Teoremas básicos de límites matemáticos sobre funciones. Reglas y ejemplos. #QuédateEnCasa
Summary
TLDREste video educativo de 'Matemáticas Sencillas' aborda teoremas fundamentales sobre límites matemáticos, siguiendo su introducción al límite de funciones. Se explican ocho teoremas, incluyendo límites de funciones lineales, constantes, identidad, sumas/restas, productos, potencias, divisiones y raíces. Cada teorema se ilustra con ejemplos claros, facilitando la comprensión y el cálculo de límites. El presentador anima a la práctica y a la suscripción para más contenido matemático.
Takeaways
- 📘 El material aborda teoremas básicos de límites matemáticos, siguiendo una introducción previa al límite matemático de una función.
- 🔢 El primer teorema trata sobre el límite de una función lineal, que se evalúa sustituyendo el valor hacia donde tiende la variable en la función.
- ➡️ Un ejemplo práctico muestra cómo evaluar el límite de una función lineal, como 2x + 4 cuando x tiende a 3, resultando en 10.
- 🔰 El segundo teorema explica que el límite de una función constante es simplemente el valor de la constante cuando x tiende a un número dado.
- 🆔 El tercer teorema se refiere al límite de una función identidad, que es igual al valor hacia donde tiende la variable.
- 📈 El cuarto teorema permite calcular el límite de una suma o diferencia de funciones evaluando los límites de las funciones individualmente y luego sumándolos o restándolos.
- 🔄 El quinto teorema se refiere al límite del producto de funciones, que es el producto de los límites de las funciones cuando x tiende a un número dado.
- 🆙 El sexto teorema trata sobre el límite de una enésima potencia de una función, que es el límite de la función elevada a la potencia n.
- 🔽 El séptimo teorema explica el límite de una división de funciones, que es el cociente de los límites de las funciones individuales.
- 🏁 El octavo teorema se refiere al límite de una raíz enésima de una función, que es la raíz enésima del límite de la función, teniendo cuidado de que el límite sea positivo si la raíz es cuadrada o de un índice par.
Q & A
¿Qué trata el material sobre límites matemáticos?
-El material trata sobre teoremas básicos para resolver límites de funciones, específicamente en el contexto de un curso de cálculo diferencial.
¿Cuál es el contenido del primer teorema sobre límites que se menciona en el material?
-El primer teorema trata sobre el límite de una función lineal, y establece que si m y b son constantes, el límite de la función mx + b cuando x tiende a un número a, es igual a ma + b.
¿Cómo se evalúa el límite de una función lineal según el primer teorema?
-Para evaluar el límite de una función lineal, se sustituye el valor hacia donde tiende x en la función lineal.
¿Qué dice el segundo teorema sobre límites?
-El segundo teorema se refiere al límite de una función constante, y afirma que si c es una constante, el límite de c cuando x tiende a a es simplemente c.
¿Cómo se evalúa el límite de una función constante?
-El límite de una función constante se evalúa simplemente como el valor de la constante, ya que no hay una variable x a sustituir.
¿Qué es una función identidad y cómo se evalúa su límite según el tercer teorema?
-Una función identidad es una función f(x) = x, y su límite cuando x tiende a un número a es simplemente el valor de a, ya que se sustituye el valor hacia donde tiende x en la función.
¿Qué nos dice el cuarto teorema sobre límites y cómo se aplica?
-El cuarto teorema trata sobre el límite de una suma o diferencia de funciones, y establece que el límite de la suma o resta de funciones F y G cuando x tiende a a, es la suma o resta de los límites individuales evaluados por separado.
¿Cómo se evalúa el límite de una función elevada a una potencia según el sexto teorema?
-El sexto teorema nos dice que el límite de una función F(x) elevada a una potencia n cuando x tiende a a, es equivalente a evaluar el límite de F(x) antes de aplicarle la potencia n.
¿Qué nos indica el séptimo teorema sobre límites y cómo se evalúa el límite de una división de funciones?
-El séptimo teorema nos indica que el límite de una división de funciones F y G cuando x tiende a a, es igual a dividir los límites individuales evaluados por separado, siempre y cuando el límite de la función en el denominador no sea cero.
¿Qué nos enseña el octavo teorema sobre límites y cómo se evalúa el límite de una raíz enésima de una función?
-El octavo teorema nos enseña que el límite de una raíz enésima de una función F(x) cuando x tiende a a, es equivalente a evaluar el límite de F(x) antes de aplicarle la raíz, siempre que si la raíz es par, el límite evaluado sea mayor a cero para evitar raíces de números negativos que no den un resultado real.
