LÍMITES A PARTIR DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Summary
TLDREn este ejercicio, se analiza la gráfica de una función para determinar sus límites cuando x tiende a diferentes valores. Se examinan los límites tanto por la izquierda como por la derecha para valores como x tiende a -2, x tiende a 0, x tiende a 2 y x tiende a infinitos. Se observan diferencias en los límites laterales y se discute la no existencia de límites en puntos específicos debido a desacuerdos en los valores laterales. Además, se menciona el comportamiento de la función en puntos donde no está definida y se explora la idea de asintotas tanto verticales como horizontales.
Takeaways
- 🔍 Se analiza un ejercicio de cálculo que presenta una gráfica de una función en rojo y pregunta por cinco límites de la función.
- 📐 Se debe considerar tanto el límite por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a un valor específico, como -2.
- 📉 Al analizar el límite cuando x tiende a -2, se observan valores distintos por la izquierda y por la derecha, lo que indica que el límite no existe.
- 🎯 Al examinar el límite cuando x tiende a 0, se encuentra que tanto por la izquierda como por la derecha el límite existe y es igual a 1.
- 🚫 Cuando se estudia el límite cuando x tiende a 2, se concluye que no existe debido a que los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales.
- ↗️ Al considerar el límite cuando x tiende a menos infinito, se nota que los valores de y tienden hacia más infinito.
- ↘️ Al analizar el límite cuando x tiende a más infinito, se observa que los valores de la función tienden a cero, lo que indica un comportamiento de asín total horizontal.
- 📌 Se menciona la importancia de evaluar la función en puntos específicos, como -2, 0 y 2, para determinar si la función está definida en esos puntos.
- 📏 Se destaca la diferencia entre analizar límites y evaluar la función en un punto específico, lo cual puede revelar si la función está definida o no en dicho punto.
- 📘 El ejemplo utilizado en el guion ilustra cómo se abordan los límites en el cálculo, utilizando una gráfica para visualizar el comportamiento de la función.
Q & A
¿Qué es lo primero que se debe hacer cuando se nos pide calcular el límite de una función cuando x tiende a un valor específico?
-Primero, se debe analizar el límite tanto por la izquierda como por la derecha del valor dado, a menos que se especifique lo contrario.
Si al analizar el límite por la izquierda y por la derecha de x tiende a -2, se obtienen resultados diferentes, ¿qué conclusión se puede sacar?
-Si los resultados son diferentes, entonces el límite no existe, ya que para que un límite exista, ambos límites (izquierda y derecha) deben coincidir en un mismo número real.
¿Cuál fue el resultado del límite por la izquierda y por la derecha cuando x tiende a -2 en la función descrita en el guion?
-El límite por la izquierda cuando x tiende a -2 es 1, y el límite por la derecha es -1, por lo que el límite no existe.
¿Qué significa que un límite exista y valga un número específico?
-Significa que tanto el límite por la izquierda como el por la derecha convergen al mismo valor real cuando x se acerca al punto de interrupción.
¿Cuál es el resultado del límite de la función cuando x tiende a 0, considerando tanto la izquierda como la derecha?
-El límite de la función cuando x tiende a 0, tanto por la izquierda como por la derecha, es 1.
¿Qué sucede con la función cuando x tiende a 2, y cómo se refleja esto en el límite por la izquierda y por la derecha?
-Cuando x tiende a 2, el límite por la izquierda tiende a menos infinito y el límite por la derecha tiende a más infinito, por lo que el límite no existe.
¿Cómo se determina si una función tiene un comportamiento de asíntota vertical cuando x tiende a un valor específico?
-Se determina observando si la gráfica se acerca cada vez más a un eje sin tocarlo, lo que indica que los valores de y tienden a infinito o a menos infinito.
¿Qué significa que los valores de y tienden hacia más infinito o menos infinito cuando x tiende a 2 por la derecha en la función descrita?
-Significa que la función crece sin límite hacia arriba o hacia abajo respectivamente, y no existe un límite finito en esos puntos.
¿Cuál es el comportamiento de la función cuando x tiende a menos infinito, según el guion?
-Cuando x tiende a menos infinito, los valores de y tienden hacia más infinito, lo que indica que la gráfica se eleva cada vez más hacia arriba.
¿Qué ocurre con la función cuando x tiende a más infinito, y cómo se interpreta esto en términos de asintótas horizontales?
