96. Ecuación diferencial de coeficientes constantes, raíces repetidas. EJERCICIO RESUELTO.

MateFacil

30 Jan 201705:08

Summary

TLDREn este video, se resuelve una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Se introduce la solución propuesta \( y = e^{r \cdot x} \), derivando la ecuación característica. La ecuación cuadrática resultante se resuelve utilizando la fórmula general, obteniendo una única solución para \( r \). Para hallar una segunda solución linealmente independiente, se multiplica la primera por \( x \). Finalmente, se presenta la solución general combinando ambas soluciones. El video concluye con un ejercicio de ecuación diferencial de tercer orden para resolver de manera similar.

Takeaways

📘 La ecuación diferencial tratada en el video es de segundo orden, homogénea y de coeficientes constantes.
🔍 Se propone una solución de la forma y = e^(r*x) para resolver la ecuación diferencial.
📐 Se forma una ecuación característica al igualar el coeficiente de la segunda derivada de y a r^2, la primera derivada a r y la función y a cero.
🔢 Se resuelve la ecuación característica de segundo grado usando la fórmula general de解二次方程.
📈 Se calcula el valor de r utilizando la fórmula r = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / 2A, donde A=4, B=-12 y C=9.
🔄 Se obtiene un único valor para r, que es 3/2, indicando una solución de la ecuación diferencial.
🌐 Se obtiene una solución de la ecuación diferencial sustituyendo el valor de r, que es y = e^(3/2*x).
📝 Se menciona que para una solución general de una ecuación diferencial de segundo orden se necesitan dos soluciones linealmente independientes.
🔄 Se obtiene una segunda solución multiplicando la primera solución por x, dando lugar a y = x * e^(3/2*x).
🔑 Se presenta la solución general como una combinación lineal de las dos soluciones obtenidas: y = C1 * e^(3/2*x) + C2 * x * e^(3/2*x).
🔍 Se invita a los espectadores a intentar resolver un ejercicio de ecuación diferencial de tercer orden antes de ver el siguiente video.

Q & A

¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el video?
-Se resuelve una ecuación diferencial de segundo orden, homogénea y de coeficientes constantes.
¿Cuál es la forma general de las soluciones para una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes?
-Las soluciones generalmente tienen la forma y = e^(r*x).
¿Cómo se obtiene la ecuación característica de una ecuación diferencial?
-Se reemplaza la segunda derivada de y por r^2, la primera derivada de y por r y a la función y simplemente se coloca un 1 en lugar de y.
¿Cuál es la ecuación característica para la ecuación diferencial dada en el video?
-La ecuación característica es 4r^2 - 12r + 9 = 0.
¿Cómo se resuelve la ecuación algebraica de segundo grado obtenida?
-Se resuelve mediante la fórmula general o mediante factorización. En el video se usa la fórmula general.
¿Cuál es la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado?
-La fórmula general es x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).
¿Cuál es el valor de 'a', 'b' y 'c' en la ecuación característica?
-En la ecuación característica, 'a' vale 4, 'b' vale -12 y 'c' vale 9.
¿Cuál es el resultado de la ecuación característica resuelta?
-El resultado es r = 3/2, lo que indica una única solución.
¿Cómo se obtiene la primera solución de la ecuación diferencial?
-La primera solución se obtiene sustituyendo el valor de r en la forma y = e^(r*x), dando como resultado y = e^(3/2*x).
¿Cómo se obtiene la segunda solución de la ecuación diferencial?
-La segunda solución se obtiene multiplicando la primera solución por x, dando como resultado x * e^(3/2*x).
¿Cómo se escribe la solución general de la ecuación diferencial?
-La solución general se escribe como una combinación lineal de las dos soluciones obtenidas: y = C1 * e^(3/2*x) + C2 * x * e^(3/2*x).
¿Qué significa que las soluciones sean linealmente independientes?
-Significa que no se puede expresar una solución como una combinación lineal de la otra, lo cual es necesario para escribir la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.

Outlines

00:00

🧑‍🏫 Resolución de ecuación diferencial de segundo orden

En este video, el presentador explica cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden homogénea con coeficientes constantes: 4y'' - 12y' + 9y = 0. Se propone que la solución tiene la forma y = e^rX, lo que lleva a una ecuación característica: 4r^2 - 12r + 9 = 0. La ecuación cuadrática se resuelve usando la fórmula general, obteniendo r = 3/2. Como solo hay una solución, la segunda solución se encuentra multiplicando la primera por x, obteniendo así dos soluciones linealmente independientes. La solución general de la ecuación es y = C1 * e^(3/2 * x) + C2 * x * e^(3/2 * x).

