21 Ejercicios de estacionariedad, ergodicidad

Ezequiel I. Espinosa R.

3 Dec 202032:16

Summary

TLDREl script del video ofrece una explicación detallada de conceptos avanzados en señales estacionarias y procesamiento de señales, como la autocorrelación y la densidad espectral de potencia. Se abordan ejercicios que desafían a los espectadores a entender si ciertas secuencias pueden corresponder a la autocorrelación de una señal estacionaria y a calcular la densidad espectral de potencia para señales aleatorias. El contenido es técnico y requiere conocimientos en matemáticas para su comprensión, con énfasis en el cálculo de medias, autocorrelaciones y transformadas de Fourier.

Takeaways

📚 Se discuten ejercicios sobre conceptos avanzados de señales como el auto-correlación y la densidad espectral de potencia.
🔍 Se analiza si ciertas secuencias discretas pueden corresponder a la auto-correlación de una señal discreta estacionaria.
⏲️ Se revisan las características necesarias para que una función cumpla con la auto-correlación, incluyendo simetría, valor máximo en el origen y transformada de Fourier no negativa.
📉 Se muestra que la secuencia de un pulso rectangular no cumple con la condición de la transformada de Fourier siempre positiva.
📈 Se calcula la densidad espectral de potencia para una señal aleatoria, involucrando cálculos de esperanza matemática y transformadas de Fourier.
🔢 Se determina si una señal es estacionaria en la media y en la auto-correlación, a través del análisis de sus propiedades temporales.
🌀 Se utiliza la identidad trigonométrica del coseno de una suma para simplificar cálculos de auto-correlación.
📊 Se contrasta la auto-correlación temporal de una realización con la auto-correlación del conjunto para evaluar estacionariedad.
🔧 Se muestra que la auto-correlación de la señal dada no es periódica, lo que indica que la señal no es estacionaria en el sentido estrecho.
📐 Se aplica el teorema de Wiener-Khinchin para relacionar la densidad espectral de potencia con la auto-correlación de la señal.

Q & A

¿Qué conceptos se mencionan en el video que pueden resultar complicados?
-Los conceptos mencionados incluyen la estacionalidad, la autocorrelación y otras funciones relacionadas.
¿Cuáles son las tres características que debe cumplir una función de autocorrelación?
-Las características son: 1) La autocorrelación en τ es igual a la autocorrelación en -τ, 2) El valor absoluto de la autocorrelación en τ es menor o igual a la autocorrelación en el origen (τ=0), y 3) La transformada de Fourier de la autocorrelación debe ser real y positiva.
¿Por qué la secuencia A no corresponde a una función de autocorrelación de una señal discreta estacionaria?
-Porque su transformada de Fourier toma tanto valores positivos como negativos, lo que no cumple con la condición de ser siempre positiva.
¿Cómo se define la estacionalidad respecto a la media en el contexto del video?
-Una señal es estacionaria respecto a la media si la media es constante para todo valor de t.
¿Qué se concluye sobre la media de la señal x(t) en el video?
-Se concluye que la media del conjunto es nula, es decir, la esperanza matemática de la señal es igual a cero, lo que la hace estacionaria en la media.
¿Cómo se puede determinar si una señal es estacionaria en la autocorrelación?
-Una señal es estacionaria en la autocorrelación si la autocorrelación no depende de los instantes concretos de tiempo en los que se evalúa, sino de la diferencia entre esos tiempos.
¿Qué se necesita verificar para determinar la ergodicidad en la media?
-Se debe verificar si la media temporal de cualquier realización coincide con la media del conjunto.
¿Qué procedimiento se sigue para calcular la densidad espectral de potencia de una señal aleatoria estacionaria?
-Se sigue el teorema de Wiener-Khinchin, que establece que la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación.
¿Cuál es la conclusión final respecto a la ergodicidad de la señal x(t) en la autocorrelación?
-La señal no es ergódica en la autocorrelación porque la autocorrelación de la realización no coincide con la autocorrelación del conjunto.
¿Qué se concluye sobre la estacionalidad y la densidad espectral de potencia en señales aleatorias?
-Se concluye que las señales aleatorias requieren cálculos más laboriosos para determinar la densidad espectral de potencia debido a su naturaleza aleatoria.