-Cuando x tiende a más infinito, los valores de la función tienden a cero, lo que se interpreta como un comportamiento de asintótas horizontales, ya que la gráfica se aproxima cada vez más al eje x sin tocarlo.
¿Cómo se determina si una función está definida en un punto específico al evaluarla en ese punto?
-Se determina buscando el punto de intersección de la gráfica con el eje y en el valor de x dado; si hay intersección, la función está definida y se puede encontrar el valor correspondiente.
Outlines
📊 Análisis de Límites de Funciones
En este segmento, se discute cómo analizar los límites de una función dada a través de su gráfica. Se enfatiza la importancia de examinar tanto por la izquierda como por la derecha cuando x se acerca a un punto específico. Se explica que si los límites por la izquierda y por la derecha no coinciden, el límite no existe. Se presentan ejemplos específicos para los valores de x que tienden a -2, 0 y 2, y se describe cómo se comporta la función en estos puntos. Además, se explora el concepto de asintotas verticales y horizontales, y cómo estos afectan la existencia de los límites.
🔍 Evaluación de Funciones en Puntos Específicos
Este párrafo se centra en la evaluación de la función en puntos específicos, como -2, 0 y 2. Se describe cómo se determina si la función está definida en estos puntos al observar la gráfica y cómo se calcula el valor de la función en ellos. Se menciona que en algunos casos, como x=0 y x=2, la función no está definida debido a que la gráfica no intersecta el eje y en esos puntos. También se toca el tema de las asintotas y cómo la función se comporta cuando x tiende a valores muy grandes, tanto negativos como positivos.
Mindmap
Keywords
💡Límite
💡Derecha e Izquierda
💡Función
💡Gráfica
💡Infinito
💡Asín total
💡Eje Y
💡Eje X
💡Valores Distintos
💡Definido
Highlights
Análisis de límites de una función a partir de su gráfica en color rojo
Necesidad de analizar límites tanto por la izquierda como por la derecha
Determinación del límite cuando x tiende a -2, mostrando distintos valores por izquierda y derecha
El límite no existe cuando los resultados por izquierda y derecha son distintos
Análisis del límite cuando x tiende a 0, con valores consistentes por izquierda y derecha
Existe un límite cuando x tiende a 0, y su valor es 1
Observación de la gráfica para determinar el límite cuando x tiende a 2
Dos límites distintos cuando x tiende a 2, uno hacia -infinito por la izquierda y otro hacia +infinito por la derecha
El límite no existe cuando x tiende a 2 debido a la discrepancia entre límites por izquierda y derecha
Análisis del comportamiento de la función cuando x tiende a -infinito
Valores de y tienden a más infinito cuando x tiende a -infinito
Observación de la gráfica para determinar el límite cuando x tiende a +infinito
Valores de la función tienden a cero cuando x tiende a +infinito
Mencion de la existencia de un asíntotico horizontal en el límite de x tiende a +infinito
Evaluación de la función en puntos específicos como -2, 0 y 2
La función está definida en -2 y su valor es -1
La función no está definida en 0, lo que implica que df/dx en 0 no existe
La función no está definida en 2, lo que implica que df/dx en 2 no existe
Resumen de conceptos de límites en cálculo a partir de la observación de una gráfica
Transcripts
en este ejercicio nos dan la gráfica de
una función la que vemos en color rojo y
nos preguntan por estos cinco límites
pero vamos a empezar entonces con el
primero límite de la función cuando x
tiende a menos 2 entonces estamos en la
obligación de analizar lo tanto por
izquierda como por la derecha
de menos 2
sin que nos digan nada si el límite
viene presentado esta manera debemos
analizarlo por izquierda y por derecha
entonces veamos cuando x tiende a ver 2
por la izquierda nos situamos como por
aquí y vamos a buscar la gráfica de la
función nos movemos en forma vertical y
entonces debemos subir para encontrar la
gráfica hacemos contacto como por aquí
vamos al eje ye y encontramos un número
muy próximo a 1 entonces ese será el
resultado de ese límite
ahora cuando x tienda menos 2 por la
derecha entonces nos situamos aquí a la
derecha de menos 2 nos movemos
verticalmente en este caso debemos bajar
hacer contacto con la gráfica por aquí
vamos al eje y y encontramos que nos
