LE COURS : La dérivation - Première

Summary

Cette vidéo éducative aborde de manière approfondie le concept de la dérivation des fonctions, un outil crucial pour analyser les variations et les tangentes des fonctions. L'explication débute avec les bases de la dérivation, illustrant comment la pente d'une tangente à une courbe peut révéler les comportements croissants ou décroissants d'une fonction. À travers des exemples concrets, comme la fonction carrée, la vidéo démystifie le calcul des dérivées et leur application pratique pour prédire les variations des fonctions. Enfin, elle couvre des opérations avancées sur les fonctions dérivées et le théorème des variations, fournissant ainsi une préparation solide pour les contrôles ou examens en mathématiques.

Takeaways

• 📚 La dérivation permet d'étudier facilement les variations d'une fonction.
• 🔍 Le nombre dérivé est introduit pour établir la relation entre la pente de la tangente à la courbe d'une fonction et les variations de cette fonction.
• 📉 Une tangente avec une pente négative indique une fonction décroissante, tandis qu'une pente positive révèle une fonction croissante.
• 🧮 La pente d'une tangente en un point est déterminée par la limite quand h tend vers zéro du quotient des différences des ordonnées sur la différence des abscisses.
• 📈 La fonction dérivée, obtenue à partir du concept de nombre dérivé, permet de déduire les variations d'une fonction.
• 🎓 Le calcul de la fonction dérivée d'une fonction carrée (f(x) = x²) montre que cette fonction est décroissante pour x < 0 et croissante pour x > 0.
• ✏️ Les fonctions dérivées sont essentielles pour analyser rapidement les variations de fonctions complexes.
• 📋 Un formulaire de dérivées incluant des fonctions de base simplifie l'étude des variations des fonctions.
• 🔢 L'étude de la dérivée d'un produit de fonctions requiert l'application d'une formule spécifique et non pas simplement la multiplication des dérivées des fonctions.
• 🔑 Le théorème des variations indique que si la dérivée d'une fonction est positive sur un intervalle, la fonction est croissante sur cet intervalle, et inversement si la dérivée est négative.
• 🎢 Un changement de signe de la dérivée d'une fonction en un point suggère la présence d'un extremum (minimum ou maximum) à ce point.

Q & A

Quel est l'objet principal de la vidéo sur la dérivation des fonctions ?

L'objet principal de la vidéo est de rappeler et d'expliquer les éléments les plus importants sur la dérivation des fonctions, notamment l'usage des dérivées et la tangente à la courbe pour préparer un contrôle ou un examen.

Qu'est-ce que le nombre dérivé et son importance dans la dérivation des fonctions ?

Le nombre dérivé est un outil introduit pour établir les variations d'une fonction. Il est essentiel pour comprendre la relation entre la pente de la tangente à la courbe d'une fonction et les variations de cette fonction.

Comment la pente de la tangente est-elle liée aux variations de la fonction ?

La pente de la tangente est directement liée aux variations de la fonction : une pente négative indique une fonction décroissante, tandis qu'une pente positive indique une fonction croissante.

Comment détermine-t-on la pente d'une tangente à la courbe d'une fonction ?

La pente d'une tangente à la courbe d'une fonction en un point est déterminée par la limite, quand h tend vers zéro, du quotient de la différence des ordonnées sur la différence des abscisses (f(a+h) - f(a))/h.

Quelle est la définition officielle d'une fonction dérivée ?

Une fonction f est dérivée en un point a si elle admet un nombre réel l tel que la limite, quand h tend vers zéro, de (f(a+h) - f(a))/h soit égale à l. Ce nombre l est appelé le nombre dérivé de f en a.

Quelle est la relation entre les variations d'une fonction et son nombre dérivé ?

Les variations d'une fonction sont directement liées à son nombre dérivé : si le nombre dérivé est positif, la fonction est croissante, et si le nombre dérivé est négatif, la fonction est décroissante.

Comment calcule-t-on la dérivée de la fonction carré, et que nous dit-elle sur ses variations ?

La dérivée de la fonction carrée est calculée en utilisant la limite quand h tend vers zéro de (f(a+h) - f(a))/h, qui se simplifie en 2a. Cela démontre que la fonction est décroissante pour des valeurs négatives de a et croissante pour des valeurs positives.

Qu'est-ce qu'un formulaire de dérivation, et quelles informations contient-il ?

Un formulaire de dérivation contient les fonctions de base et leurs dérivées correspondantes. Il est utilisé pour faciliter l'étude des variations des fonctions complexes sans recalculer chaque dérivée.

Quel théorème permet de déterminer les variations d'une fonction à partir de sa dérivée ?

Le théorème de variation des fonctions indique que si la dérivée d'une fonction est positive sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle, et si la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

Comment un changement de signe dans la dérivée d'une fonction indique-t-il un extremum ?

Si la dérivée d'une fonction s'annule et change de signe en un point, cela indique un extremum (un maximum ou un minimum) en ce point, car cela signifie que la fonction passe de décroissante à croissante ou inversement.

Outlines

00:00

📚 Introduction à la dérivation des fonctions

Ce paragraphe introduit le concept de dérivation des fonctions, expliquant que cela permet de comprendre comment une fonction change en termes de variations. Il souligne l'importance de la dérivée et de la tangente pour analyser la nature croissante ou décroissante d'une fonction. L'objectif est de se rappeler et d'expliquer les éléments clés du chapitre sur la dérivation, en utilisant des exemples concrets tels que la construction de la tangente à une courbe et la relation entre la pente de la tangente et les variations de la fonction.

