Límites por factorización 1

BRO Clases profe Bryan

8 May 202407:43

Summary

TLDREl vídeo explica cómo calcular el límite de una función cuando x tiende a 3, utilizando la técnica de factorización para resolver una indeterminación de tipo c/c. Se factoriza la función f(x) = (x^4 - 81) / (-x^2 + x + 6), identificando diferencias de cuadrados y factorizando el denominador. Tras cambiar el signo para permitir la cancelación, se evalúa el límite obteniendo -108 al reemplazar x por 3.

Takeaways

📘 El vídeo trata sobre el cálculo de límites utilizando la técnica de factorización.
🔍 Se presenta un ejercicio específico: calcular el límite cuando x tiende a 3 de la función (x^4 - 81) sobre (-x^2 + x + 6).
🤔 Al sustituir x por 3, se identifica que el límite resulta en una forma indeterminada de tipo c/0.
🔢 Se sugiere que el numerador (x^4 - 81) puede ser factorizado como una diferencia de cuadrados, resultando en (x^2 - 9).
🔄 La raíz de 81 es 9, y se aplica la técnica de diferencia de cuadrados para factorizar el numerador.
🔄 El denominador (-x^2 + x + 6) se factoriza como -(x - 3)(x + 2) mediante la técnica de inspección.
🔄 Se destaca la necesidad de cambiar el signo para poder realizar la cancelación en el numerador y denominador.
📉 Se aplica la técnica de cambiar el signo para que los factores en el numerador y denominador coincidan y puedan cancelarse.
📐 Después de la cancelación, se evalúa el límite sustituyendo x por 3, lo que resulta en una simplificación del expresión.
📨 El resultado final del límite es -108/5 cuando se sustituye x por 3 en la expresión simplificada.

Q & A

¿Qué técnica se utiliza para resolver el límite en el ejercicio presentado?
-Se utiliza la técnica de factorización para resolver el límite en el ejercicio.
¿Cuál es la función que se está evaluando en el límite?
-La función que se está evaluando es \(\frac{x^4 - 81}{-x^2 + x + 6}\).
¿Cuál es el punto de indeterminación que se presenta al evaluar el límite directamente?
-El punto de indeterminación es cuando \(x\) tiende a 3, ya que al sustituir \(x\) por 3 en la función, el numerador y el denominador se anulan, dando como resultado una forma indeterminada de la forma \(0/0\).
¿Cómo se identifica que el límite es de una forma indeterminada?
-Se identifica al sustituir el valor de \(x\) que tiende (en este caso, 3) en la función y obtener que tanto el numerador como el denominador se anulen, lo que resulta en una expresión de la forma \(0/0\).
¿Qué significa que una expresión sea de la forma indeterminada \(0/0\)?
-Una expresión de la forma indeterminada \(0/0\) significa que no se puede determinar el límite simplemente evaluando el valor en el punto de indeterminación, y se requiere aplicar técnicas de algebra para resolverlo.
¿Qué técnica de factorización se aplica en el numerador de la función?
-Se aplica la técnica de diferencia de cuadrados en el numerador, lo cual se factoriza como \(x^2 - 9\) que corresponde a \((x - 3)(x + 3)\).
¿Cómo se factoriza el denominador de la función?
-El denominador se factoriza por inspección, identificando que \(-x^2 + x + 6\) se puede escribir como \(-(x - 3)(x + 2)\).
¿Por qué no se puede cancelar directamente los factores en el numerador y denominador después de la primera factorización?
-No se puede cancelar directamente porque los factores son \(x - 3\) en el numerador y \(-(x - 3)\) en el denominador, lo que requiere de un cambio de signo para que los factores sean iguales y se puedan cancelar.
¿Qué técnica se utiliza para poder cancelar los factores en el numerador y denominador?
-Se utiliza la técnica de cambiar el signo, multiplicando el numerador y el denominador por -1 para hacer que los factores \(x - 3\) en el numerador y \(x - 3\) en el denominador sean iguales y se puedan cancelar.
¿Cuál es el resultado final del límite después de aplicar las técnicas de factorización y cambio de signo?
-El resultado final del límite es \(-108/5\), después de cancelar los factores comunes y evaluar el límite cuando \(x\) tiende a 3.

Outlines

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📘 Análisis de Límites y Factorización

El vídeo comienza explicando cómo trabajar con ejercicios de límites utilizando la técnica de factorización. Se plantea un ejemplo específico: calcular el límite cuando x tiende a 3 de la función (x^4 - 81) / (-x^2 + x + 6). Se identifica que al sustituir x por 3, el resultado es una forma indeterminada de tipo 'c/0'. Para resolver esto, se sugiere la factorización. Se explica que el numerador puede factorizarse como una diferencia de cuadrados, dando como resultado (x^2 - 9), que se puede simplificar a (x - 3)(x + 3). El denominador se factoriza como -(x - 3)(x + 2). Se señala que aún no se puede cancelar nada y se necesita un paso adicional para poder realizar la cancelación.

