LÍMITES A PARTIR DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Summary

En este ejercicio, se analiza la gráfica de una función para determinar sus límites cuando x tiende a diferentes valores. Se examinan los límites tanto por la izquierda como por la derecha para valores como x tiende a -2, x tiende a 0, x tiende a 2 y x tiende a infinitos. Se observan diferencias en los límites laterales y se discute la no existencia de límites en puntos específicos debido a desacuerdos en los valores laterales. Además, se menciona el comportamiento de la función en puntos donde no está definida y se explora la idea de asintotas tanto verticales como horizontales.

Takeaways

• 🔍 Se analiza un ejercicio de cálculo que presenta una gráfica de una función en rojo y pregunta por cinco límites de la función.
• 📐 Se debe considerar tanto el límite por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a un valor específico, como -2.
• 📉 Al analizar el límite cuando x tiende a -2, se observan valores distintos por la izquierda y por la derecha, lo que indica que el límite no existe.
• 🎯 Al examinar el límite cuando x tiende a 0, se encuentra que tanto por la izquierda como por la derecha el límite existe y es igual a 1.
• 🚫 Cuando se estudia el límite cuando x tiende a 2, se concluye que no existe debido a que los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales.
• ↗️ Al considerar el límite cuando x tiende a menos infinito, se nota que los valores de y tienden hacia más infinito.
• ↘️ Al analizar el límite cuando x tiende a más infinito, se observa que los valores de la función tienden a cero, lo que indica un comportamiento de asín total horizontal.
• 📌 Se menciona la importancia de evaluar la función en puntos específicos, como -2, 0 y 2, para determinar si la función está definida en esos puntos.
• 📏 Se destaca la diferencia entre analizar límites y evaluar la función en un punto específico, lo cual puede revelar si la función está definida o no en dicho punto.
• 📘 El ejemplo utilizado en el guion ilustra cómo se abordan los límites en el cálculo, utilizando una gráfica para visualizar el comportamiento de la función.

Q & A

¿Qué es lo primero que se debe hacer cuando se nos pide calcular el límite de una función cuando x tiende a un valor específico?

Primero, se debe analizar el límite tanto por la izquierda como por la derecha del valor dado, a menos que se especifique lo contrario.

Si al analizar el límite por la izquierda y por la derecha de x tiende a -2, se obtienen resultados diferentes, ¿qué conclusión se puede sacar?

Si los resultados son diferentes, entonces el límite no existe, ya que para que un límite exista, ambos límites (izquierda y derecha) deben coincidir en un mismo número real.

¿Cuál fue el resultado del límite por la izquierda y por la derecha cuando x tiende a -2 en la función descrita en el guion?

El límite por la izquierda cuando x tiende a -2 es 1, y el límite por la derecha es -1, por lo que el límite no existe.

¿Qué significa que un límite exista y valga un número específico?

Significa que tanto el límite por la izquierda como el por la derecha convergen al mismo valor real cuando x se acerca al punto de interrupción.

¿Cuál es el resultado del límite de la función cuando x tiende a 0, considerando tanto la izquierda como la derecha?

El límite de la función cuando x tiende a 0, tanto por la izquierda como por la derecha, es 1.

¿Qué sucede con la función cuando x tiende a 2, y cómo se refleja esto en el límite por la izquierda y por la derecha?

Cuando x tiende a 2, el límite por la izquierda tiende a menos infinito y el límite por la derecha tiende a más infinito, por lo que el límite no existe.

¿Cómo se determina si una función tiene un comportamiento de asíntota vertical cuando x tiende a un valor específico?

Se determina observando si la gráfica se acerca cada vez más a un eje sin tocarlo, lo que indica que los valores de y tienden a infinito o a menos infinito.

¿Qué significa que los valores de y tienden hacia más infinito o menos infinito cuando x tiende a 2 por la derecha en la función descrita?