05:02

📐 La pente de la tangente et les variations de la fonction

Dans ce paragraphe, l'auteur explique comment la pente de la tangente à une courbe à un point donné peut être utilisée pour déterminer si la fonction est croissante ou décroissante à ce point. Il montre comment, en changeant l'emplacement de la tangente le long de la courbe, la pente peut varier entre positive et négative, reflétant ainsi la nature de la fonction à ces points différents. L'auteur utilise un exemple visuel pour illustrer ce concept, soulignant que la pente de la droite entre deux points sur la courbe converge vers la pente de la tangente lorsque la distance entre ces points tend vers zéro.

10:02

🔢 Le nombre dérivé et la fonction dérivée

Ce paragraphe présente le nombre dérivé et la fonction dérivée comme outils mathématiques clés pour la dérivation. L'auteur définit le nombre dérivé comme la limite de la pente de la droite secante lorsqu'elle tend vers zéro, et il explique comment cela peut être utilisé pour trouver la pente de la tangente. La fonction dérivée est ensuite introduite comme une généralisation du nombre dérivé, permettant de déterminer les variations d'une fonction à différents points de sa domaine. L'auteur insiste sur l'importance de comprendre ces concepts pour maîtriser la dérivation.

15:06

📈 Exemple de dérivation : la fonction carré

L'auteur utilise la fonction carré (f(x) = x²) comme exemple pour montrer comment la dérivation peut être appliquée à une fonction spécifique. Il explique que la fonction carré est croissante pour les nombres positifs et décroissante pour les nombres négatifs, et il démontre cette propriété en calculant la dérivée de la fonction. En appliquant la règle de dérivation pour une fonction au carré, il obtient une dérivée de 2x, ce qui indique que la pente de la tangente est positive pour x > 0 et négative pour x < 0, confirmant ainsi la variation de la fonction carré.

20:07

📊 Formules de dérivation pour différentes fonctions

Ce paragraphe présente un tableau de formules de dérivation pour diverses fonctions, y compris les fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques. L'auteur explique comment ces formules peuvent être utilisées pour trouver la dérivée d'une fonction composée ou d'une somme de fonctions. Il souligne l'importance de connaître ces formules pour étudier rapidement les variations des fonctions, surtout lorsque l'expression de la fonction est complexe.

25:09

🤔 Opérations sur les fonctions dérivées

Dans ce paragraphe, l'auteur aborde les règles pour effectuer des opérations sur les fonctions dérivées, telles que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux fonctions dérivées. Il explique que la dérivée d'une somme ou une différence est la somme ou la différence des dérivées respectives, tandis que la dérivée d'un produit nécessite l'application de la règle du produit. Pour le quotient, il utilise la formule du quotient, qui est plus complexe. L'auteur encourage les spectateurs à s'entraider et à pratiquer ces règles pour bien les comprendre.

30:09

🔄 Théorème de variation des fonctions et détermination des extrêmes

Ce paragraphe présente le théorème de variation des fonctions, qui relie le signe de la dérivée d'une fonction à sa variation. Si la dérivée est négative, la fonction est décroissante; si elle est positive, la fonction est croissante. Le théorème est également valable pour la stricte monotonie. L'auteur explique comment la dérivée peut être utilisée pour identifier les points d'extremum (maximum ou minimum) d'une fonction, en cherchant les points où la dérivée s'annule ou change de signe. Il illustre cela avec un exemple simple, montrant que la fonction affine est croissante lorsque le coefficient directeur est positif.

Keywords

💡Dérivation

La dérivation est un concept mathématique fondamental qui consiste à trouver la pente de la tangente à un point donné sur une courbe, représentant la fonction d'une variable. Cela permet d'analyser les variations de cette fonction. Dans le script, la dérivation est introduite comme un outil essentiel pour comprendre comment les fonctions évoluent, permettant d'identifier si une fonction est croissante ou décroissante à certains points.

💡Nombre dérivé

Le nombre dérivé est la valeur qui représente la pente de la tangente à la courbe d'une fonction en un point précis. Ce concept est crucial pour l'analyse des variations des fonctions. Dans la vidéo, il est expliqué comme la base pour introduire la notion de fonction dérivée, facilitant l'étude des variations et la compréhension de la dynamique de la fonction originale.

💡Tangente

Une tangente à une courbe en un point donné est une droite qui touche la courbe en ce point sans la couper, reflétant la direction de la courbe à cet endroit. Dans le script, la relation entre la pente de la tangente et les variations de la fonction est soulignée, illustrant comment la dérivation aide à comprendre le comportement d'une fonction.

💡Fonction dérivée

La fonction dérivée d'une fonction donnée est une nouvelle fonction qui donne la pente de la tangente à la courbe de la fonction originale à tout point. C'est un outil puissant pour analyser comment la vitesse de variation de la fonction change. Le script discute de la construction de la fonction dérivée à partir du nombre dérivé, permettant de prédire les variations de la fonction sur différents intervalles.

💡Variations des fonctions

Les variations des fonctions se réfèrent à la manière dont les valeurs d'une fonction augmentent ou diminuent sur différents intervalles de son domaine. La vidéo met en lumière l'importance de la dérivation pour déterminer ces variations, utilisant la fonction dérivée pour identifier où la fonction originale est croissante ou décroissante.

💡Exercices

Les exercices sont mentionnés comme une étape essentielle pour maîtriser le concept de dérivation et l'application de la fonction dérivée pour analyser les variations des fonctions. Ils sont présentés comme indispensables pour se préparer à des contrôles ou examens, soulignant la nécessité de la pratique dans l'apprentissage des mathématiques.