05:00

📚 Presentación de una ecuación diferencial de tercer orden

El presentador deja como ejercicio una ecuación diferencial de tercer orden: y''' - y'' - 2y' = 0. Esta también es homogénea y de coeficientes constantes, y se debe resolver de manera similar a la ecuación anterior. Se sugiere escribir la ecuación característica: r^3 - r^2 - 2r = 0 y luego factorizar. En el próximo video se mostrará el procedimiento completo. El presentador concluye el video pidiendo a los espectadores que den like, se suscriban y compartan los videos.

💬 Interacción y cierre del video

El presentador invita a los espectadores a dejar cualquier pregunta o sugerencia en los comentarios, recordándoles que está disponible para responder a sus inquietudes.

Mindmap

Keywords

💡Ecuación diferencial de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden involucra la segunda derivada de una función. En el video, la ecuación es 4y'' - 12y' + 9y = 0, lo que indica que se está trabajando con una ecuación que describe el cambio en la pendiente de una función. Estas ecuaciones son comunes en fenómenos físicos como la vibración de cuerdas o resortes.

💡Coeficientes constantes

Se refiere a que los coeficientes numéricos que acompañan las derivadas en la ecuación diferencial no cambian. En el video, los coeficientes son 4, -12 y 9, que permanecen constantes, lo que facilita la resolución mediante métodos algebraicos estándar.

💡Solución característica

Es una forma propuesta de solución para ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. En este caso, se asume que la solución tiene la forma y = e^(r*x), lo que permite transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica (la ecuación característica) que involucra a 'r'.

💡Ecuación característica

Es una ecuación algebraica que se deriva al sustituir la forma propuesta de la solución en la ecuación diferencial. En el video, la ecuación característica es 4r² - 12r + 9 = 0, que luego se resuelve usando la fórmula general.

💡Fórmula general

Es una fórmula que se usa para resolver ecuaciones cuadráticas del tipo ax² + bx + c = 0. En el video, se utiliza para resolver la ecuación característica. La fórmula general se expresa como x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

💡Solución linealmente independiente

Son soluciones de una ecuación diferencial que no se pueden expresar como múltiplos entre sí. En el video, se mencionan dos soluciones: una obtenida directamente de la ecuación característica y otra multiplicando la solución por 'x'. Esto es crucial para formar la solución general de la ecuación.

💡Combinación lineal

Es una expresión matemática que combina varias funciones, cada una multiplicada por una constante. En la solución general de la ecuación diferencial en el video, se utiliza una combinación lineal de dos soluciones independientes: y = c1 * e^(3/2 * x) + c2 * x * e^(3/2 * x).

💡Raíz de la ecuación

Es el valor de 'r' que satisface la ecuación característica. En el video, se resuelve la ecuación cuadrática y se obtiene una única raíz r = 3/2, lo que lleva a buscar una segunda solución independiente.

💡Ecuación de tercer grado

Es una ecuación algebraica en la que el exponente máximo de la incógnita es 3. Al final del video, se introduce una ecuación diferencial de tercer orden con la forma r³ - r² - 2r = 0, que se resuelve mediante factorización.

💡Factorización

Es un método algebraico para resolver ecuaciones que consiste en descomponer una expresión en productos de términos más simples. En el video, la ecuación de tercer grado se factoriza como r(r² - r - 2) = 0, lo que permite resolverla fácilmente.

Highlights

Resolución de una ecuación diferencial de segundo orden, homogénea y de coeficientes constantes.

Propuesta de solución en la forma de y = e^(r*x).

Obtención de una ecuación característica a partir de la ecuación diferencial.

Ecuación característica resultante: 4r^2 - 12r + 9 = 0.

Resolución de la ecuación algebraica de segundo grado mediante la fórmula general.

Valores de a, b y c en la fórmula general: a=4, b=-12, c=9.

Cálculo de la solución r = -b ± √(b² - 4ac)/2a.

Resultado de la ecuación característica: r = 3/2.

Una única solución para la ecuación diferencial obtenida.

Obtención de la primera solución de la ecuación diferencial: y = e^(3/2*x).

Necesidad de dos soluciones linealmente independientes para la ecuación diferencial.

Obtención de la segunda solución multiplicando la primera solución por x.

Segunda solución: y = x * e^(3/2*x).

Escritura de la solución general como una combinación lineal de las dos soluciones.

Introducción de constantes arbitrarias c1 y c2 en la solución general.

Presentación del siguiente ejercicio: ecuación diferencial de tercer orden.

Ecuación diferencial de tercer orden: y''' - y'' - 2y' = 0.

Ecuación característica para la ecuación diferencial de tercer orden: r³ - r² - 2r.

Factorización de la ecuación característica y resolución del factor de segundo grado.

Invitación al público a intentar resolver el ejercicio antes de ver el siguiente video.

Sugerencia de dejar comentarios para preguntas o sugerencias.