Outlines
📘 Teoremas Básicos de Límites
Este párrafo introduce los teoremas fundamentales sobre límites matemáticos, enfocándose en los teoremas formales para resolver límites de funciones. Se explica el Teorema 1, que trata sobre el límite de una función lineal, y se ejemplifica cómo se calcula el límite de una función lineal dada cuando x tiende a un número específico. Se menciona que el proceso de evaluar límites implica sustituir el valor hacia donde tiende la variable en la función en cuestión.
📗 Límites de Funciones Constantes y Identidad
El párrafo 2 profundiza en el Teorema 2, que se refiere al límite de una función constante, y el Teorema 3, que trata sobre el límite de una función identidad. Se explica que el límite de una función constante es simplemente el valor de la constante cuando la variable tiende a un número dado. Para la función identidad, el límite es el valor de la variable misma cuando esta tiende a un número específico. Se proporcionan ejemplos sencillos para ilustrar cómo se aplican estos teoremas.
📙 Teoremas de Suma, Resta, Multiplicación y Potencia
Este segmento cubre el Teorema 4, que trata sobre el límite de una suma o diferencia de funciones, y el Teorema 5, que se refiere al límite del producto de funciones. Se describe cómo calcular el límite de una suma o resta de funciones evaluando los límites de cada función por separado y luego sumándolos o restándolos. Además, se explica que el límite de una función elevada a una potencia es igual a la evaluación del límite de la función antes de aplicar la potencia. Se proporcionan ejemplos para cada caso.
📕 Límites de División y Raíces
El último párrafo aborda el Teorema 7, que trata sobre el límite de una división de funciones, y el Teorema 8, que se refiere al límite de una raíz enésima de una función. Se explica que el límite de una división es el cociente de los límites de las funciones individuales, siempre y cuando el límite del denominador no sea cero. Para el límite de una raíz, se debe asegurar que el valor del límite sea positivo si la raíz es cuadrada o de un índice par, y se ejemplifica cómo se calcula el límite de una raíz cúbica. Se concluye con una breve reflexión sobre la importancia de estos teoremas en el cálculo diferencial y se anuncia que se profundizará en ejemplos prácticos en futuras publicaciones.
Mindmap
Keywords
💡Límite
💡Función lineal
💡Función constante
💡Función identidad
💡Suma de funciones
💡Producto de funciones
💡Poder o enésima potencia
💡Cociente de funciones
💡Raíz enésima
💡Indeterminación
Highlights
Se abordan teoremas básicos sobre límites matemáticos para resolver límites de funciones.
Teorema 1: Límite de una función lineal se evalúa sustituyendo el valor de x al límite.
Ejemplo: Límite de 2x + 4 cuando x tiende a 3 se calcula sustituyendo 3 en x.
Teorema 2: Límite de una función constante es el valor de la constante.
Ejemplo: Límite de 5 cuando x tiende a 2 es simplemente 5.
Teorema 3: Límite de una función identidad es el valor al que tiende x.
Ejemplo: Límite de x cuando x tiende a -3 es -3.
Teorema 4: Límite de una suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de los límites.
Ejemplo: Límite de x^2 + 3x cuando x tiende a 2 se calcula evaluando los límites por separado.
Teorema 5: Límite del producto de funciones es el producto de los límites.
Ejemplo: Límite de 4x^3 cuando x tiende a 3 se calcula multiplicando los límites.
Teorema 6: Límite de una enésima potencia de una función es el límite elevado a la potencia.
Ejemplo: Límite de (3x)^2 cuando x tiende a 4 se calcula evaluando el límite y luego aplicando la potencia.
Teorema 7: Límite del cociente de funciones es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero.
Ejemplo: Límite de (x + 2) / (3x) cuando x tiende a 1 se calcula dividiendo los límites.
Teorema 8: Límite de una raíz enésima de una función es la raíz enésima del límite.
Ejemplo: Límite de la raíz cúbica de x cuando x tiende a -8 se calcula sustituyendo y luego aplicando la raíz cúbica.
Se menciona que no hay raíces cuadradas de números negativos que den un resultado real, pero sí para índices impares.
Se invita a la audiencia a suscribirse al canal y se felicita por alcanzar los 2000 suscriptores.