💡Monotonie

La monotonie d'une fonction indique si elle est exclusivement croissante ou décroissante sur un intervalle donné. Le script illustre comment utiliser la dérivation pour établir la monotonie d'une fonction, en examinant le signe de sa dérivée pour déduire si la fonction est croissante ou décroissante.

💡Théorème de variation

Le théorème de variation est un principe qui permet de déduire le comportement d'une fonction (croissante ou décroissante) à partir du signe de sa dérivée. Dans le script, ce théorème est expliqué comme le point culminant de l'étude de la dérivation, fournissant une méthode systématique pour analyser les variations des fonctions.

💡Extrêmes

Les extrêmes (minimums et maximums) sont les points où une fonction atteint sa valeur la plus basse ou la plus haute sur un intervalle donné. Le script aborde comment la dérivation aide à identifier ces points, en utilisant le changement de signe de la dérivée pour détecter les extrêmes locaux d'une fonction.

💡Formules de dérivation

Les formules de dérivation sont des règles mathématiques qui permettent de calculer la dérivée de divers types de fonctions (linéaires, quadratiques, exponentielles, etc.). Ces formules sont essentielles pour simplifier le processus de dérivation, comme montré dans le script, où différentes formules sont utilisées pour calculer les dérivées et analyser les variations des fonctions.

Highlights

Introduction à la dérivation des fonctions comme outil pour établir les variations d'une fonction.

Explication de la notion du nombre dérivé et son introduction comme concept clé en dérivation.

Relation entre la pente de la tangente à la courbe d'une fonction et les variations de cette fonction.

Démonstration de l'impact de la pente de la tangente (négative ou positive) sur le caractère décroissant ou croissant de la fonction.

Introduction et explication du processus pour déterminer la pente d'une tangente à partir de l'expression de la fonction.

Présentation du concept de limite et son importance pour établir la pente de la tangente et donc, le nombre dérivé.

Définition formelle de la fonction dérivée et du nombre dérivé, fondamentaux en calcul différentiel.

Exemple détaillé de calcul de dérivée pour la fonction carrée, illustrant l'application pratique des concepts théoriques.

Mise en place d'une relation entre le nombre dérivé et les variations de la fonction à travers des exemples concrets.

Développement d'un formulaire des dérivées de fonctions usuelles, facilitant l'étude rapide des variations de fonctions complexes.

Explication des opérations sur les dérivées : somme, produit, quotient, et leur impact sur l'analyse des fonctions.

Théorème des fonctions dérivées pour établir la monotonie des fonctions à partir du signe de leur dérivée.

Illustration du théorème de variation avec l'exemple d'une fonction affine, soulignant l'importance de la dérivée pour déterminer le caractère croissant ou décroissant.

Présentation du théorème des extrêmes : comment l'annulation et le changement de signe de la dérivée indiquent un extremum de la fonction.

Conclusion sur l'importance de la dérivation et des fonctions dérivées dans l'étude des variations des fonctions.

Transcripts

[Rires]

[Musique]