Outlines

00:00

📚 Ejercicios de conceptos estacionarios y autocorrelación

El primer párrafo introduce una serie de ejercicios sobre conceptos estacionarios y autocorrelación. Se menciona que estos conceptos pueden ser complicados, pero son fundamentales para entender las funciones y fórmulas. Se presenta un ejercicio que requiere determinar si ciertas secuencias discretas pueden corresponder a la autocorrelación de una señal estacionaria. Se analizan dos secuencias: una de 'pulsos unitarios' y otra de 'impulsos unitarios' con valores variables. Se explica que la autocorrelación debe cumplir con tres características: simetría, valor máximo en el origen y que su transformada de Fourier sea real y positiva. Se concluye que la secuencia de 'pulsos unitarios' no cumple con la tercera característica, mientras que la de 'impulsos unitarios' sí lo hace.

05:03

🔍 Análisis de estacionalidad en la media y autocorrelación

El segundo párrafo se enfoca en el análisis de si una señal aleatoria es estacionaria en términos de su media y autocorrelación. Se describe una señal aleatoria 'x' que consiste en un coseno modulado por variables aleatorias 'a' y 'si', ambas con distribuciones uniformes en intervalos específicos. Se calcula la media de la señal, encontrando que es nula y, por lo tanto, constante, lo que indica que la señal es estacionaria en la media. Seguidamente, se aborda el cálculo de la autocorrelación, demostrando que la señal cumple con las condiciones necesarias para ser estacionaria en la autocorrelación, dado que esta no depende de los instantes específicos sino de la diferencia entre ellos.

10:04

📈 Cálculo de la densidad espectral de potencia de una señal aleatoria

El tercer párrafo explica cómo calcular la densidad espectral de potencia para una señal aleatoria que es la modulación de un oscilador con amplitude, frecuencia central, desviación de frecuencia y fase aleatorias. Se menciona que la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la autocorrelación y se procede a calcular la autocorrelación de la señal. Se utiliza la teoría de la transformada de Fourier para simplificar el cálculo, obteniendo una expresión que incluye impulsos unitarios en puntos específicos de la frecuencia. Se concluye con la densidad espectral de potencia como la suma de las contribuciones de estos impulsos, lo que permite entender la distribución de la potencia de la señal en el dominio de la frecuencia.

15:06

🔧 Ejemplos laboriosos en procesamiento de señales

El cuarto párrafo resume los conceptos previamente discutidos y enfatiza la complejidad de los cálculos necesarios para trabajar con señales aleatorias en comparación con señales deterministas. Se sugiere que, a pesar de la dificultad, estos ejemplos son importantes para comprender cómo se relacionan los conceptos teóricos con aplicaciones prácticas, como la medición de la potencia de señales en intervalos de frecuencia específicos.

Mindmap

Keywords

💡Auto-correlación

Auto-correlación es una técnica utilizada en señales para medir la similitud entre una señal y su propia versión retrasa. En el video, se discute cómo una función de auto-correlación debe cumplir con ciertas características para ser válida en señales estacionarias, como ser par, tener su valor máximo en el origen y tener una transformada de Fourier que sea real y no negativa.

💡Señal estacionaria

Una señal estacionaria es aquella cuyos estadísticos no cambian con el tiempo. El video explora conceptos como la auto-correlación y la densidad espectral de potencia en el contexto de señales estacionarias, y cómo estas características son fundamentales para entender la naturaleza de la señal.

💡Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier es una herramienta matemática utilizada para analizar señales en el dominio de frecuencias. En el video, se menciona que la transformada de Fourier de la auto-correlación debe ser real y positiva para señales estacionarias, lo cual es crucial para la densidad espectral de potencia.