Significa que la función crece sin límite hacia arriba o hacia abajo respectivamente, y no existe un límite finito en esos puntos.

¿Cuál es el comportamiento de la función cuando x tiende a menos infinito, según el guion?

Cuando x tiende a menos infinito, los valores de y tienden hacia más infinito, lo que indica que la gráfica se eleva cada vez más hacia arriba.

¿Qué ocurre con la función cuando x tiende a más infinito, y cómo se interpreta esto en términos de asintótas horizontales?

Cuando x tiende a más infinito, los valores de la función tienden a cero, lo que se interpreta como un comportamiento de asintótas horizontales, ya que la gráfica se aproxima cada vez más al eje x sin tocarlo.

¿Cómo se determina si una función está definida en un punto específico al evaluarla en ese punto?

Se determina buscando el punto de intersección de la gráfica con el eje y en el valor de x dado; si hay intersección, la función está definida y se puede encontrar el valor correspondiente.

Outlines

00:00

📊 Análisis de Límites de Funciones

En este segmento, se discute cómo analizar los límites de una función dada a través de su gráfica. Se enfatiza la importancia de examinar tanto por la izquierda como por la derecha cuando x se acerca a un punto específico. Se explica que si los límites por la izquierda y por la derecha no coinciden, el límite no existe. Se presentan ejemplos específicos para los valores de x que tienden a -2, 0 y 2, y se describe cómo se comporta la función en estos puntos. Además, se explora el concepto de asintotas verticales y horizontales, y cómo estos afectan la existencia de los límites.

05:04

🔍 Evaluación de Funciones en Puntos Específicos

Este párrafo se centra en la evaluación de la función en puntos específicos, como -2, 0 y 2. Se describe cómo se determina si la función está definida en estos puntos al observar la gráfica y cómo se calcula el valor de la función en ellos. Se menciona que en algunos casos, como x=0 y x=2, la función no está definida debido a que la gráfica no intersecta el eje y en esos puntos. También se toca el tema de las asintotas y cómo la función se comporta cuando x tiende a valores muy grandes, tanto negativos como positivos.

Keywords

💡Límite

El límite es un concepto fundamental del cálculo que se refiere a la tendencia de un valor a medida que una variable se acerca a un punto específico. En el guion, se discute cómo calcular los límites de una función cuando la variable 'x' se acerca a diferentes valores (menos 2, 0, 2, infinito negativo, infinito positivo). El límite es crucial para entender la comportancia de las funciones en puntos críticos o discontinuidades.

💡Derecha e Izquierda

Estos términos se refieren a las aproximaciones de un punto desde diferentes direcciones. En el guion, se menciona que para calcular un límite, es necesario analizar tanto la aproximación desde la izquierda como desde la derecha. Esto es esencial para determinar si un límite existe, ya que ambos deben coincidir en un único valor real.

💡Función

Una función es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el guion, la función se representa gráficamente en color rojo y se utiliza para ilustrar cómo se calculan los límites al acercarse a diferentes puntos.

💡Gráfica

La gráfica es una representación visual de los datos, en este caso, de una función. Se utiliza para observar la tendencia de los valores de 'y' a medida que 'x' se acerca a puntos específicos, lo cual es fundamental para calcular los límites.

💡Infinito

El infinito es un concepto que se refiere a un valor que crece sin límite. En el guion, se discute cómo los límites de una función pueden tender a infinito positivo o negativo, lo cual indica que la función crece sin restricción a medida que 'x' se aleja de ciertos puntos.

💡Asín total

Una asíntota es una línea que una gráfica de función se acerca pero nunca toca. En el guion, se menciona la asíntota vertical cuando 'x' tiende a 2, y la asíntota horizontal cuando 'x' tiende a infinito positivo, para ilustrar cómo la función se comporta cerca de estos puntos.