bonjour

dans cette vidéo je te propose de revoir

tout le cours sur la dérivation des

fonctions l'objet de cette séquence est

de te rappeler et de t'expliquer les

éléments les plus importants de ce

chapitre plus précisément par l'aura de

nombreux dérivés et de la tangente à la

courbe deux fonctions dérivés et de

variations des fonctions pour préparer

un contrôle ou un examen ceci ne suffira

évidemment pas il te faudra faire encore

de nombreux exercices en tout cas pour

le court c'est parti alors l'idée de ce

chapitre l'idée de la dérivation

c'est au départ de mettre en place un

outil nouveau qui va nous permettre

d'établir assez facilement assez

rapidement enlevé rats les variations

d'une fonction et c'est tout il porte un

nom il s'appelle au départ le nombre

dérivés alors c'est une notion qu'on va

introduire ici qui n'est pas facile à

introduire une va falloir s'accrocher au

début de la vidéo

tu verras c'est pas hyper compliqué mais

quand même il faudrait être bien

concentrés pour comprendre voici une

courbe une combe donc qui représentait

en bleu dans un repère je n'ai pas mis

ici de graduation simplement pour

alléger et ne voir que l'essentiel on va

placer un point sur cette courbe par

exemple ici et on va construire la

tangente à la courbe passant par ce

point l'idée directrice de tout ce

chapitre c'est d'établir une relation

entre eux

la pente de la tangente et les

variations de la fonction alors à ce

niveau là qu'est ce qu'on constate on

constate que notre tangente

elle a une pente négative le coefficient

directeur il est négatif puisque ça

descend et la fonction elle est

décroissante

est ce que on pourrait constater la même

chose en un autre point de notre courbe

je place donc un autre point là où notre

fonction est toujours décroissante même

constat la tangente ici a toujours une

pente négative et on se trouve toujours

à un endroit de la cour où la fonction

est décroissante que ce pas

style là où la fonction est croissante

je place donc un 3e point cette fois ci

un endroit de la courbe où la fonction

est croissante et là qu'est ce qu'on

observe on observe une tangente dont la

pente et maintenant positive alors qu'on

se trouve un endroit où la fonction est

croissante

on peut généraliser ça avec le logiciel

est maintenant établir une relation

entre pente de la tangente et variations

de la fonction quand on se trouve quand

on se trouve du côté où la fonction est

décroissante

eh bien on observe des tangentes

correspondante dont la pente est

négative alors que lorsqu'on se trouve

du côté où la fonction est croissante

eh bien on observe des tangentes dont la

pente est positive et bien du coup si on

arrive à établir

la pente de la tangente eh bien on

obtiendra les variations de notes

fonctions

la question est maintenant comment

déterminer la pente d'une tangente en un

point à l'aide de l'expression de la

fonction et bien c'est l'objet de la

suite de cette séquence

et pour cela et bien on va définir un

outil qui s'appelle le nombre dérivés

ces salles outils dont on va avoir

besoin et qui va nous permettre de

générer ensuite ce qui s'appelle la

fonction dérivés qui nous permettra

d'établir les variations d'une fonction

alors avant ça on va avoir besoin de

faire un petit rappel

et de rappeler comment on établit à

l'aide d'une formule la pente d'une

droite c'est quand alors pas encore une

tangente

mais une séquence j'ai représenté ici

une fonction en bleu par sa courbe donc

en bleu est donc une droite qui essaient

qu'amd en deux points a et b à ma courbe

bleue est laissé quant aux points à

d'absys à et au point b d'apsys b

du coup on peut représenter l'image de

petit à part la fonction dont la courbe

est en bleu f2 à et l'image de petit p

parcelles met même fonction fb est bien

la pente

elle est égale à la différence sur les

ordonner des points a et b c'est-à-dire

f2b - f2 à on retrouve 7

errance ici sur la différence entre les

apps 6 2 a et b c'est-à-dire b - à qu'on

retrouve ici et bien en effectuant la

différence fb - f2 1 / b - 1 on obtient

la pente de la droite

ab est ce si on va en avoir besoin pour

la suite on le garde bien en tête

alors j'ai représenté donc ici la courbe

d'une fonction f on va dire en bleu j'ai

placé un point 1 sur la courbe et j'ai

tracé en rouge ici la tangente à la

courbe au point a au point un don

l'abscisse et petits tas alors on le

rappelle

l'idée est d'établir la pente de cette

tangente et pour cela ça peut paraître

étrange mais tu vas comprendre ensuite

pourquoi on va construire en plus une

c'est quand une c'est quand à la courbe

passant par a donc si a laissé quant à

la courbe elle va être c'est quand en un

deuxième point pas trop éloigné de à

on va placer un point m ici et on va

tracer donc là c'est quand à la courbe

en eau et en m

voilà j'ai donc placé un point m sur la

coupe et j'ai représenté masse et quant

à m anvers alors ce point m

il est éloigné du point a pas trop quand

même

on va dire qu'il est éloigné d'une

longueur h ce qui veut dire que si ici

je suis un as du coup là je suis en a

plus h

on va maintenant établir et ça on sait

faire puisqu'on vient de le voir

la pente de la c quant à m on a vu tout

à l'heure

comment faire il suffisait de faire la

différence sur les ordonner divisé enfin

un quotient de la différence sur les

abscisse alors pour cela à bien il

faudrait déjà avoir ordonné et abscisse

alors habsi sont assez a et a+ h ordonné

mia ça sera f2 à puisqu'on est sur la

courbe et f2 à puce h pour le point m

voilà donc l'image de acf 2a et l'image

de à puce hcf de a+ h

du coup en effectuant la différence sur

les ordonner avec la différence sur les

apps

is on va pouvoir établir la pente de la

droite à m

alors la différence sur les ordonner cf

de a + hb - f2 à la différence sur les

apps 6 c à + hb - a

mais du coup à + hb - ah les uns s'en

vont il reste simplement h toute façon