💡Densidad espectral de potencia

La densidad espectral de potencia es una representación de la distribución de la energía de una señal en el dominio de frecuencias. El video muestra cómo calcular esta densidad para una señal aleatoria estacionaria, lo que es esencial para entender la potencia de la señal en diferentes frecuencias.

💡Variables aleatorias

Las variables aleatorias son usadas para describir la incertidumbre en los valores de una señal o parámetro. En el script, se mencionan variables aleatorias como la amplitud 'a', la frecuencia 'f' y la fase 'psi', las cuales tienen distribuciones probabilísticas que afectan la densidad espectral de potencia.

💡Espectralidad

Espectralidad se refiere a la distribución de la potencia de una señal en el espectro de frecuencias. El video trata de temas como la auto-correlación y la densidad espectral de potencia, que son fundamentales para el análisis espectral de señales estacionarias.

💡Integrales

Las integrales son una forma matemática de calcular áreas bajo curvas, que en el contexto del video, se usan para calcular la esperanza matemática y la densidad espectral de potencia. El script describe el proceso de calcular estas integrales para variables aleatorias.

💡Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son relaciones matemáticas que se utilizan para simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. En el video, se aplican estas identidades para calcular la auto-correlación y la densidad espectral de potencia de señales.

💡Funciones de densidad de probabilidad

Las funciones de densidad de probabilidad describen la distribución de una variable aleatoria. El video menciona funciones de densidad de probabilidad uniformes para variables como 'a', 'f' y 'psi', que son necesarias para calcular la esperanza matemática y la densidad espectral de potencia.

💡Teorema de Wiener-Khinchin

El teorema de Wiener-Khinchin establece una relación entre la auto-correlación de una señal y su espectro de potencia. En el video, se utiliza este teorema para calcular la densidad espectral de potencia a partir de la auto-correlación de una señal aleatoria estacionaria.

Highlights

El video presenta ejercicios sobre conceptos avanzados como la auto-correlación y la densidad espectral de potencia para señales estacionarias.

Se discuten las características que debe cumplir una función de auto-correlación para una señal discreta estacionaria.

Se analiza si ciertas secuencias pueden corresponder a la auto-correlación de una señal discreta estacionaria y se explica por qué.

Se resuelve un ejemplo donde se debe determinar si una secuencia es una auto-correlación válida utilizando las propiedades de las funciones de impulso y seno cardinal.

Se calcula la media y la auto-correlación de una señal aleatoria que incluye una amplitud y una fase con distribuciones uniformes.

Se demuestra que la señal aleatoria mencionada es estacionaria en la media y se calcula su valor.

Se verifica si la señal es estacionaria en la auto-correlación a través de la esperanza matemática y se llega a una conclusión.

Se calcula la densidad espectral de potencia de una señal aleatoria estacionaria utilizando la transformada de Fourier de la auto-correlación.

Se resuelve un problema de densidad espectral de potencia para una señal modelada con un oscilador con parámetros aleatorios.

Se utiliza la teoría de la densidad espectral de potencia para calcular la transformada de Fourier de la auto-correlación de una señal.

Se muestra cómo la esperanza matemática y la transformada de Fourier pueden intercambiarse en el cálculo de la densidad espectral de potencia.

Se resalta la importancia de las identidades trigonométricas en el cálculo de la auto-correlación y la densidad espectral de potencia.

Se discuten los desafíos de calcular la densidad espectral de potencia para señales aleatorias en comparación con señales deterministas.

Se concluye que el cálculo de la densidad espectral de potencia es esencial para entender la distribución de la potencia en la frecuencia de una señal.

Se enfatiza la importancia de comprender los conceptos teóricos detrás de la densidad espectral de potencia para su aplicación práctica en el análisis de señales.

Se sugiere que los espectadores revisen el video en detalle para una mejor comprensión de los conceptos avanzados tratados.