05:01

🔄 Aplicación de la Tecnología de Cambio de Signo

El vídeo continúa explicando cómo aplicar la técnica de cambio de signo para resolver el límite anteriormente planteado. Se sugiere cambiar el signo del término (x - 3) en el numerador para que coincida con el término (-x + 3) en el denominador. Al hacer esto, se pueden cancelar los términos (x - 3), dejando (x + 3) en el numerador y (x + 2) en el denominador. Se procede a evaluar el límite sustituyendo x por 3, obteniendo como resultado 108 / -5, que simplifica a -108 / 5. El vídeo enfatiza la importancia de realizar los cálculos y la sustitución de valores para evaluar el límite.

Mindmap

Keywords

💡límites

Los límites son un concepto fundamental en el cálculo, que se refiere a la tendencia de una función cuando su variable tiende a un valor específico. En el vídeo, se trabaja con el límite de una función cuando x tiende a 3, lo cual es crucial para entender el comportamiento de la función en ese punto.

💡factorización

La factorización es el proceso de expresar una expresión matemática como el producto de sus factores. En el vídeo, se utiliza factorización para simplificar la función antes de calcular su límite, lo cual facilita la identificación y resolución de formas indeterminadas.

💡forma indeterminada

Una forma indeterminada ocurre cuando la simplificación de una expresión conduce a una relación de tipo 0/0 o ∞/∞, haciendo que la expresión no tenga un valor definido. En el vídeo, el autor identifica que el límite inicialmente resulta en una forma indeterminada de c/c, lo que indica la necesidad de aplicar técnicas adicionales para resolverlo.

💡diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados es una técnica algebraica que se utiliza para factorizar expresiones de la forma a^2 - b^2. En el vídeo, se aplica esta técnica para factorizar el numerador de la función, lo que permite la cancelación de términos y la resolución del límite.

💡inspección

La inspección es una técnica de factorización en la que se observa la expresión para identificar posibles factores comunes o patrones que puedan facilitar la factorización. En el vídeo, se utiliza la inspección para factorizar el denominador de la función.

💡cancelación

La cancelación es el proceso de eliminar términos iguales que aparecen en el numerador y el denominador de una fracción. En el vídeo, la cancelación es un paso clave para simplificar la expresión y encontrar el límite de la función.

💡cambio de signo

El cambio de signo es una técnica utilizada para facilitar la cancelación de términos en una expresión. En el vídeo, el autor cambia el signo de un paréntesis para que los términos en el numerador y denominador puedan cancelarse, lo que es crucial para resolver el límite.

💡sustitución

La sustitución es el acto de reemplazar una variable en una expresión por un valor específico. En el vídeo, la sustitución de x por 3 es el paso final para calcular el límite de la función una vez que se ha simplificado la expresión.

💡numerador

El numerador es la parte superior de una fracción. En el vídeo, el numerador de la función se simplifica mediante factorización y cancelación, lo que es necesario para encontrar el límite.

💡denominador

El denominador es la parte inferior de una fracción. En el vídeo, el denominador es factorizado y simplificado para poder cancelar términos y calcular el límite de la función.

Highlights

Introducción al ejercicio de límites utilizando la técnica de factorización.

Enunciado del problema: cálculo del límite cuando x tiende a 3 de la función (x^4 - 81) / (-x^2 + x + 6).

Identificación de la forma indeterminada c/0 al sustituir x=3 en la función.

Explicación de que 3^4 es 81 y cómo esto afecta la evaluación directa del límite.

Propuesta de aplicar técnicas de factorización para resolver el límite indeterminado.

Observación de que el numerador es una diferencia de cuadrados.

Aplicación de la técnica de diferencia de cuadrados en el numerador.

Factorización del denominador mediante técnica de inspección.

Dificultad para realizar la cancelación debido a la presencia de términos no coincidentes.

Sugerencia de cambiar el signo para lograr la cancelación de términos.

Explicación detallada de cómo cambiar el signo en el numerador para permitir la cancelación.

Cancelación efectiva de los términos comunes en numerador y denominador.

Sustitución de x=3 en la expresión simplificada para evaluar el límite.

Cálculo final del límite, obteniendo un resultado de -108/5.

Recomendación de verificar los pasos en una calculadora para comprobar el resultado.