The Oldest Unsolved Problem in Math

Veritasium

7 Mar 202431:32

Summary

TLDR这个视频讲述了数学史上最古老的未解之谜——完美数。完美数是那些等于其所有正因数（除了自身）之和的数。视频探讨了完美数的历史，从古希腊时期到现代计算机的搜索，以及数学家们对这一领域的重要贡献。尽管已知的完美数非常少，且都是偶数，但数学家们仍在寻找可能存在的奇数完美数。视频还讨论了完美数的研究对现代密码学的影响，以及数学探索的价值。

Takeaways

📚 数学史上最古老的未解之谜之一是关于完美数的存在性，这个问题可以追溯到2000年前。
🔢 完美数是那些等于其所有真因数之和的数，例如6（1+2+3）和28（1+2+4+7+14）等。
💡 欧几里得发现了生成偶完美数的公式，即2^(p-1) * (2^p - 1)，当2^p - 1是质数时。
🔍 数学家们已经使用计算机检查了高达10^2200的数，但仍未找到任何新的完美数。
🤔 尽管欧几里得的方法可以生成偶完美数，但是否还有其他方式生成完美数，包括奇完美数，至今仍是个谜。
📈 完美数的发现与梅森质数（Mersenne Primes）紧密相关，梅森质数的指数形式为2^p - 1。
🚀 计算机和互联网的兴起极大地加速了梅森质数和完美数的发现过程。
🌐 GIMPS项目（Great Internet Mersenne Prime Search）通过分布式计算，让全球志愿者参与寻找梅森质数。
🏆 如果个人计算机发现了新的梅森质数，发现者将被列入发现者名单，并有机会获得奖金。
🔮 尽管目前已知的完美数都是偶数，但数学家们仍在探索奇完美数的可能性，尽管存在一些启发式论证表明它们可能不存在。
🌟 数论的研究可能在短期内没有实际应用，但长远来看，它可能对加密学等领域产生重大影响。

Q & A

什么是完美数？
-完美数是指一个数恰好等于它的所有正因数（除了它本身）之和。例如，6的因数有1、2和3，1+2+3=6，所以6是一个完美数。
目前已知的完美数有哪些特点？
-目前已知的完美数都是偶数，且每个下一个完美数比前一个大一位，且以6和8交替结尾。它们都可以表示为连续自然数的和，并且除了6以外，每个完美数都是连续奇数的立方和。
欧几里得是如何发现完美数的模式的？
-欧几里得发现了一个模式，即从1开始，不断翻倍并加1，如果得到一个质数，就将其乘以序列中的最后一个数，得到的乘积就是一个完美数。
梅森素数与完美数有什么关系？
-梅森素数是形如2^p - 1的质数，其中p也是一个质数。当梅森素数存在时，2^(p-1)(2^p - 1)就是一个完美数。
为什么寻找完美数如此困难？
-寻找完美数困难是因为梅森素数非常稀少，而且随着数字的增大，检查一个梅森数是否为质数所需的计算量急剧增加。
目前已知的最大完美数是多少？
-截至视频录制时，已知的最大完美数是2^77,232,917 - 1，它是一个超过2300万位的数。
是否存在奇数完美数？
-目前还没有发现奇数完美数，也没有证明它们不存在。这是一个未解决的数学问题。
为什么数学家对完美数问题如此感兴趣？
-完美数问题古老、简单且美丽，它激发了数学家的好奇心，并推动了数学理论的发展。
数学家如何使用计算机来寻找完美数？
-数学家使用计算机程序来检查大范围的梅森数是否为质数，从而发现新的完美数。
什么是Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)？
-GIMPS是一个分布式计算项目，它允许志愿者使用自己的计算机帮助寻找梅森素数。
数学家如何证明所有已知的偶数完美数都符合欧几里得的形式？
-欧拉通过发明σ函数（sigma function）并证明每个偶数完美数的σ函数都是其本身的两倍，从而证明了所有已知的偶数完美数都符合欧几里得的形式。