aproximamos a menos 1 entonces vemos que
el límite por la izquierda nos da 1 y
por la derecha nos da menos 1 dan
valores distintos por lo tanto el primer
límite no existe
porque es requisito para que un límite
exista que tanto por izquierda como por
derecha nos dé el mismo número real bien
vamos entonces con el siguiente límite
cuando x tiende a cero entonces vamos a
mirarlo acá
de igual forma lo analizamos cuando x
tiende a 0 por la izquierda y cuando x
tiende 0 por la derecha entonces veamos
si necesitamos a la izquierda de 0 como
por aquí entonces vamos a buscar la
gráfica
tenemos que subir hacemos contacto como
por aquí y encontramos que el valor en g
es un número muy próximo a 1
veamos cuando x tiende a 0 por la
derecha la misma situación nos paramos
aquí a la derecha del 0 nos movemos
verticalmente debemos subir hacer
contacto con la gráfica y vemos que
hacemos contacto en el eje yendo en un
valor muy próximo a 1 vemos que por la
izquierda y por la derecha los límites
valen lo mismo valen 1 por lo tanto este
límite existe y vale 1
bien vamos ahora con el límite de la
función cuando x tiende a 2 entonces
cuando x tiende a 2 por la izquierda
y el límite de la función
cuando x tiende a 2 por la derecha
veamos si nos aproximamos a dos por la
izquierda y vamos a buscar la función
tendríamos que bajar y vemos que la
tendencia de la gráfica es irse hacia
abajo indefinidamente aproximándose a
esta recta punteada que es lo que se
conoce como una asín total si en este
caso una asín total vertical una recta a
la cual la curva se va a aproximar cada
vez más pero sin haber contacto entonces
cuando existen grados por la izquierda
vemos que la función los valores de y
tienden cada vez más hacia abajo es
decir tiende hacia menos infinito y
cuando x tiene dos por la derecha qué es
lo que sucede como por acá vamos a
mostrar la gráfica de la función tenemos
que subir y vemos que la tendencia de la
gráfica es irse cada vez más hacia
arriba es decir hacia más infinito si
los valores de ella o de la función
tiende a las llamas infinita vemos que
no se ponen de acuerdo los límites por
izquierda una cosa por derecha la otra
entonces el límite tampoco existe
cuando x tiende a 2 ahora veamos qué
pasa cuando x tiende hacia menos
infinito
menos infinito queda hacia allá entonces
es escribir que le pasa a la función a
cuanto tienen los valores de y cuando x
toma valores negativos muy grandes es
decir hacia allá sí entonces vemos que
la tendencia de la gráfica la flecha
apunta hacia arriba es a ir subiendo
subiendo subiendo es decir que los
valores de ella tienen hacia más
infinito
y en este límite de la función cuando x
tiende hacia más infinito es decir hacia
la derecha es como predecir que le va a
suceder a la función cuando x tome a la
vez muy grandes positivos entonces aquí
en la gráfica vemos que la tendencia es
aproximarse al eje x cada vez más
entonces si nos imaginamos que seguimos
seguimos entonces vamos a ver los
valores de la función tienen cada vez
más a este valor cero entonces
tenemos que ese límite cero aquí es
cuando el eje x tiene comportamiento de
assín total horizontal porque la curva
se aproxima cada vez más sin hacer
contacto para terminar podríamos salir
darnos un poco del tema de los límites
podríamos ver cuando la función evaluada
en menos 2 evaluada en 0 y por ejemplo
evaluada en 2
entonces si nos paramos en -2 es decir
acá justamente -2 ya no aproximándonos
por la izquierda ni por derecha sino
justamente en la abscisa -2 entonces
debemos ir a buscar
la función es decir donde hacemos
contacto con la gráfica si subimos
pasamos derecho por este aro entonces
nos encontraríamos función pero si
bajamos hacemos contacto aquí si venimos
al eje y nos da menos 1 entonces la
función se encuentra definida en menos 2
y vale menos 1 si nos paramos en cero
entonces nos movemos verticalmente a
buscar la gráfica vemos que subimos y
pasamos derecho por este aro o sea que
la función no se encuentra definida en
cero efe de cero no existe o no se
encuentra definida y si nos paramos en
dos estaremos justamente en la cinta
donde la función tampoco se encuentra
definida por lo tanto df de 2 no existe
si no tenemos imagen para esta abscisa
que es
entonces este es un ejemplo de cálculo
de límites si nos dan la gráfica de una
función
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