ça tombe bien puisqu'on rappelle qu'on

voulait un éloignement d'une longueur h

donc on retrouve via ce qu'on avait

envisagé

voilà ça nous donne ça donc f2 à + hb -

f2 à sur un + hb - a donc on a vu que ça

faisait h tout con donc finalement la

pente de la droite à m

c'est ce quotient et maintenant qu'est

ce qu'on va faire

et bien maintenant on va faire diminuer

h

on imagine que h devient de plus en plus

petit devient de plus en plus petit pour

se rapprocher de plus en plus 2 0

que va-t-il arriver à m si je fais si je

rends h de plus en plus petit elle va

suivre et donc va se rapprocher de plus

en plus de 1

on imagine ce qui se passe et là on le

voit avec l'animation et bien là c'est

quand se rapproche de plus en plus de la

tangente et ça c'est terriblement

important il faut bien comprendre je le

répète là c'est quand se rapproche de

plus en plus de la tangente

quand je fais tendre h vers 02 coup

quand je fais tendre h vers zéro la

pente de la c'est quand se rapproche de

plus en plus de la pente de la tangente

là aussi je le répète la fonte de là

c'est quand se rapproche de plus en plus

de la pente de la tangente forcément

puisque la séquence se rapproche de la

tangente donc sa pente se rapproche

également de la tangente

et si on a compris ça on a compris que

la pente de la tangente

et bien c'est quoi c'est ce nombre là

lorsque h sera proche de zéro et on sait

le noter cela se nomme de la façon

suivante c'est la limite on appelle ça

limite qu'en achetant vers 02 hebdo a

plu

sache - f2 à sur hcca la pente de la

tangente c'est le cas limites

on imagine qu'on rend h de plus en plus

petit la tangente là c'est quand tu

deviens tangente

dans quels cas dans le cas où h sera

proche de zéro et on a là la définition

officielle

2 la fonction dérivés et donc du nombre

dérivés qui vient avec

eh bien on va dire qu'une fonction f et

dérives à bhl en un point à ici donc là

où j'ai construit ma tangente à

condition qu'il existe un nombre réel

elles telles que la limite qu'en

achetant vers zéro de f2 à puce h - f2

assure h soit égale à elle c'est à dire

que ça doit marcher on doit trouver une

réponse

on doit trouver lorsque je vais faire

tendre h vers zéro je dois trouver

quelque chose du type de 4,8 c'est

normal parce que je dois trouver la

pente de ma tangente et la pente de

cette tangente

elle doit exister parce qu'attention

dans certains cas elles n'existent pas

70 et donc la pente qui vient avec

n'existe pas non plus qu'est ce que

c'est elle

eh bien elle c'est ce fameux nombreux

dérivés dont je parle depuis le début de

cette séquence

elle c'est le nombre dérivé de la

fonction f en ah parce que finalement

cette tangente j'ai choisi de la mettre

ici mais j'aurais pu la mettre ailleurs

j'ai choisi de la mettre ici donc ça

veut dire que je les ai placé en a donc

on dit que la limite de ce machin là

quand h sera proche de zéro

et bien c'est le nombre de dérives et de

la fonction en et du coup on peut le

nommer on le peut le noter pardon on va

le noter f prime de a donc f avec une

petite apostrophe de a derrière

puisqu'il dépend d'eux a c'est à dire

que en fonction de là où je vais placer

le point à je vais ici une absence qui

sera pas au même endroit

donc j'aurai forcément une pente

différente on l'a vu tout à l'heure en

particulier avec l'animation

lorsqu'on déplace et un point sur la

courbe et bien maintenant on peut donner

une définition pour notre tangente et en

particulier pour la pente de notre

tangente

on l'a établi cette pente alors ça peut

paraître un peu compliqué parce que

quand on voit la formule avec limite

qu'en achetant vers zéro etc

c'est assez lourd mais c'est comme ça

c'est la définition

au départ on verra que tout ça va

évoluer déjà dans cette séquence et

qu'on va régler avec des choses qui sont

beaucoup plus calculatoire des beaucoup

plus formel je te rassure

en tout cas on peut dire que la tangente

à la courbe

ces deux f donc la tangente heures à la

courbe fonction f au point à d'abc ce

petit 1 et la droite passant par a

forcément c'est la droite passant par à

deux pentes le nombre des lives et noté

f prime de 1

et cerise sur le gâteau on a même une

équation complète de notre tangente qui

est toujours en a au point à d'abc ce

petit à y égale f prime de à facteur 2 x

- un plus f2 alors je vais pas démontré

ici

d'où vient cette équation parce que ça

fait l'objet d'une autre vidéo où je

démontre en détail cette équation donc

je t'invite à aller regarder alors

peut-être pas tout de suite tout de

suite si tu es encore au niveau

apprentissage au niveau des dérivés on

va y aller doucement tu regarderas ça un

peu plus tard en tout cas voilà là on a

maintenant déjà établi un outil qui est

le nombre dérivés et on a dit tout à

l'heure que si on a le nombre dérivés eh

bien on va pouvoir établir les

variations de notre fonction qui

viennent derrière alors regardons

comment maintenant on va construire

cette relation entre nombreux dérivés et

variations de la fonction alors pour

bien comprendre le principe et la

relation qu'il va y avoir entre nombreux

dérivés et variations de la fonction il

faut traiter un exemple alors on va

partir d'un exemple très connu c'est la

fonction carré elle est représentée ici

de toute façon je pense que tu l'as en

tête la fongs les variations la fonction

car et on les connaît bien

elle est croissante pour tous les

nombres positif et décroissante pour

tous les nombres négatifs

eh bien on va le démontrer ce si on va

le démontrer

gr

un autre nombre dérivés et donc grâce à

la pente de la tangente qui est caché

derrière on va donc commencer par

calculer cette pente

cette pente donc pour pour une séquence

données donc on va commencer par calcul

et le quotient f2 à puce h - f2 a / h

et quand on l'aura bien réduit bien

simplifié

on verra ce qui se passe lorsque

achetant vers zéro lorsque h sera proche

de zéro puisque lorsque h sera proche de

