Introducción al límite de una función. Límites matemáticos de funciones, ejercicios y ejemplos.

Summary

El script de este video ofrece una introducción detallada al concepto de límites en matemáticas, un tema fundamental en cursos de cálculo diferencial. Se discuten las representaciones de funciones, incluyendo notación matemática, tablas de datos y gráficas en planos cartesianos. Se explora cómo los límites se calculan tanto para funciones continuas como discontinuas, destacando la importancia de la indeterminación y cómo se resuelve. Además, se introducen los límites unilaterales y se ejemplifica su análisis en funciones por trazos, mostrando cómo estos límites pueden revelar la existencia o no de un límite bilateral. Finalmente, se menciona la conexión entre el cálculo de límites y la derivada de una función, destacando la relevancia de los límites en el estudio de la derivada en el álgebra. El video es una herramienta valiosa para aquellos que buscan una comprensión sólida de los límites y su aplicación en el análisis matemático.

Takeaways

• 📚 La notación matemática de una función implica la relación entre dos variables, comúnmente x e y.
• 📈 Las funciones se representan algebraicamente, numéricamente a través de una tabla de datos y gráficamente en un plano cartesiano.
• 🔢 El límite de una función es un concepto fundamental en el cálculo diferencial que describe el comportamiento de la función cerca de un punto sin necesariamente alcanzarlo.
• 🎯 El análisis de límites puede realizarse de manera gráfica, analítica y numérica, cada una complementando la comprensión del concepto.
• ➡️ Al aproximarse valores a un número determinado (por ejemplo, x tiende a 1), se considera un comportamiento hacia el infinito en un sector de los números reales.
• 🚫 Una función discontinua tiene puntos donde no está definida, y el análisis de límites es crucial para entender su comportamiento en dichos puntos.
• 🔄 La indeterminación en un límite, como 0/0, puede resolverse mediante técnicas algebraicas, como el factorizado para encontrar el valor real del límite.
• 📉 En funciones continuas, el límite a menudo coincide con el valor que la función toma en el punto de evaluación.
• 📌 El cálculo de límites es esencial para la derivada de una función, proporcionando una base para su interpretación geométrica.
• 👉 Los límites unilaterales (tendiendo a un valor por la izquierda o derecha) son importantes para funciones discontinuas y para determinar si un límite bilateral existe.
• 🔗 Los límites unilaterales y bilaterales son herramientas clave en el estudio de funciones por trazos y en la comprensión de la existencia de límites en puntos específicos.

Q & A

¿Qué es el límite de una función y cómo es representativo en un curso de cálculo diferencial?

El límite de una función es un concepto fundamental en el cálculo diferencial que describe el comportamiento de una función cuando el valor de la variable independiente se acerca a un punto específico. Se utiliza para entender la tendencia de los valores de la función y es esencial para la definición de la derivada y la integral.

¿Cuál es la notación matemática común utilizada para representar una función?

La notación matemática común para una función suele incluir dos variables, la variable dependiente (generalmente 'y') y la variable independiente (generalmente 'x'). La función se representa como 'y = f(x)', donde 'f' indica la función.

¿Cómo se puede representar una función de manera numérica?

Una función se puede representar de manera numérica a través de una tabla de datos o tabulación de variables, donde en una columna se colocan los valores de la variable 'x' y en otra columna los valores correspondientes de la variable 'y', obtenidos al sustituir 'x' en la expresión algebraica de la función.

¿Por qué se dice que la variable 'y' es la variable dependiente en una función?

La variable 'y' se conoce como la variable dependiente porque su valor depende claramente del valor que tome la variable 'x', también llamada variable independiente. Esto significa que el valor de 'y' cambia en función de los cambios en 'x'.

¿Cómo se interpreta el concepto de límite en el contexto de una gráfica de función?

En el contexto de una gráfica de función, el límite se refiere a la tendencia de los valores de 'y' a medida que 'x' se acerca a un punto específico sin llegar necesariamente a ese punto. Esto se puede observar en la gráfica a través de flechas que indican la dirección de tendencia de los valores de 'y'.

¿Cómo se evalúa algebraicamente el límite de una función cuando 'x' tiende a un número específico?

