales, una técnica para descomponer fracciones polinomiales complejas en más simples. Se destaca la importancia de identificar cuándo aplicar este método, que es cuando el grado del denominador es mayor que el del numerador. Se describe el proceso de factorización del denominador y la asignación de letras a los factores para simplificar la fracción. A continuación, se explica cómo resolver el sistema de ecuaciones resultante para encontrar los valores de las variables A, B y C, y finalmente, se muestra cómo reemplazar estos valores en las fracciones parciales iniciales para obtener la solución.
Takeaways
- 📚 Comenzaremos la semana con el estudio de las fracciones parciales, un método para descomponer una fracción polinomial en fracciones más simples.
- 🔍 Identificar cuándo se pueden usar fracciones parciales es crucial: se utilizan cuando el grado del denominador es mayor que el del polinomio en el numerador.
- 📐 Se debe asegurar que el denominador esté completamente factorizado antes de aplicar fracciones parciales.
- 🌐 En el ejemplo dado, el denominador es un polinomio de grado 3 y el numerador un polinomio de grado 2, lo que justifica el uso de fracciones parciales.
- 🔑 Al factorizar el denominador, se identifican los factores y se les asignan letras (A, B, C) para facilitar la descomposición en fracciones parciales.
- 🧩 Al sumar las fracciones parciales, se utiliza el método del máximo común denominador para simplificar la expresión.
- ⚠️ Antes de comenzar, es importante identificar las restricciones, como los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
- 🔍 Al factorizar y descomponer, se distribuye y se agrupa los términos para formar un sistema de ecuaciones que permiten determinar los valores de A, B y C.
- 📉 Se resuelve el sistema de ecuaciones utilizando métodos vistos en clases anteriores, como eliminación, sustitución o igualación.
- 🔄 Finalmente, se reemplazan los valores de A, B y C en las fracciones parciales originales para obtener la solución completa.
Q & A
¿Qué son las fracciones parciales y para qué se utilizan?
-Las fracciones parciales son un método para descomponer una fracción polinomial en una suma de fracciones más simples. Se utilizan cuando el grado del denominador es mayor que el grado del polinomio en el numerador.
¿Cuándo se deben usar fracciones parciales en lugar de la división de polinomios?
-Se deben usar fracciones parciales cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, se utiliza la división de polinomios.
¿Cómo se determina si un denominador está completamente factorizado para aplicar fracciones parciales?
-Se verifica si el denominador está factorizado y, si no lo está, se considera si es posible factorizarlo. En el ejemplo dado, el denominador es un polinomio de grado 3 que se factoriza en x(x + 2)(2x - 1).
¿Qué significa 'inspección' en el contexto de factorización de polinomios?
-La 'inspección' es un método para encontrar factores de un polinomio por observación directa, sin necesidad de usar una fórmula general o un proceso de división sintética.
¿Cómo se identifican los factores en el denominador para asignarles letras en las fracciones parciales?
-Se asignan letras a cada factor del denominador completamente factorizado, comenzando con 'a' para el primer factor, 'b' para el segundo y así sucesivamente.
¿Qué es el 'máximo común denominador' y cómo se utiliza en la suma de fracciones parciales?
-El 'máximo común denominador' (MCD) es el menor denominador que es divisible por todos los denominadores de las fracciones a sumar. Se utiliza para combinar las fracciones en una sola, asegurando que todas tengan el mismo denominador antes de sumarlas.
¿Por qué es importante sacar las restricciones al inicio del proceso de fracciones parciales?
-Las restricciones, como x=0, x=-2 y x=1/2 en el ejemplo, son valores que hacen que el denominador sea cero o que la fracción sea indefinida. Es importante identificarlas al principio para evitar errores en el proceso de simplificación.
¿Cómo se resuelve el sistema de ecuaciones generado al combinar las fracciones parciales?
-Se utiliza cualquier método de resolución de sistemas de ecuaciones, como la eliminación, la sustitución o la igualación, para encontrar los valores de las letras asignadas a los factores del denominador.
¿Cómo se distribuyen los términos en el proceso de simplificación de fracciones parciales?
-Se distribuyen los términos multiplicando cada factor del numerador por cada término del denominador, lo que genera una expresión que se agrupa por términos con x al cuadrado, términos con x y términos constantes.
¿Cómo se determinan los valores de 'a', 'b' y 'c' en las fracciones parciales?
-Se establecen ecuaciones a partir de los coeficientes de los términos con x al cuadrado, los términos con x y los términos constantes, y se resuelve el sistema para encontrar los valores de 'a', 'b' y 'c'.
¿Qué se hace con los valores de 'a', 'b' y 'c' una vez que se han determinado?
-Los valores encontrados para 'a', 'b' y 'c' se sustituyen en las fracciones parciales originales, lo que permite simplificar y resolver las fracciones parciales.