zéro

on aura cette fois ci la pente de la

tangente alors calculs ont déjà rives de

la puce h - f2 assure h

alors on rappelle que f 2 x est égal à

ixxo carré donc si je mets à puce h à la

place de x ça va me faire à plus h au

carré - f2 a donc moins à au carré le

tout sur h

on va maintenant essayer de simplifier

au maximum ce caution va voir qu'on peut

aller assez loin

donc je commence par développer ici en

utilisant une identité remarquable soit

à au carré +2 à h + h au carré - à au

carré le tout sur h

on voit là qu'on a ici à au carré est la

moins au carré on peut donc simplifié et

qu'est ce qui nous reste

il nous reste deux à h + h au carré le

tout sur h

on va séparer l'addition ce qui nous

donne 2 h / h

plus de l'autre côté h au carré sur h

et là on voit qu'on peut ici simplifiée

par achille nous reste donc 2 à sous le

terme de gauche et là on peut enlever le

carré avec le hash qui est en dessous il

nous reste simplement plus h

donc finalement le quotient f2 à puce h

- f2 assure h

ses cris de a + hb et nous ce qu'on

voudrait on le rappelle c'est la limite

quand h sera proche de zéro

2 ce quotient écrivons le mais ce

quotient on a simplifié du coup ceux ci

est égale à la limite qu'en achetant

vers 02 cette somme et ça c'est assez

facile à calculer

qu'arrive-t-il à 2 à + hb lorsque h sera

proche de zéro

et bien ce nombre là devient de plus en

plus proche de zéro ce qui veut dire que

le tout devient de plus en plus proche

de 2 à + 0 et 2 à +0 et bien ça s'écrit

tout simplement de à

on vient là d'établir la limite de notre

quotient lorsque achetant vers zéro il

est égal à 2 à

or ceux ci c'est quoi on le rappelle

c'est la pente de la tangente

on a donc une tangente qui a pour pente

deux fois a alors un tout petit peu

empiéter sur la suite du court mais

c'est un peu obligée là pour que tu

comprennes bien finalement à quoi ça

sert ce qu'on est en train de faire

parce que là maintenant c'est un moment

un peu charnière on va justifier

pourquoi on a fait tout ça et bien tout

simplement parce que grâce à ce petit 2

à je peux conclure sur les variations de

ma fonction carré

quel est le signe de 2 à 11 ans rappelle

qu'on voudrait l'objectif au départ de

cette séquence c'est d'établir le signe

de la pente

parce que si la pente est positive on a

dit qu'on a une fonction croissante et

si la pente est négative on a une

fonction décroissante

donc quel est le signe de ce machin là

c'est très facile 6 ha est positif et

bien deux fois à est positif du coup la

pente est positive

du coup la fonction est croissante donc

finalement cia est positif la fonction

est croissante

carrick et le sia est négatif bien cia

est négatif du coût deux fois assez

négatif la pente est négative la

fonction est décroissante

eh bien on retrouve bien là astier

représenté sur la courbe on a dit que la

fonction carré est décroissante pour les

négatif négatif et la fonction carré et

croissant pour les positifs positif

alors ici c'est très facile évidemment

mais c'est volontairement que j'ai

choisi un exemple fascine mais on voit

là maintenant tout l'intérêt car on peut

enfin démontrer que notre fonction carré

est d'abord décroissante sur les

négatifs ensuite croissante sur les

positifs mais en fait on va voir que on

n'est pas obligé de faire

systématiquement tout se calcule parce

qu'on vient de prouver que quel que soit

à et bien la pente

c'est à dire le nombre des vives et est

égal à 2 à on rappelle que le nombre des

rives et ça se note f prime de à et je

viens de prouver que pour la fonction f

2 x égal à ixxo 15 et bien f prime de 1

est toujours égale à deux fois a du coup

quelque part on pourrait s'en souvenir

ça est ce le notait quelque part eh bien

c'est ce qu'on va faire

évidemment car en réalité vu que c'est

vrai pour toutes à et bien on pourrait

définir une fonction une fonction qui va

s'appeler la fonction dérivés et une

fonction habituellement la variable on

la note pas à mais on la note

x ce qui fait qu'au lieu d'écrire vu que

c'est vrai pour toutes à au lieu

d'écrire ici à eh bien on va mettre x et

on se souviendra maintenant et bien que

lorsqu'on rencontre la fonction car et

f2 x et gallix au carré eh bien ça

dérive et ceci ça s'appelle la fonction

dérivés et f primes de x égale à 2 x et

ça va rentrer dans un formulaire ceci

parce que comme je les dis avant on va

pas s'amuser à chaque fois à re

démontrer ce qu'on a déjà démontré alors

ça on l'a démontré pour la fonction

carré mais en réalité on peut le

démontrer pour d'autres fonctions

les fonctions affine la fonction cube et

caetera et pour toutes les fonctions

on peut à chaque fois démontré en

passant par le calcul de limites c'est

assez lourd on l'a vu on peut de cette

façon là démontrer quelle est la

fonction dérivé de la fonction dont on

parle est bien toutes ses fonctions

elles vont être livrées

va pas tout les démontrer dans un

formulaire et on va donc avoir et bien

un premier formulaire ici avec les

fonctions et les fonctions dérivés qui

leur correspondent

et le voilà ce formulaire j'essaie de me

mettre bien à gauche de l'écran pour

qu'il y ait suffisamment de place pour

mon tableau est bien toutes ces formules

elles sont livrées comme je les dis mais

il va voir les apprendre il va falloir

les connaître tout simplement parce que

eh bien on n'a pas le temps de leur

démontrer et surtout l' avantage d'avoir

les fonctions dérivés c'est de pouvoir

étudier le plus rapidement possible les

variations d'une fonction surtout

lorsque l'expression d'une fonction est

complexe c'est à dire que le travail va

plutôt consisté à arriver à déterminer

une fonction dérivés d'une fonction qui

n'est pas forcément dans ce tableau là

mais qui est la composent et la somme la

différence le quotient de ces fonctions

là alors on va pas les regarder tout en

détails on peut s'arrêter quand même sur

quelques-unes

déjà on retrouve la dérive et de notre