Para evaluar algebraicamente el límite de una función, se sustituye el valor hacia donde tiende 'x' en la expresión algebraica de la función. Si el resultado es una indeterminación (como 0/0), se utiliza factorización o teoremas algebraicos para simplificar y encontrar el límite.

¿Qué es un límite unilateral y cómo se representa simbólicamente?

Un límite unilateral es aquel que se evalúa solo desde un lado (por la izquierda o por la derecha) hacia un punto específico. Se representa simbólicamente como 'x tiende a a', con un símbolo de flecha hacia la izquierda (x→a₋) para el límite por la izquierda y hacia la derecha (x→a₊) para el límite por la derecha.

¿Cómo se relacionan los límites unilaterales con la existencia de un límite bilateral?

Un límite bilateral existe si y solo si los límites unilaterales por la izquierda y por la derecha existen y son iguales. Si los límites unilaterales son diferentes, entonces el límite bilateral no existe.

¿Qué son las funciones por trazos y cómo se aplican los límites unilaterales en su análisis?

Las funciones por trazos son aquellas que están definidas de manera diferente en varios intervalos del eje 'x'. Los límites unilaterales son importantes en el análisis de estas funciones, ya que permiten determinar si la función tiende a un valor específico al acercarse a un punto por un intervalo determinado.

¿Cómo se relaciona el cálculo de límites con la derivada de una función?

El cálculo de límites es fundamental para definir la derivada de una función, ya que la derivada en un punto es el límite de la razón de los cambios cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero.

¿Por qué es importante el análisis de límites en un curso de cálculo diferencial?

El análisis de límites es crucial en un curso de cálculo diferencial porque proporciona las herramientas necesarias para entender conceptos como la derivada y la integral, que son pilares del cálculo diferencial y del análisis matemático en general.

Outlines

00:00

😀 Introducción a los límites de una función

Este párrafo introduce el tema de los límites en una función, destacando su importancia en cursos de cálculo diferencial. Se menciona la notación matemática de una función, la relación entre variables y la representación gráfica y numérica de una función. Además, se explora la idea de acercarse a un valor sin alcanzarlo, utilizando el número 1 como ejemplo, y se describe cómo los límites se calculan tanto de manera algebraica como gráfica.

05:03

📈 Análisis del límite en una función continua

En este párrafo se profundiza en el análisis de los límites en el contexto de funciones continuas, como x al cubo menos 6x al cuadrado más 8x. Se explica cómo sustituir el valor al cual tiende en la función permite evaluar el límite de manera simple. También se presentan ejemplos de cómo el análisis gráfico y numérico puede confirmar los resultados algebraicos, y se menciona la importancia de entender los límites para el cálculo diferencial.

10:05

🚫 Límites en funciones discontinuas

Este segmento se enfoca en las funciones discontinuas, donde el análisis de los límites es especialmente relevante. Se proporciona un ejemplo de una función que no está definida en un punto específico (x=1) y cómo el límite se calcula a pesar de la indeterminación. Se discuten técnicas algebraicas para resolver límites indeterminados, como el factorizado y se destaca la importancia de los límites en la definición de funciones discontinuas.

15:06

🔢 Análisis numérico de límites

El párrafo explora el análisis numérico de límites a través de la tabulación de datos, mostrando cómo los valores tienden a un límite específico al acercarse a un punto de interese. Se ilustra con ejemplos cómo los valores sucesivos de y se acercan al límite al modificar x de manera adecuada. Además, se compara y contrasta con el análisis algebraico y gráfico para ofrecer una comprensión más completa del concepto.

20:10

🔄 Límites unilaterales y su importancia

Este apartado introduce los límites unilaterales, que son utilizados cuando se analiza el comportamiento de una función solo por un lado de un punto de discontinuidad. Se describen los símbolos y la nomenclatura asociada a estos límites y se proporciona un ejemplo de una función por trazos para demostrar cómo se calculan los límites unilaterales. Se destaca la importancia de estos límites para determinar la existencia de un límite bilateral.