💡Eje Y

El eje Y es una de las coordenadas en un sistema de ejes cartesianos. En el guion, se utiliza para determinar los valores de 'y' que se aproximan al calcular los límites, ya que se busca el comportamiento vertical de la función en puntos específicos.

💡Eje X

El eje X es la otra coordenada en un sistema de ejes cartesianos. Se menciona en el guion para describir la aproximación horizontal de la función a la asíntota horizontal cuando 'x' tiende a infinito positivo.

💡Valores Distintos

Se refiere a la situación en la que los límites desde la izquierda y desde la derecha no coinciden. En el guion, se utiliza para explicar por qué ciertos límites no existen, ya que un límite válido requiere que ambos límites sean iguales.

💡Definido

Un punto de una función se dice que está definido si existe un valor correspondiente en el eje Y. En el guion, se utiliza para describir si la función tiene un valor específico en puntos como -2, 0 y 2, lo cual es importante para entender la existencia de los límites en esos puntos.

Highlights

Análisis de límites de una función a partir de su gráfica en color rojo

Necesidad de analizar límites tanto por la izquierda como por la derecha

Determinación del límite cuando x tiende a -2, mostrando distintos valores por izquierda y derecha

El límite no existe cuando los resultados por izquierda y derecha son distintos

Análisis del límite cuando x tiende a 0, con valores consistentes por izquierda y derecha

Existe un límite cuando x tiende a 0, y su valor es 1

Observación de la gráfica para determinar el límite cuando x tiende a 2

Dos límites distintos cuando x tiende a 2, uno hacia -infinito por la izquierda y otro hacia +infinito por la derecha

El límite no existe cuando x tiende a 2 debido a la discrepancia entre límites por izquierda y derecha

Análisis del comportamiento de la función cuando x tiende a -infinito

Valores de y tienden a más infinito cuando x tiende a -infinito

Observación de la gráfica para determinar el límite cuando x tiende a +infinito

Valores de la función tienden a cero cuando x tiende a +infinito

Mencion de la existencia de un asíntotico horizontal en el límite de x tiende a +infinito

Evaluación de la función en puntos específicos como -2, 0 y 2

La función está definida en -2 y su valor es -1

La función no está definida en 0, lo que implica que df/dx en 0 no existe

La función no está definida en 2, lo que implica que df/dx en 2 no existe

Resumen de conceptos de límites en cálculo a partir de la observación de una gráfica