fonction car et f2 x et gallix au carré

à pour dériver f primes de x égal 2 x on

à la dérive et de la fonction à x qui

est à tout court on à la dérive et de à

qui est zéro mais de façon générale on a

une dérive et qui est assez intéressante

et qui résume toutes les autres c'est la

dérive et de la fonction puissance x

puissance n

parce que là du coup en fonction de

haine j'ai toutes celles qui sont au

dessus j'ai x au carré avec une égale à

2 gx tout court avec n égale à 1 et j'ai

même le à un nombre avec ici n égale à

zéro alors on va voir juste le cette

histoire de à comment on le gère en tout

cas la dérive et 2x puissance n ya un

petit truc pour s'en rappeler je prends

l'exposant le n qui est devant je le

balance devant je me mets devant et du

coup je perds un degré à l'exposant et

je passe à and noise donc en gtam je

passe à et noise a donc si par exemple

je veux la dérive et

de la fonction g2x égal à x puissance 5

eh bien ce sera j'ai pris 2 x égal à je

balance l'exposant devant cinq hits

puissance je perds un degré en quatre du

coup on retrouve notre histoire de carré

si j'applique cette règle là je balance

le 2 qui est devant on le retrouve

devant le x et je perds un degré en

étant à puissance de jeu pas sa

puissance 1 c'est à dire je l'écris pas

c'est pour ça ça nous donne du 2 x x

puissance 1 ou 2 x tout court alors

j'avais dit que je parlais de cette

histoire de à ceux à qui est un facteur

qu'est-ce qu'on en fait alors je vais en

mettre un à ici donc je vais choisir par

exemple 6 c'est donc un nombre

c'est une constante à n'importe laquelle

un nombre qui est un facteur donc ils se

multiplient

la technique consiste à faire la chose

suivante la dérive et 2f est égale 1

eh bien sans réfléchir je prends le 6

ici et je leur porte et je le laisse en

facteurs donc je laisse un symbole de

multiplication et qu'est ce que je fais

pour le reste bien pour le reste je vais

tout simplement appliqué mais formule de

dérivation ce qui va me donner

donc je balance le 3 devant 3 x x

puissance je perds un degré gta iii

j'arrive à 2 et bien la dérive et de 6,6

au cube c'est 6 x 3 x au carré alors

bien sûr on va pas laisser comme ça on

va simplifier ci soit 3,18 xo 4

mais dès qu'on a un nombre un nombre

attention faux paquets du x1 juste un

vrai nombre qui est un facteur je le

prends je leur copie et pour le reste

j'applique mes formule connue ok alors

les trois suivantes je vais aller un peu

plus vite tout simplement parce que

balla on arrive un moment où il va

falloir faire des exercices et

s'entraider

je pense que tu as tout doucement

compris le principe donc bah si je

prends par exemple la toute dernière la

dérive et de racines de xc un sur deux

racines 2x donc bon voilà il faut la

prendre

si j'avais un petit 3 ans facteur tu

l'as compris et bien je descendrai

montroy qui viendrait avec

passons maintenant aux opérations sur

les fonctions dérivés la question est

comment dérivés cette fonction qui est

fabriqué finalement par une somme de

deux fonctions c'est une fonction du

second degré sa gelée pas dans mon

tableau

et oui pour ça il faut introduire un

nouveau tableau qui nous dit sur la

première ligne que lorsqu'on a la somme

de deux fonctions et qu'on souhaite

dérivés cette somme il suffit de faire

la somme des dérivés de chaque fonction

donc ça veut dire que je vais dérivés

dans mon coin x haut careï dans mon coin

3x et je ferai la somme des 2 et j'aurai

la fonction dérivés c'est très

sympathique ça parce que la dérive et 2x

au carré on commence à la connaître

maintenant c'est de x la dérive est de 3

x

on a dit que au niveau du bic son père

un degré donc si on est à 1 on arrive à

zéro il disparaît il reste juste 3 on a

d'ailleurs la dérive et de ax qui nous

donne à et bien voilà là j'ai appliqué

une première formule sur les opérations

de fonctions dérivés la dérive et 2x au

carré + 3 x c'est 2x plus trois alors

celle-ci elle est facile par contre les

trois suivantes sont à un petit peu

moins sympa on nous dit que lorsqu'on a

un produit

et bien c'est pas le produit dérivé on

aurait envie baffert lepreau la dérive

et lui la dérive est l'hôte et puis

rajouter fois eh bien non c'est pas ça

si je veux faire la dérivée du x v ça me

donne une prime vais plus une déprime

alors je vais l'a traitée assez

rapidement quand même sur un exemple

mais je t'invite à rejoindre la playlist

ou nous tu trouveras plein d'autres

exemples à traiter fdx égale x au pub

fois racines de x on voit donc là qu'on

a bien un produit de deux fonctions et

moi je voudrais la dérive et de ce

produit là on remarque dans la formule

on aura à utiliser une prime vais plus

eu des primes

déjà il faut repérer qu'est ce que c'est

hulk est ce que cv alors on va dire que

q c'est celle de gauche évident

et que le v c'est celle de droite donc

un peu comme dans la forme et on va

écrire à part usv ainsi que du prime

evs est pris alors une cx au cube c'est

noté ici

vv de it's ses racines de x on nous

demande du prime c'est à dire on nous

demande la dérive et 2x au cube alors ça

on sait faire maintenant je balance le 3

devant x puissance 2 j'ai perdu un degré

et on lui demande la dérive et devait

c'est-à-dire v primes basses assez

directement la formule la dérive et de

racines de xc 1 sur 2 racing 2 x et bien

ensuite on a plus que la formule pour f

primes de x est égal à je prends ma

formule e prime vais plus une déprime

supprime une prime est ici c'est à dire

3 x 15 x v v est ici fois racines de x

plus une x occupe x v prime un sur deux

racines de x je précise en dessous

chaque facteur on a bien eu prime vais

plus une déprime et bien voilà la

fonction des vives et de la fonction f

alors je vais m'arrêter là on pourrait

un tout petit peu la simple simplifiée

éventuellement médecin ou même

dénominateur mais bon c'est pas l'objet

ici de temps en temps les fonctions