25:10

🔄 Conexión entre límites y derivadas

El último párrafo establece la relación entre el cálculo de límites y la derivada de una función, que es un tema fundamental en el curso de cálculo diferencial. Se menciona que el análisis de límites es crucial para entender la interpretación geométrica de la derivada y se alude a la profundidad que se dará a estos temas en un curso de cálculo diferencial. Finalmente, se invita al espectador a suscribirse al canal y a dar like si el material resultó útil.

Keywords

💡Límite de una función

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial que describe el comportamiento de una función cuando el valor de su variable independiente se acerca a un cierto punto. En el video, se utiliza para introducir la idea de cómo una función se comporta cerca de un punto específico, y es crucial para entender conceptos más avanzados como la derivada. Por ejemplo, el script explora el límite de la función x al cuadrado más 1 cuando x se acerca a 1, mostrando que tiende al valor de 2.

💡Variable dependiente

Una variable dependiente, representada generalmente por 'y', es aquella cuya salida o valor depende de la variable independiente, a menudo denotada como 'x'. En el video, se destaca que el valor de 'y' cambia en función de los valores que tome 'x', subrayando así la relación entre ambas variables en una función matemática.

💡Variable independiente

La variable independiente, comúnmente representada por 'x', es la que puede tomar valores libres mientras la variable dependiente reacciona a estos cambios. En el contexto del video, 'x' es el eje en el que se explora el acercamiento a un punto para encontrar el límite de una función.

💡Representación gráfica

La representación gráfica de una función es la visualización en un plano cartesiano de los puntos correspondientes a cada par ordenado (x, y). El video utiliza la gráfica para ilustrar cómo los valores de una función se comportan al acercarse a un límite, proporcionando una herramienta visual para comprender conceptos abstractos.

💡Representación numérica

La representación numérica, o tabulación de datos, es una forma de describir una función mediante una tabla que lista valores de 'x' junto con sus correspondientes valores de 'y'. En el video, se menciona como una alternativa a la representación algebraica y gráfica, ofreciendo una manera de explorar el comportamiento de una función a través de ejemplos concretos.

💡Continuidad de una función

La continuidad de una función se refiere a que la función está definida en un punto y en un entorno del mismo, y su gráfico no tiene saltos ni interrupciones. En el video, se contrasta con la discontinuidad para destacar la importancia del límite en funciones que no son continuas en ciertos puntos.

💡Derivada

La derivada de una función es un concepto del cálculo que representa la tasa en que una función cambia con respecto a su variable independiente. El video sugiere que el cálculo de límites es esencial para entender la derivada, ya que la derivada se define como el límite del cociente del cambio en y y el cambio en x cuando estos cambios tienden a cero.

💡Límites unilaterales

Los límites unilaterales son aquellos que consideran el acercamiento a un punto desde un solo lado, ya sea por la izquierda o por la derecha. En el video, se explica que la existencia de límites bilaterales (ambos lados) requiere que los límites unilaterales existan y sean iguales, lo cual es crucial para determinar la existencia de un límite en un punto de discontinuidad.

💡Funciones por trazos

Las funciones por trazos son aquellas que se definen de manera diferente en diferentes intervalos del eje x. El video utiliza este concepto para demostrar cómo los límites unilaterales se aplican y son importantes para entender el comportamiento de estas funciones en puntos específicos.

💡Indeterminación

Una indeterminación ocurre cuando una expresión matemática no tiene un valor definido, como 0/0. En el video, se discute cómo las indeterminaciones en el análisis de límites pueden ser resueltas algebraicamente, y es un paso previo para encontrar límites válidos.

💡Factorización

La factorización es un método algebraico que se utiliza para simplificar expresiones matemáticas y, en el contexto de límites, para eliminar indeterminaciones como 0/0. El video muestra cómo la factorización puede revelar un límite que de otro modo sería indeterminado.

Highlights

Presentación del material sobre el límite de una función, un tema central en cálculo diferencial.

Importancia de entender conceptos básicos de una función antes de abordar el tema de los límites.

La función está representada por dos variables principales: y y x, y su expresión algebraica.

Representación numérica de funciones a través de una tabla de datos.

La variable dependiente (y) varía en función de la variable independiente (x).