Outlines
📚 Introducción a las Fracciones Parciales
El primer párrafo introduce el concepto de fracciones parciales, una técnica para descomponer una fracción de un polinomio en fracciones más simples. Se enfatiza la importancia de identificar cuándo se deben usar fracciones parciales, que es cuando el grado del denominador es mayor que el del polinomio en el numerador. Se da un ejemplo de un polinomio de grado 3 en el denominador y un de grado 2 en el numerador, y se explica que si los grados son iguales o el numerador es mayor, se utiliza división de polinomios. Se instruye a analizar el denominador y asegurarse de que esté completamente factorizado, como en el ejemplo dado, donde se factoriza un polinomio de grado 3 y se identifican los factores para la aplicación de las fracciones parciales.
🔍 Proceso de Descomposición y Resolución de Fracciones Parciales
El segundo párrafo describe el proceso de decomposición de una fracción en fracciones parciales. Seguidamente, se aconseja agrupar y factorizar términos para facilitar la resolución de las fracciones. Se utiliza un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de las variables 'a', 'b' y 'c', que representan los coeficientes en las fracciones parciales. Se resuelve el sistema utilizando métodos vistos en clases anteriores, como eliminación, sustitución o igualación, para encontrar los valores de 'a', 'b' y 'c'. Finalmente, se reemplazan estos valores en las fracciones parciales iniciales y se resuelven los denominadores para obtener las fracciones simplificadas.
Mindmap
Keywords
💡Fracciones Parciales
💡Grado del Polinomio
💡Denominador
💡Numerador
💡Factorización
💡Máximo Común Denominador (MCD)
💡Restricciones
💡Sistema de Ecuaciones
💡Sustitución
💡Simplificación de Fracciones
Highlights
Comenzar el estudio de las fracciones parciales, un método para descomponer una fracción polinomial en fracciones más simples.
Identificar cuándo se pueden usar fracciones parciales: cuando el grado del denominador es mayor que el del polinomio numerador.
Ejemplo de una fracción polinomial con un grado de denominador de 3 y numerador de 2.
Análisis de si el denominador está completamente factorizado y la posibilidad de factorizarlo.
Factorización del denominador 2x^3 + 3x^2 - 2x, sacando un factor común x.
Inspección para factorizar el polinomio resultante x^2 + 3x - 2 en (x + 2)(2x - 1).
Reescritura de la fracción original con el denominador factorizado.
Iniciativa de las fracciones parciales con el denominador factorizado.
Identificación de los factores en el denominador y asignación de letras a cada uno.
Sumación de las fracciones parciales utilizando el método del máximo común denominador.
Importancia de recordar las restricciones de las variables en las fracciones parciales.
Cancelación de denominadores comunes y distribución de términos.
Agrupación de términos con x al cuadrado, x y términos constantes.
Montaje de un sistema de ecuaciones para resolver los valores de A, B y C.
Resolución del sistema de ecuaciones para encontrar los valores de A, B y C.
Sustitución de los valores encontrados en las fracciones parciales iniciales.
Resolución de las fracciones parciales con los valores de A, B y C determinados.
Transcripts
Hola esta semana empezaremos con el
estudio de las fracciones parciales
refracciones parciales es un método que
me permite descomponer una fracción
polinomial como la de ese ejemplo en
fracciones más simples como la suma de
fracciones más simples algo importante
es identificar
cuando podemos usar o Cuándo debemos
usar fracciones parciales y cuando no
usaremos fracciones parciales cuando el
grado del denominador es más grande que
el grado del polinomio que está en el
numerador en este caso el grado del
polinomio que está en el denominador es
un polinomio de grado 3 y el que está en
el numerador es un polinomio de grado 2
evidentemente el denon el polinomio del
denominador es más grande que el
numerador por eso vamos a aplicar
fracciones parciales si el grado del
numerador es mayor o igual al
denominador entonces utilizan división
de polinomios pero en este caso usaremos
por esa razón las fracciones parciales
lo primero siempre va a ser estudiar o
analizar el denominador necesitan
verificar que el denominador esté
completamente factorizado si no lo está
pues hay que ver si se puede o no se
puede factorizar en este caso nuestro
denominador es 2x a la 3 + 3x a la 2 -
2x como es un polinomio de grado 3
podríamos pensar en utilizar división
sintética pero como cada uno de los
elementos que conforman este polinomio
tienen una x Entonces vamos a sacar
factor común una x Me quedaría x por 2x
al cuadrado más 3x - 2 el polinomio que
queda en el paréntesis es un polinomio
de grado 2 lo que significa que tenemos
que usar inspección o fórmula general en
este caso por inspección sale la
inspección queda x + 2 por 2x - 1
por lo tanto la fracción original que es
esta
la vamos a reescribir ya con el
denominador factorizado que sería esta
que está acá x a la 2 + 2x - 1 entre x