Transcripts
Hola matemáticas sencillas aquí en este
material Vamos a abordar teoremas
básicos sobre límites
matemáticos como podrán recordar con
anterioridad he publicado un material
que titul introducción al límite
matemático de una función y básicamente
pudimos analizar un panorama de este
tema tan particular de un curso de
cálculo diferencial Así que en este
material Vamos a abordar los teoremas
formales para poder resolver límites de
funciones Así que vamos a iniciar con el
teorema número uno que trata sobre el
límite de una función lineal y nos dice
de la siguiente manera si m y b son dos
constantes cualesquiera Entonces el
límite de una función lineal expresada
como MX + B cuando x tiende al número a
es igual a ma + B Es decir que hacia
donde tiende la variable x que es su
valor en a se sustituye en la x presente
en la función lineal Así que vamos a ver
un ejemplo para que nos quede un poco
más
claro y nos dice si nos piden evaluar el
siguiente límite que es el límite de la
función do 2x + 4 cuando x tienda a 3
Entonces tenemos lo siguiente Observa
que aquí tenemos la notación de Límite
nuevamente y simple y sencillamente en
donde se encuentra la variable x vamos a
sustituir el valor hacia donde tiende x
que en este caso es 3 por consiguiente
nos queda 2 que multiplica 3 6 + 4 = 10
el límite como ya habíamos visto previa
mente en el video anterior simple y
sencillamente se traduce en sustituir el
valor hacia donde tiende x no es el
valor exacto de X sino al el valor hacia
donde tiende en la x presente en la
función que en este caso es una función
lineal Así que ahí está nuestro primer
límite evaluado
atendiendo el teorema número uno de
límites
el teorema número dos trata sobre el
límite de una función constante y dice
así sea c una constante cualesquiera
Entonces el límite de esa función que es
en este caso c cuando x tiende a a
simple y sencillamente es c Así que
atendiendo el teorema número uno si
nosotros vamos a sustituir en las x que
estén en la función
vamos a sustituir lo que hacia donde
tiende x que en este caso es a Pues en
una función constante no tenemos una
variable por eso es que se llama función
constante Por consiguiente el resultado
de ese límite simple y sencillamente es
el valor de dicha función constante Así
que atendiendo un muy sencillo ejemplo
si nos piden evaluar el siguiente límite
el límite de 5 cuando x tiende a 2 su
resultado simple y Sencillamente es 5
Observa que no hay ninguna x aquí para
que podamos sustituir el valor de 2 Así
que su resultado simple y sencillamente
es 5 tal como lo indica este
teorema el teorema número 3 habla sobre
el límite de una función identidad y
recordando que una función identidad es
una función FX = x porque cuando x vale
1 y vale 1 cuando x vale 2 y vale 2
cuando x vale 3 y vale 3 etcétera por
eso es que se llama función identidad
tenemos lo siguiente el límite de x
cuando x tiende a a simple y
sencillamente es el valor de a ya que
sustituimos hacia donde tiende X en la
misma función Así que viéndolo desde la
perspectiva de un ejemplo dice de la
siguiente manera si nos piden evaluar el
siguiente Límite el límite de x cuando x
tiende a -3 que no hay ningún problema
que sea un número negativo puede ser
cualquier número real Entonces tenemos
que el resultado de dicho límite simple
y sencillamente es sustituir este -3
aquí y el resultado claramente es -3
Observa que cuando sustituimos ya no
ponemos la nomenclatura de Límite con
estas letras de Límite Así que ahí está
es esa evaluación de Límite muy sencillo
atendiendo el teorema
3 el teorema 4 trata sobre el límite de
una suma o diferencia de funciones Así
que vamos a establecer lo siguiente sea
O sea supongamos que tenemos el límite
de una función F dex cuando x tiende a a
y que su resultado de dicho límite como
ya hemos visto anteriormente es un valor
que en este caso le vamos a llamar L y
supongamos que tenemos otra función que
en este caso sería G dex y x tiende al
mismo número a a sí del primer límite
Observa que esto es muy importante es
una condición muy importante que la x
tienda al mismo número a y el resultado
del segundo límite es m entonces podemos
establecer claramente lo siguiente el
límite de la sumatoria O la esta de F y
G cuando x tiende al mismo número es tan
sencillo como sumar o restar los valores
de los límites evaluados por separado
Así que vamos a ver un breve ejemplo
para que veas cómo es que se comporta
este teorema si nos piden evaluar el
siguiente límite Observa que aquí