Representación gráfica de funciones en un plano cartesiano a partir de pares ordenados (x, y).

Explicación del concepto de límite de una función a través de un acercamiento en un solo eje.

La indagación de cuál es el número más cercano a 1 sin llegar a ser 1 como introducción al concepto de límite.

Representación de un número muy cercano a 1 utilizando la notación 0.9 con un infinito de 9s.

La cantidad infinita de valores que se aproximan a 1 sin llegar a ser uno en los números reales.

Análisis del comportamiento del límite en la gráfica de la función x al cuadrado más 1.

El límite de la función x al cuadrado más 1 cuando x tiende a 1 es 2, tanto analítica como gráficamente.

Evaluar límites algebraicamente involucra sustituir el valor al cual tiende x en la función.

Ejemplos de evaluación de límites para funciones continuas y discontinuas.

La indeterminación 0/0 al analizar límites y la importancia de factorizar para resolverla.

Análisis numérico de límites utilizando tabulaciones de datos para observar tendencias.

Introducción a los límites unilaterales y su importancia en el estudio de funciones.

Ejemplo de funciones por trazos y cómo se aplican los límites unilaterales en tales funciones.

La relación entre el cálculo de límites y la derivada de una función en el contexto del cálculo diferencial.

El análisis de límites es una unidad de aprendizaje fundamental en un curso de cálculo diferencial.