dérivés sont pas forcément sympathique

d'autant qu'on se souvient à quoi elles

servent elles servent à établir les

variations de la fonction et pour cela

il faudra connaître leurs signes c'est

tout de suite ce qu'on va voir dans la

suite de secours voilà je vais pas lire

en détail la suite je te laisse regarder

et surtout le travailler avec entre

autres la très fameuse formule du

quotient eu sur v prime qui est égale à

une prime v - uv prime le tout sur v

carré alors ça ça donne souvent des

calculs assez complexe est assez lourd

mais bon c'est comme ça c'est le passage

obligé

on poursuit maintenant et on va finir

avec le fameux théorème de variation des

fonctions voilà et bien se tait

m en fait c'est le point final j'ai

envie de dire de tout ce qu'on a

construit dans ce cours il nous dit que

si on a une fonction f donc qui est des

rives à bhl sur un intervalle y est bien

si la dérive et esprit de x est négative

la fonction est décroissante si la

dérive et est positive la fonction est

croissante

on a la même chose avec la stricte

monotonie c'est à dire si eve primes de

x est strictement inférieure à 0 la

fonction est strictement décroissante et

pareil donc pour strictement croissante

on va donc traiter un exemple qui va

maintenant nous permettre de mettre en

application tout ce qu'on a vu alors un

exemple très simple

un exemple qui va illustrer le fait que

une fonction affine est croissante

lorsque le à 2 à x pist b est positif et

calais décroissante lorsque le a2a xb et

négatifs alors on va même l'illustré sur

un exemple et on va prendre la fonction

f 2 x est égal à 2 x + 3 alors c'est un

exemple très simple évidemment mais là

on est dans le court mais c'est juste et

simplement pour illustrer rapidement ce

théorème on a dit que ce théorème nous

permet d'établir les variations à

condition de connaître le signe de la

dérive et donc si on veut le signe de la

dérive et il faut déjà calculé s'est

terminé alors calculons la dérive et 2f

c'est-à-dire expriment de weeds bien

j'ai donc ici une somme de deux

fonctions je peux dérivés de façon

indépendante et faire la somme du

résultat

je vais donc commencer par dériver 2 x 2

x

c'est donc de la forme ax ça nous donne

à tous courent c'est à dire ça nous

donne de tout court plus plus la dérive

et d'un nombre c'est vrai qu'on en a pas

parlé pour l'instant enfin un tout petit

peu c'est à dire c'est la dérive et de à

et la dérive et d'un nombre tout seul

comme ça dans son coin ça fait toujours

zéro donc ça fait 2 + 0 dont finalement

la dérive et est égal à 2 et bien ça

c'est très sympathique parce que si la

dérive est égal à 2 pour étudier son

signe ça sera vite fait de est positif

donc

f primes de x est strictement positif

pour n'importe quelle valeur de x et si

la dérive est est possible

yves est bien la fonction est croissante

sur air donc voilà on avait l'année

dernière une propriété qui nous disait

si le a ici le coefficient directeur est

positif et bien la fonction est

croissante

bon bah tu vois bien que si tu mets un

n'importe quel nom positif ici il

restera à la fin dans la dérive et un

nombre positif et donc forcément on aura

une fonction croissante et on va finir

pas un dernier les petites et om qui va

nous permettre de d'établir des extrêmes

sommes extrêment homme d'une fonction et

qui nous dit la chose suivante si la

dérive et d'une fonction f s'annulent

échange de signes en un réel c est bien

cela veut dire que f admet un extrait

mom un maximum ou un minimum en sait en

x et gallas et alors c'est assez simple

à comprendre en fait

pensons à la fonction iq socar et qu'on

a vu tout à l'heure la fonction x aux

cayes a pour dériver f primes de x égal

2 x on a vu que f primes de x est

positif pour x positifs et négatifs pour

x négatif on a donc bien une fonction

qui change de signe où ça en zéro et on

a bien f prime 2 0 deux fois 0 qui est

égal à zéro

donc on a une dérive et qui s'allume en

0 et qui change de signe en zéro il ya

concrètement ça veut dire quoi

ça veut dire que ici pour les négatifs

la dérive est négatif donc j'ai une

fonction qui est décroissante

elle est décroissante puis ensuite elle

ça nulle en 0 la dérive et et ensuite la

dérive est positive la fonction est

croissante décroissante croissante

dérivés négative dérivés positive

dérivés s'annulent

tout est dit et le minimum là ici tout

en bas donc en réalité ceci le fait que

la dérive et change de signe et qu'elle

s'annulent ça va forcément entraîner un

changement de variation

si un changement de variations et bien

il ya de fortes chances quand même

d'avoir un minimum ou un changement de

variations dans l'autre sens un maximum

c'est juste ça que du ce théorème

concrètement qu'est ce qu'on fait et

bien quand on aura une fonction par

exemple fdx égale x au carré +6 puis on

l'a dérivera je passe sur les détails

je te laisse vérifier et ensuite on va

chercher si cette dérive et s'annule

pour avoir des chances de trouver un

extrême hommes on va donc résoudre

l'équation f primes de x égal à zéro ici

ça nous donnerait 2x plus un égale à 0

soit x égale -1 2 me on trouve là que la

dérive et s'annule en moins un demi

attention ce n'est pas suffisant il faut

ensuite s'assurer que cette dérive et

change de signe

mélanie rivet c'est quoi ici c'est une

fonction affine 2x plus un égale à zéro

on a trouvé qu'elle s'annuler en moins

un demi avec ici un coefficient

directeur positive donc allée croissante

ce qui veut dire qu'elle va être

négative avant - 1/2 puis positive après

-1 2 me donc on a bien ici une dérive et

qui change de signe en moins un demi on

est donc assurée ici d'avoir un extrême

homme en moins un demi alors maintenant

minimum ou maximum

ici c'est un minimum je passe là aussi

sot les détails je t'invite à voir des

exercices plus étoffé sur ce thème

on avait déjà pas mal de choses dans

cette vidéo je le pense

du coup et bien cette séquence est

terminée