por x + 2 por 2x - 1 ya cuando estamos
listos con el denominador factorizado
Entonces vamos a iniciar con las
fracciones parciales
esta fracción que está aquí a la
izquierda es ya la fracción con el
denominador factorizado lo que tenemos
que hacer es identificar Cuántos
factores tenemos en el denominador en
este caso tenemos tres factores x x + 2
y 2x - 1 y vean que cada uno de los
factores ya está completamente
factorizado ninguno es irreducible
entonces a cada uno de esos factores
ustedes le van a asignar una letra
Siempre iniciamos con a entre el primer
factor que es x + B entre el segundo
factor que es x + 2 + c / el tercer
factor que es 2x - 1 si tuviéramos un
cuarto factor entonces tendríamos que
escribir más de entre ese cuarto Factor
esos que están acá son las fracciones
parciales lo que pasa es que no podemos
dejarlo ni en términos de A B y C
necesitamos encontrar quienes hay
quienes ve y Quién es c cuáles son sus
respectivos valores para ello lo que
vamos a hacer es siempre sumar las
fracciones parciales en este caso son
tres fracciones parciales las que hay
que sumar y esas tres fracciones las
podemos usar
resolver Perdón utilizando el método de
el máximo común denominador que ya se ha
visto en otras clases
al sumar esas tres fracciones nos queda
como resultado toda esta fracción ahora
importante es siempre recordar sacar las
restricciones que eso se hace al inicio
con respecto a esto que tenemos acá
las restricciones son x igual 0 x igual
-2 y x igual un medio eso recuerden
sacarlo siempre al inicio
para poder hacer lo siguiente
observen que
los la fracción que me queda a la
izquierda la fracción que me queda a la
derecha tiene el mismo denominador XX
por x + 2 por 2x - 1 y como esas eran
las restricciones Entonces no hay ningún
problema en que cancelemos esos
denominadores
a la izquierda Sólo nos quedaría x a la
2 + 2x - 1 y a la derecha hay que
empezar a resolver todos esos paréntesis
distribuyendo yo lo primero que hice fue
distribuir Aquí
estos dos paréntesis que es este
paréntesis que me queda acá luego aquí
el BX
el BX con el 2x y con el -1 son estos
dos términos que me quedan acá
Y por último el CX por x por 2 que son
estos dos términos que tengo acá Ok aún
me queda un paréntesis a este primer
paréntesis Entonces lo vamos a resolver
Y eso es distribuyendo el
aquí noten que tenemos menos x + 4x que
eso es 3x por el a que está afuera es
este 3 a x que está acá y lo demás y lo
distribuye
luego lo que vamos a hacer es empezar a
agrupar todo lo que tiene x al cuadrado
todo lo que tiene x y todo lo que está
solito que es todo lo que tiene x al
cuadrado lo puse en verde todo lo que
tiene aquí en ese otro color y el dosa
que no tiene ni x ni x al cuadrado
Entonces se queda solito esas
agrupaciones las ponemos dentro de un
paréntesis
esta Este primer paréntesis de acá sería
el ese verde que creo que es este
en este otro paréntesis
quedó lo que está agrupado todo lo que
tiene x y luego la solito luego lo que
hacemos en este otro paso es ver que en
el primer
paréntesis como está todo agrupado lo
que tiene x al cuadrado Entonces vamos a
sacar un x al cuadrado factor común nos
queda dos a más dos B Más C todo eso por
x al cuadrado en ese segundo paréntesis
sacamos un x a factor común 3a menos B
más 12 por x y luego el 2a queda solito
cuando ya tenemos eso lo que vamos a
hacer ahora es montar un sistema de
ecuaciones entonces observen que
aquí a la izquierda tengo un x al
cuadrado y aquí a la derecha tengo esto
que está con el X al cuadrado
aquí a la par a la izquierda a la par
del x al cuadrado y un 1 ese 1 lo vamos
a igualar con este dos a más dos B Más C
Que es lo que tiene x al cuadrado a la
izquierda entonces por eso me queda aquí
que dos a más dos B Más C es igual a 1
porque soy igualando los términos que
tenían x al cuadrado ahora vamos con el
X si ustedes observan
ustedes observan aquí a la izquierda
tengo 2x y aquí a la derecha tengo todo
esto que tiene x Entonces vamos a
igualar esas cosas el 3 a menos B más 12
lo igualamos a dos que son los términos
que tienen X Y por último
esto que no tiene ni x al cuadrado ni x
lo vamos a igualar con esto los menos
dos a igual a 1 resuelven el sistema de
ecuaciones utilizando cualquiera de los
tres métodos que se vieron en la última
clase por eliminación por sustitución o
por igualación y van a encontrar que es
un medio que es menos un décimo y que se
es un quinto Entonces nos devolvemos al
inicio
estas eran las fracciones parciales que
nosotros habíamos escrito al puro inicio
y ya como saben quién es a quienes ve y
quién es Entonces sustituimos a lo
cambiamos por este menos un medio que
fue lo que encontramos para
velo cambiamos por un menos un décimo y
se lo cambiamos por un quinto luego
resuelven medios por medios extremos Por
extremos y les queda menos uno entre 12
x menos 1 Entre 10 por x + 2 y más uno
entre cinco por dos x menos 1 y esa
serían las fracciones parciales para
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