Transcripts

o las matemáticas sencillas aquí en esta

ocasión a petición de algunos de ustedes

presentó el material titulado el límite

de una función que es un tema muy

representativo de un curso de cálculo

diferencial así que espero que este

material te ayude como una introducción

a dicho concepto

siempre que hablamos del límite de una

función definitivamente hay una palabra

clave en dicha frase y me refiero a la

palabra función así que es muy

importante tener en cuenta que no deben

haber dudas sobre conceptos básicos

relacionados a una función y es que

siempre que hablamos de una función pues

ya debemos saber que existe una notación

matemática para dicha función en donde

sabemos que siempre debe estar

involucrada al menos dos variables

siendo las más comunes la variable y y

la variable x y también aparte de su

expresión algebraica también sabemos que

las funciones se pueden representar de

manera numérica que es cuando

establecemos nuestra famosa tabla de

datos o la tabulación de las variables

en donde claramente en una columna está

la variable x y en otra columna está la

variable y como llenamos los datos pues

le da

es un valor a x que en este caso cuando

x vale 1 conocer el valor de y significa

sustituir el valor de x en nuestra

función y aquí en este caso sería 1 al

cuadrado 1 más 1 nos da igual a 2 cuando

x vale 2 el valor de 5 ya que

sustituimos 2 aquí 2 al cuadrado más uno

es igual a 5 de igual manera cuando x

vale 3 ya vale 10 y así podemos seguir

dando sucesivamente nuevos valores a x y

podemos conocer el valor de y es por eso

que a la variable james se le conoce

como la variable dependiente ya que su

valor depende claramente de lo que vale

la variable x también llamada variable

independiente y cabe recordar que ya que

hablamos de funciones así como podemos

expresarla de esta manera algebraica de

una manera numérica ya que tenemos esta

tabla si con suficientes pares ordenados

valor en xy un valor en que podemos

trasladarlo a un plano cartesiano y se

genera lo que se conoce como la famosa

gráfica de la función en donde aquí

claramente tenemos el eje y y tenemos el

eje x y localizamos cada uno de estos

puntos y nos da precisamente esta

gráfica de la función en donde siempre

está involucrado al menos dos variables

que en este caso es la variable x y la

variable y pues bien para explicar el

concepto del límite de una función me

gustaría que nos enfocáramos solo como

una manera de introducción en un solo

eje en el eje

es decir por algunos momentos nos vamos

a olvidar del eje y y vamos solamente a

enfocarnos sobre esta recta numérica así

que voy a hacer un acercamiento

solamente a esta zona y vamos a tener lo

siguiente

esto va a ser una introducción al

concepto del límite tomando en cuenta

solamente una variable así que fíjate en

esta cuestión

imagina que te pido que me proporciones

cuál es el número más cercano al 1 sin

llegar a hacer 1 es decir dime cuál es

el número más cercano a 1 sin cero

entonces si una persona me contestará de

una manera sencilla habría algunas

personas que me dirían a pues el número

más cercano al 1 sin ser 1 si en este

caso puede ser el 0 si es que yo no le

digo a la persona que no solamente se

pueden tomar números enteros el 0 es un

número entero sino que yo puedo decirle

también complementariamente a esa

persona sabes que puedes también tomar

valores decimales entonces alguna

persona podría decirme bueno sabes que

el punto 9 es un valor cercano al 1 pero

también otra persona podría llegar y me

podría decir sabes que el punto 99 es

aún más cercano y otra diría el punto

999 es aún más cercano y así podríamos

incrementar la cantidad de nueves y

tendríamos realmente un valor muy

cercano al 1 sin llegar al 1 y sabemos

que cuando vamos a poner una cantidad

indeterminada infinita de 9 lo podemos

expresar de esta manera como 0.9 con

esta rayita aquí encima del 9 significa

que ponemos todos los nueves que se

puedan poner y no tenemos en realidad un

valor muy particular sino

una representación de ese número y bueno

así como esta persona realmente me está

dando valores cercanos al 1 si pues me

está dando valores cercanos al 1 menores

a 1 pero también me puede proporcionar

valores cercanos al 1 que sean mayores

al 1 como por ejemplo el 2 si es que

solamente tomamos números enteros o me

puede dar el 1.1 el 1.0 11.00 11.00 1 y

podemos agregar una cantidad

indeterminada de ceros aquí en esta

posición así como aquí agregaríamos una

cantidad indeterminada de 9 es el punto

es como te podrás dar cuenta

un valor en particular cercano al 1

resulta ser algo irónicamente complicado

de establecer así que existe una

simbología mejor para esta situación en

donde podríamos decir que lo que nos

interesan son valores de x que tienden

que es lo que representa esta flecha que

tiende al 1 sin llegar a ser el 1 tal

como lo indica este símbolo de