Transcripts

en este ejercicio nos dan la gráfica de

una función la que vemos en color rojo y

nos preguntan por estos cinco límites

pero vamos a empezar entonces con el

primero límite de la función cuando x

tiende a menos 2 entonces estamos en la

obligación de analizar lo tanto por

izquierda como por la derecha

de menos 2

sin que nos digan nada si el límite

viene presentado esta manera debemos

analizarlo por izquierda y por derecha

entonces veamos cuando x tiende a ver 2

por la izquierda nos situamos como por

aquí y vamos a buscar la gráfica de la

función nos movemos en forma vertical y

entonces debemos subir para encontrar la

gráfica hacemos contacto como por aquí

vamos al eje ye y encontramos un número

muy próximo a 1 entonces ese será el

resultado de ese límite

ahora cuando x tienda menos 2 por la

derecha entonces nos situamos aquí a la

derecha de menos 2 nos movemos

verticalmente en este caso debemos bajar

hacer contacto con la gráfica por aquí

vamos al eje y y encontramos que nos

aproximamos a menos 1 entonces vemos que

el límite por la izquierda nos da 1 y

por la derecha nos da menos 1 dan

valores distintos por lo tanto el primer

límite no existe

porque es requisito para que un límite

exista que tanto por izquierda como por

derecha nos dé el mismo número real bien

vamos entonces con el siguiente límite

cuando x tiende a cero entonces vamos a

mirarlo acá

de igual forma lo analizamos cuando x

tiende a 0 por la izquierda y cuando x

tiende 0 por la derecha entonces veamos

si necesitamos a la izquierda de 0 como

por aquí entonces vamos a buscar la

gráfica

tenemos que subir hacemos contacto como

por aquí y encontramos que el valor en g

es un número muy próximo a 1

veamos cuando x tiende a 0 por la

derecha la misma situación nos paramos

aquí a la derecha del 0 nos movemos

verticalmente debemos subir hacer

contacto con la gráfica y vemos que

hacemos contacto en el eje yendo en un

valor muy próximo a 1 vemos que por la

izquierda y por la derecha los límites

valen lo mismo valen 1 por lo tanto este

límite existe y vale 1

bien vamos ahora con el límite de la

función cuando x tiende a 2 entonces

cuando x tiende a 2 por la izquierda

y el límite de la función

cuando x tiende a 2 por la derecha

veamos si nos aproximamos a dos por la

izquierda y vamos a buscar la función

tendríamos que bajar y vemos que la

tendencia de la gráfica es irse hacia

abajo indefinidamente aproximándose a

esta recta punteada que es lo que se

conoce como una asín total si en este

caso una asín total vertical una recta a

la cual la curva se va a aproximar cada

vez más pero sin haber contacto entonces

cuando existen grados por la izquierda

vemos que la función los valores de y

tienden cada vez más hacia abajo es

decir tiende hacia menos infinito y

cuando x tiene dos por la derecha qué es

lo que sucede como por acá vamos a

mostrar la gráfica de la función tenemos

que subir y vemos que la tendencia de la

gráfica es irse cada vez más hacia

arriba es decir hacia más infinito si

los valores de ella o de la función

tiende a las llamas infinita vemos que

no se ponen de acuerdo los límites por

izquierda una cosa por derecha la otra

entonces el límite tampoco existe

cuando x tiende a 2 ahora veamos qué

pasa cuando x tiende hacia menos

infinito

menos infinito queda hacia allá entonces

es escribir que le pasa a la función a

cuanto tienen los valores de y cuando x

toma valores negativos muy grandes es

decir hacia allá sí entonces vemos que

la tendencia de la gráfica la flecha

apunta hacia arriba es a ir subiendo

subiendo subiendo es decir que los

valores de ella tienen hacia más

infinito

y en este límite de la función cuando x

tiende hacia más infinito es decir hacia

la derecha es como predecir que le va a

suceder a la función cuando x tome a la

vez muy grandes positivos entonces aquí

en la gráfica vemos que la tendencia es

aproximarse al eje x cada vez más

entonces si nos imaginamos que seguimos

seguimos entonces vamos a ver los

valores de la función tienen cada vez

más a este valor cero entonces

tenemos que ese límite cero aquí es

cuando el eje x tiene comportamiento de

assín total horizontal porque la curva

se aproxima cada vez más sin hacer

contacto para terminar podríamos salir

darnos un poco del tema de los límites

podríamos ver cuando la función evaluada

en menos 2 evaluada en 0 y por ejemplo

evaluada en 2

entonces si nos paramos en -2 es decir

acá justamente -2 ya no aproximándonos

por la izquierda ni por derecha sino

justamente en la abscisa -2 entonces

debemos ir a buscar

la función es decir donde hacemos

contacto con la gráfica si subimos

pasamos derecho por este aro entonces

nos encontraríamos función pero si

bajamos hacemos contacto aquí si venimos

al eje y nos da menos 1 entonces la

función se encuentra definida en menos 2

y vale menos 1 si nos paramos en cero

entonces nos movemos verticalmente a

buscar la gráfica vemos que subimos y

pasamos derecho por este aro o sea que

la función no se encuentra definida en

cero efe de cero no existe o no se

encuentra definida y si nos paramos en

dos estaremos justamente en la cinta

donde la función tampoco se encuentra

definida por lo tanto df de 2 no existe

si no tenemos imagen para esta abscisa

que es

entonces este es un ejemplo de cálculo

de límites si nos dan la gráfica de una

función