tenemos una función x cu + 3x que
claramente es la representación de una
suma de funciones en donde entiéndase
que la primera función FX es x cu y la
segunda es GX
3x podemos decir lo
siguiente podemos
básicamente analizar el límite de estas
funciones por separado como está aquí
indicado abajo el límite de X cuadrado
cuando x tiende a 2 más el límite de 3x
cuando x tiende a 2 eso significa que
evaluamos los límites por separado este
límite Ya vimos que es sustituir el dos
aquí Así que nos va a dar cu y este
límite es sustituir también el dos aquí
en esta x 3 * 2 nos da 6 Así que evaluar
este límite inicial original nos va a
dar simple y sencillamente la suma de el
resultado de los límites evaluados por
separado que en este caso es 10 y tal
cual eh podría parecer que se puede
resolver este Límite así nos lo permite
este teorema es muy importante todos
estos teoremas recordar que establecen
las reglas mediante las cuales podemos
hacer el análisis de los límites de una
manera
algebraica el teorema 5 trata sobre el
límite del producto de funciones es
decir cuando las funciones están
multiplicando Ya vimos cuando están
sumando y restando así que aquí
atendemos a un producto Así que Inicia
con misas condiciones supongamos que
tenemos el límite de F dex cuando x
tiende a es ig a L y el límite de una
función GX cuando x tiende a a sea igual
a m entonces podemos generalizar que el
límite de la multiplicación de las dos
funciones involucradas en los límites
anteriores cuando x tiende a a Es simple
y sencillamente equivalente a
multiplicar los result dados de sus
límites evaluados individualmente Así
que vamos a ver nuevamente un ejemplo y
tenemos que si nos pidieran evaluar el
siguiente límite un límite muy
sencillito que sería el límite de 4x cu
cuando x tienda a 3 Observa que este
término 4x cu bien lo podemos expresar o
interpretar como una multiplicación de
función en donde la primera función es 4
la función F y la segunda función es x
cu cuadrado Así que podemos expresarlo
de la siguiente manera atendiendo a este
teorema el límite de 4 cuando x tienda a
3 por el límite de X cu cuando x tienda
a 3 el resultado es el primer límite es
el límite de una función constante Ya
vimos que es 4 y el segundo límite es
simple y sencillamente sustituir este 3
en la variable x y nos da como resultado
9 finalmente 9 * 4 nos da 36 así que
aquí está la aplicación de este teorema
Cuando tenemos la multiplicación o
producto de funciones que como podemos
observar tranquilamente este teorema nos
dice que es lo mismo aplicar el límite a
cada una de las funciones o sustituir
directamente el tres en la función
original este teorema nos dice que ambos
maneras son correctas de llevarlas a
cabo el teorema número 6 nos habla sobre
el límite de una enésima potencia y dice
de la siguiente manera sea el límite de
una función F dex cuando x tiende a = a
L y n cualquier número entero positivo
el límite de una función F dex elevada a
la n que n bien puede ser al cuadrado al
cubo a la cu etcétera es equivalente
a l que es el límite evaluado antes de
tener la potencia elevado a la misma
potencia Así que vamos a ver un ejemplo
para ver que no es nada del otro mundo y
es igual de sencillo que los teoremas
anteriores si nos piden evaluar el
límite 3x elevado cuadrado cuando x
tienda a 4 Entonces tenemos lo siguiente
Observa que aquí simple Sencillamente eh
podemos evaluar el límite de 3x cuando x
tienda a 4 sí imagina que aquí ignoramos
este do que sería la enésima potencia y
nos enfocamos a evaluar el límite de 3x
cuando x tienda a 4 claramente podemos
darnos cuenta que es 12 y hasta el final
gracias a este teorema es que podemos
volver a poner nuevamente nuestra
potencia n que sería aquí al cuadrado y
el resultado es 100
144 todo este procedimiento avalado por
el teorema número 6 y obviamente podemos
también concluir que es lo mismo que
desde un principio hubiera sustituido el
4 en la variable x y el resultado va a
seguir siendo
144 el teorema número 7 nos habla sobre
si ya vimos suma si ya vimos la resta Ya
vimos también el producto multiplicación
pues definitivamente nos falta también
el límite del cociente es decir división
de funciones y obviamente si hablamos de
un cociente tenemos que involucrar dos
funciones Así que nuevamente tenemos que
el límite de F dex cuando x tiende a a
es igual a L y sea límite de una función
GX cuando x tiende a a = a m entonces
involucrar la división de ambas
funciones F y G es Sencillamente dividir
los valores de los límites evaluados