prohibición así que para iniciar estamos

ahorita solamente estableciendo estas

condiciones tomando en cuenta un eje el

eje de las x observa muy particularmente

que aquí nos estamos refiriendo a una

cantidad infinita de valores si que se

aproximan al 1 sin llegar a ser uno y

puede resultar un tanto extraño de

entender porque cuando uno piensa en

cantidades infinitas pues

generalmente uno piensa en un millón dos

millones tres millones es tender hacia

el infinito pero en realidad no ocupas

salirte muy allá de esta pequeña zona

pequeña entre comillas entre los números

del 0 al 2 para darte cuenta que

realmente en esta sección hay una

cantidad infinita de valores que

conforman precisamente un sector de los

famosos números reales

y ahora qué sucede cuando en vez de

manejar un solo eje involucramos el eje

que también es decir hablamos de una

función como previamente lo vimos en

donde vamos a tomar como referencia la

función x al cuadrado más 1 en donde

aquí tenemos su representación numérica

y tenemos su representación gráfica

vamos a tomar esta función como

referencia para explicar cómo es que

podemos trasladar el comportamiento

explicado anteriormente ahora

involucrando dos ejes

vamos a enfocarnos solamente en esta

sección de la gráfica en donde están

nuevamente involucrados los valores

desde el 0 hasta el 2 cuando hablamos

del límite de una función existe una

nomenclatura muy particular que es la

siguiente se escribe el límite de una

función ya que estás involucrando dos

variables por consiguiente es una

función cuando x tiende a un número que

ese número le vamos a llamar el número a

es igual a un valor expresado con la

letra l mayúscula que es el valor de

dicho límite así que en este caso

estamos hablando de la función que ya

previamente mostramos que es x al

cuadrado más 1 y podemos evaluar el

límite de esta función cuando x tiende a

1 y qué significa esto bueno significa

que cuando yo me aproximó al 1 en el eje

x

como ya vimos anteriormente voy a hacer

ese mismo recorrido pero sobre la

gráfica de la función que es cómo está

representado a través de estas flechas y

lo que realmente me interesa es ver ese

recorrido en x cuando x tiende a 1 hacia

donde tiende este recorrido sobre la

gráfica de la función pero no en su

valor del eje x sino en su valor del eje

y en donde aquí claramente podemos ver

que cuando x se aproxima a 1 sin llegar

a ser 1 estos valores

sobre la gráfica de la función se

aproximan al punto 1,2 en donde lo que

nos interesa es el valor en que es decir

el valor de 2 por consiguiente el límite

de esta función

es el valor de 2 y claro evaluar un

límite así como te lo acabo de mostrar

es muy sencillo si es que tenemos la

representación gráfica de dicha función

sin embargo también existe una manera

algebraica analítica de analizar los

límites que como te podrás dar cuenta es

tan sencillo como sustituir hacia donde

tiende x en la función donde estás

evaluando el límite por eso aquí en vez

de tener x sustituyó el 1 y me queda 1

elevado al cuadrado más uno es igual a 2

que coincide con nuestro análisis en la

representación gráfica de esta función

ahora

realmente cuando analizamos el límite de

una función continua es decir una

función que no tiene discontinuidades en

todo su dominio como por ejemplo la

función x al cubo menos 6 x al cuadrado

más 8 x que la función a la cual le

corresponde esta gráfica evaluar un

límite es tan sencillo como lo acabo de

mencionar anteriormente así que si yo

evalúo el límite de esta función cuando

x tiende a 0 es tan sencillo como

sustituir el cero en toda la función y

nos podremos dar cuenta que realmente el

límite es 0 y aquí lo puedo observar

cuando yo tiendo a cero en el valor de x

pueden observar que el recorrido de la

gráfica también tiende a su valor en 0

tomando en cuenta el eje i

otro ejemplo es evaluar el límite de la

función cuando x tiende a 1 sustituyó el

1 en toda la función y el resultado es 3

puedo comprobarlo en esta zona también

que cuando yo tiendo a 1 por la derecha

y por la izquierda hacer el recorrido

sobre la gráfica de la función me da

este punto este punto que está aquí mi

cursor en donde su valor en que es 3 por

consiguiente el límite evalúa 23 veamos

un ejemplo más cuando yo evalúo el

límite de la función cuando x tiende a 3

sustituyó el 3 en la función original y

me va a dar como resultado el menos 3 y

si analizamos aquí esta zona cuando yo

tiendo al 3 por la izquierda y por la

derecha el recorrido sobre la gráfica de

dicha función tiende hacia este punto en

donde su valor claramente en qué es

-3 ese es el valor del límite la famosa

letra l mayúscula que representa el

límite de una función que en este caso

es una función continua

y qué sucede con el límite de una

función que es discontinua es decir una

función que tiene ciertos valores de x

que no son aceptados o que son

prohibidos en dicha función veamos un

ejemplo supongamos que tenemos la

función 2x al cuadrado menos 2x dividido

entre x menos 1 y tenemos aquí

claramente su representación gráfica

podemos observar que en esta función hay

un valor que es prohibido podría decirse

que es el valor de x igual a 1 porque

porque aquí si sustituimos el 1 nos

quedaría en el denominador uno menos 1

es igual a 0 y sabemos que todo número

dividido entre 0 incluyendo el mismo

cero produce una en determinación y una

indeterminación es algo que en las

matemáticas definitivamente queremos

evitar así que esta entra en la

categoría de una función discontinua

es aquí en donde la definición de un

límite toma mayor relevancia y

definitivamente brilla así que vamos a

ver lo siguiente supongamos que así como

en una función continua yo pretendo

resolver esta función discontinua

resolviendo un límite y me quedaría de

la siguiente manera el límite de la

función que está aquí cuando x tiende a

1 te comenté previamente que es tan

sencillo como sustituir el 1 sin embargo

el hecho de sustituir el 1 a mí lo que

me permite es darme cuenta de que me

queda un 0 sobre 0 como ya te mencioné

es una indeterminación así que más de

una persona podría pensar

equivocadamente que este límite no

existe o inclusive pensar

equivocadamente que el resultado es

infinito porque muchas personas

relacionan que una determinación es

infinita y eso es algo incorrecto

a decir verdad de acuerdo aquí a la

gráfica te puedes dar cuenta

que conforme yo me acerco a uno por la

derecha o por la izquierda de uno me

puedo dar cuenta claramente que si hago

este recorrido sobre la gráfica de la

función realmente tiendo al valor de

todos en ye y ese es el resultado de

evaluar el límite de esta función porque

no importa que en uno realmente la

función no esté definida ya que en

ningún momento yo voy a llegar a 1 me

voy a aproximar a valores cercanos a 1 y

puedo ver que realmente esos valores

tienden a 2 pero cómo es que surge este

valor de 2 al hacer un análisis del

límite de manera algebraica pues existen

teoremas que nos permiten llevar a cabo

ese análisis correctamente vamos a ver

un breve ejemplo en este caso si como ya

vimos aquí el resultado del límite es 2

lo que se recomienda hacer es siempre

buscar la manera de

anular este elemento que está

ocasionando que se dé la indeterminación

que es el x1 y la primera opción que hay

que siempre revisar es ver si es posible

factorizar en los otros términos

presentes que en este caso son los

términos del numerador así que en este

caso sí puedo factorizar y pueden darse

cuenta que 2 x al cuadrado menos 2 x

claramente se puede expresar como 2x por

x menos 1 lo que va a suceder es que

estos términos x menos 1 se van a anular

y me va a quedar la función como 2x que

al momento de evaluar esta función

cuando x tiende a 1

ahí es donde puedo comprobar que

realmente 2 y lo avala el mismo análisis

de este límite pero de manera gráfica

así que ese es un ejemplo de cómo se

puede evaluar un límite ya sea de una

manera algebraica analítica y de una

manera gráfica pero así como vimos con

anterioridad las funciones pues tienen

tres maneras de representarse

también es la numérica así que en este

caso también podemos analizar

numéricamente este límite y qué es lo

que implica analizarlo

bueno pues si tienes tu tabulación de

esta función que es cómo se presenta

aquí observa que proporcionamos datos

cercanos al 1 que es hacia donde tiende

la equis entonces tenemos datos menores

a 1 y mayores a 1 y también datos

correspondientes a la variable

dependiente y observa que cuando

exactamente x vale 1 ya vimos que hay

una indeterminación sin embargo conforme

los valores de x se acercan a 1 tú te

puedes dar cuenta que los valores de iu

tienden a 2 este sería el valor de 2 si

que tiende de aquí de 1.92 hasta 1.98 o

conforme yo le diera valores más

cercanos al 1 definitivamente la

tendencia es 2 y también aquí tenemos al

2 por valores mayores al 2

de esta manera podemos concluir que

realmente evaluar un límite puede ser

llevado a cabo de tres maneras tanto la

algebraica analítica como la gráfica así

como la numérica cuál es mejor pues

definitivamente las tres se complementan

entre sí así que si entiendes este

análisis de una manera sencilla

definitivamente estás en una buena

posición para evaluar límites de

funciones

adicional a lo anterior también existe

lo que se conoce como límites

unilaterales y van muy de la mano de los

límites que ya vimos que se llaman

límites bilaterales así que vamos a

tomar nuevamente como referencia si el

análisis que hicimos al inicio de este

material en donde tomamos en cuenta

solamente el eje x y como recordarán

pues aquí lo que se preguntaba era qué

valores tú conoces más cercanos al 1 sin

llegar a ser el 1 y algunas personas te

podrían haber dado valores menores al 1

y algunas otras personas te podrían