individualmente Observa que aquí Tenemos
también l que es el resultado del primer
límite dividido entre m que es el
resultado del segundo límite atendiendo
claramente aquí que el valor de m el
resultado del segundo límite de la
función G no puede ser cer0 por qué no
puede ser cero porque ya sabemos ya
estamos acostumbrados a conocer que en
las matemáticas se desea evitar esa
famosa división entre cero que nos
otorgaría una indeterminación así que
aquí es muy importante cuidar que el
límite de esta función GX no sea igual a
0 ya que si no generaría una
indeterminación así que aplicándolo en
un ejemplo tenemos lo
siguiente si nos dan que evaluemos el
límite de Esta división que es x + 2
Entre 3x cuando x tienda a 1 Observa que
podemos expresarlo de la siguiente
manera podemos aplicar el límite en la
parte de arriba y también en la función
de abajo Así que nos quedaría el límite
de x + 2 cuando x tiende a 1 y el límite
del denominador sería el límite de 3x
cuando x tienda a 1 evaluamos el límite
superior nos da como resultado 3 Observa
que el 1 lo sustituimos aquí en el x 1 +
2 da 3 y también casualmente resulta que
abajo el hecho de sustituir hacia donde
tiende la X en la x me da también 3 * 1
3 Así que el resultado de este límite
simple y sencillamente es
1 finalmente tenemos el teorema número
ocho que trata sobre el límite de una
raíz enésima de una función y dice de la
siguiente manera se el límite F dex
cuando x tiende a a = a L y n cualquier
número entero positivo podemos
generalizar lo siguiente el límite de la
función F dex su raíz enésima cuando x
tiende a a es equivalente a evaluar el
límite antes de aplicarle la raíz
Observa que aquí está la L y al final le
aplicas la raíz
n en el caso de que tu n sí eh sea par
como por ejemplo una un un n = 2 sera
una raíz cuadrada o n = 4 una raíz
cuarta entonces debes de cuidar que el
valor del límite sea mayor a cer0 por
qué Porque si aquí tuviéramos un número
negativo y aquí tenemos una raíz
cuadrada sabemos que no hay raíces
cuadradas de números negativos que nos
den como resultado un número real por
qué
pues sabemos que de acuerdo a la base de
la leyes de los signos pues para que de
un positivo ambos signos deben de ser
iguales entonces aquí es muy importante
que si tu n es par entonces la l
definitivamente debe de ser mayor a cero
Así que vamos a verlo de una manera más
clara en un ejemplo supongamos que nos
piden evaluar el siguiente límite
Observa el límite de la raíz cúbica de X
cuando esa x tiende a
-8 Así que
eh evaluando este límite y atendiendo
ese teorema número 8o tendríamos lo
siguiente Observa que simple y
sencillamente podemos sustituir aquí el
límite de x cuando x tiende a -8 y nos
va a quedar -8 y sobre ese resultado que
representa la l aplicamos la raíz que
está en el en el El problema del límite
original que sería raíz cúbica y aquí
definitivamente el hecho de tener una
raíz cúbica de un número negativo Sí hay
un resultado Real ese resultado es -2 ya
que -2 * -2 * -2 nos da -8 y de hecho
este ejemplo eh nos permite abrir un
breve paréntesis para recordar que es
muy común escuchar esa frase de que no
no hay raíces de números negativos en
realidad si lo hay lo que realmente no
hay es raíces Sí con este con este
índice del radical par de números
negativos Pero si ese índice es impar
Entonces si hay raíces de números
negativos tal como lo muestra Este
ejemplo Así que esto cierra esta este
pequeño ciclo de ocho teoremas
que se aplican Al momento de evaluar
límites de funciones matemáticas Así que
lo que ahora seguiría es ponerlos en
práctica es decir analizar diversos
ejemplos comunes frecuentes que se
presentan Eh Pues de una manera muy
común en un curso de cálculo diferencial
en donde es necesario aplicar estas
reglas para poder evaluar límites
matemáticos sin embargo eso definitiva
nuevamente es material de otro video que
publicaré muy probablemente en los
próximos días Así que espero que este
material haya sido de provecho de
interés para ti te invito a que te
suscribas al nuestro canal de
matemáticas sencillas que por cierto he
recibido la gran noticia de que hemos
alcanzado los 2000 suscriptores Gracias
a ustedes por qué Porque definitivamente
este canal está producido exclusivamente
para ustedes Así que felicidades a
ustedes mismos 2000 suscriptores Creo yo
que vamos por un muy buen camino y
definitivamente el esfuerzo seguirá
siendo una constante de este tu canal de
matemáticas sencillas
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