haber dado valores cercanos al 1 mayores

al 1 pues bien hemos analizado los

límites hasta este momento tomando en

cuenta tanto entender al 1 por la

derecha como tender al 1 por la

izquierda pero sabes también existe un

análisis de solamente a un lado y eso es

lo que se conoce como los límites

unilaterales es decir analizar

donde tienden estos valores cuando yo

solamente estoy tendiendo al uno por la

izquierda que se representaría de la

siguiente manera cuando x tiende a 1 por

la izquierda se pone aquí este símbolo

de menos como un exponente del número al

cual tiende x que en este caso es 1 y si

yo quiero hacer el análisis solamente de

los números que tienden a 1 por la

derecha es decir números mayores a él

pues su simbología es x tiende a 1 por

la derecha que se representa con este

símbolo positivo aquí como un exponente

del número 1

el análisis de los límites unilaterales

se veía más a profundidad en un tema más

a detalle sobre los límites de una

función pero voy a ponerte un ejemplo

para que te quede un poco más claro cómo

es que se aplican estos límites

unilaterales

así que vamos a ver lo que se conoce

como funciones por trazos y las

funciones por trazos no son otra cosa

más que lo siguiente funciones que están

definidas de maneras diferentes en

diversos sectores de el eje x así que

vamos aquí a tener como ejemplo la

siguiente función la función fx que está

definida como una función lineal x + 3

para todos los valores de x menores a

menos 1 es decir de menos 1 para atrás

tenemos una función claramente lineal

aquí como esta y observa que no llegamos

al menos 1 sin son valores menores al

menos 1 por eso quita este círculo sin

rellenar que indica que ahí no está

considerado el menos 1 el menos 1 se

considera en la otra porción de la

gráfica que es todos los valores de x

mayores a menos 1 o igual a menos 1 aquí

lo indica claramente y se define por una

función cuadrada por eso aquí tenemos

una parábola que

inicia de -1 en adelante a esta función

se le conoce como una función por trazos

y ahí es donde se aplican de una manera

muy importante

los famosos límites unilaterales

observad el siguiente ejemplo supongamos

que nos piden evaluar el límite de esta

función cuando x tiende a menos 1 por la

izquierda es decir por los números

menores a menos 1 por esta zona por aquí

donde dice esta flecha hacemos el

recorrido sobre la gráfica de la función

y nos podemos dar cuenta que tendemos al

valor de 2 y por eso este límite

unilateral su resultado es 2 si

evaluamos el otro límite unilateral que

es el límite de la función cuando x

tienda menos 1 pero por la derecha aquí

tenemos a menos 1 por la derecha como lo

indica esta flecha podemos hacer el

recorrido sobre la gráfica de la función

y podemos darnos cuenta que tendemos al

valor

1en y por eso este límite unilateral es

1 y no está de más

anticipar de que cuando se evalúan los

límites unilaterales podemos deducir si

un límite de un límite bilateral existe

no existe ya que existe un teorema que

nos dice que una condición para que un

límite bilateral exista es que sus

límites unilaterales existen y sean

iguales como aquí en este caso esos

límites son diferentes

se dice que el límite bilateral es decir

tender a menos uno por la derecha y por

la izquierda

definitivamente no existe gracias a este

análisis de límites unilaterales

y finalmente para concluir con este

material voy a hablar muy brevemente

sobre qué relación tiene el cálculo de

los límites que ya vimos y la derivada

de una función pues bien resolver

límites de una manera como le hemos

visto como los límites que están aquí

pues definitivamente debe de involucrar

la aplicación de ciertos teoremas y esos

teoremas se ven con mayor detalle y

profundidad en un curso de cálculo

diferencial la idea es que este análisis

visto si se utiliza tiene un rol

protagónico al momento de ver un tema

como la interpretación geométrica sobre

la derivada de una función existe un

paso al momento de ver la derivada de

una función en donde se aplica de una

manera muy importante sí

el límite de una función y por eso es

que en un curso de cálculo diferencial

el análisis de un tema de límites de una

función conlleva básicamente toda una

unidad de aprendizaje así que a instant

espero que este material te haya dado

una sensación más clara de que lo que

esperarías ver en un curso sobre límites

de una función y pues espero que te haya

ayudado a clarificar ciertas dudas o

ciertos detalles que en su momento se

podrían haber presentado

no me quiero despida de despedir sin

antes

decirte que me gustaría mucho que te

suscribieran a mi canal para recibir

nuevos vídeos de matemáticas sencillas

me agradaría mucho también que si este

material ha sido de tu agrado pues me lo

indicará dándole un like y por qué no

espero verte muy pronto para que juntos

podamos analizar otro caso de

matemáticas sencillas