¿Cómo analizo la Vibración Libre? Dinámica Estructural
Summary
TLDREl script del video de 'Estructura Tech 21' se enfoca en la dinámica estructural, específicamente en la vibración libre de sistemas de un grado de libertad. Se definen propiedades dinámicas clave como la frecuencia y el periodo natural de vibración. Se analiza la ecuación de movimiento para la vibración libre no amortiguado, obteniendo la solución diferencial y utilizando las relaciones de Euler para reescribirla en términos trigonométricos. Se discuten las condiciones iniciales y cómo determinan las constantes en la solución, y se ilustra la relación entre el periodo y la frecuencia natural de vibración, con ejemplos prácticos como el del Golden Gate Bridge.
Takeaways
- 📚 El video es parte del canal 'Estructura Tech 21', dedicado al aprendizaje de la ingeniería estructural.
- 🎥 Se presenta el segundo video de la sección 'Dinámica Estructural', enfocado en la vibración libre de sistemas estructurales.
- 🔍 Se definen propiedades dinámicas importantes como la frecuencia natural y el periodo fundamental de vibración de un sistema.
- 📉 Se analiza la ecuación de movimiento inherente a la vibración libre, considerando la ausencia de excitación externa y amortiguamiento.
- 🔧 Se describe el proceso para obtener soluciones a la ecuación diferencial de vibración libre no amortiguado, a partir de condiciones iniciales.
- 📈 Se calculan las derivadas de la función solución para sustituir en la ecuación diferencial y encontrar la ecuación característica.
- 🌀 Se discuten las soluciones de la ecuación característica, que involucran el uso de números imaginarios y la frecuencia natural de vibración.
- 📐 Se relaciona la frecuencia natural de vibración con los parámetros de rigidez y masa del sistema.
- 📊 Se utiliza la función solución para explicar los conceptos de frecuencia y periodo natural de vibración, y cómo se determinan a partir de las condiciones iniciales.
- 📈 Se describe el uso de las relaciones de Euler para transformar la solución en términos de funciones trigonométricas.
- 📉 Se grafica la solución de la ecuación diferencial para visualizar el movimiento oscilatorio del sistema y su relación con el periodo natural.
- 🌉 Se menciona el Golden Gate como ejemplo práctico, destacando su periodo natural de vibración en diferentes direcciones.
- 👋 El video concluye con un agradecimiento y una invitación a seguir explorando la dinámica estructural en futuras publicaciones.
Q & A
¿Qué es lo que se discute en el segundo video de la sección dinámica estructural de 'Estructura Tech 21'?
-El segundo video de la sección dinámica estructural de 'Estructura Tech 21' se enfoca en la vibración libre y se utiliza como pretexto para definir algunas de las propiedades dinámicas más importantes de los sistemas estructurales, como la frecuencia natural de vibración y el periodo fundamental de vibración de un sistema.
¿Qué es la vibración libre y cómo se da?
-La vibración libre se da cuando un sistema estructural es perturbado de una posición de equilibrio estática y se deja vibrar sin ninguna excitación externa. Es decir, se aplica un desplazamiento inicial y se 'solta' el sistema para que comience a vibrar.
¿Qué es la ecuación de movimiento inherente a un sistema de un grado de libertad y cómo se llega a ella?
-La ecuación de movimiento inherente a un sistema de un grado de libertad es la ecuación que describe el comportamiento dinámico del sistema. Se llega a ella mediante el análisis de la segunda ley de Newton, que relaciona las fuerzas con la masa, la aceleración y la rigidez del sistema.
¿Qué sucede si no existe amortiguamiento en el sistema durante la vibración libre?
-Si no existe amortiguamiento en el sistema durante la vibración libre, el sistema teóricamente vibrará indefinidamente, sin decaimiento en el desplazamiento, manteniendo su movimiento oscilatorio continuo.
¿Cómo se define la frecuencia natural de vibración y qué variables influye?
-La frecuencia natural de vibración se define como la frecuencia con la que un sistema vibra en ausencia de amortiguamiento y fuerzas externas. Depende de dos variables principales: la rigidez lateral del sistema y la masa del sistema.
¿Cómo se relaciona la frecuencia natural de vibración con el periodo fundamental de vibración de un sistema?
-La frecuencia natural de vibración está relacionada con el periodo fundamental de vibración a través de la relación de que el periodo es igual a 2π dividido por la frecuencia natural. Esto significa que la frecuencia es el inverso del periodo.
¿Qué es la ecuación característica y cómo se utiliza en el análisis de vibración libre no amortiguado?
-La ecuación característica es una ecuación que se obtiene al igualar a cero el término de la izquierda de la ecuación diferencial de movimiento, después de sustituir la función solución en forma exponencial. Se utiliza para encontrar los valores de lambda, que son claves para determinar la forma de la solución de la ecuación diferencial.
¿Cómo se pueden determinar las constantes 'a' y 'b' en la solución de la ecuación diferencial de vibración libre no amortiguado?
-Las constantes 'a' y 'b' se determinan a partir de las condiciones iniciales del sistema, como el desplazamiento y la velocidad en el tiempo cero. Al sustituir estos valores en la solución de la ecuación diferencial, se pueden calcular las constantes.
¿Qué son las relaciones de Euler y cómo se utilizan para reescribir la solución de la ecuación diferencial de vibración libre no amortiguado?
-Las relaciones de Euler son una forma de reescribir términos exponenciales en términos de funciones trigonométricas, como el coseno y el seno. Se utilizan para transformar la solución de la ecuación diferencial en una forma más reconocible y físicamente interpretable, relacionando los términos exponenciales con oscilaciones sinusoidales.
¿Cómo se relaciona el periodo natural de vibración con la rigidez y la masa del sistema?
-El periodo natural de vibración es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la relación entre la masa y la rigidez del sistema. Esto significa que un aumento en la rigidez o una disminución en la masa resulta en un periodo natural más corto, y viceversa.
¿Cuál es el periodo natural de vibración del Golden Gate Bridge en la dirección longitudinal y transversal?
-El periodo natural de vibración del Golden Gate Bridge es de 3.81 segundos en la dirección longitudinal y de aproximadamente 18 segundos en la dirección transversal.
Outlines
📚 Introducción a la Vibración Libre en Ingeniería Estructural
El primer párrafo presenta la segunda lección de la serie sobre dinámica estructural en el canal 'Estructura Tech 21'. El tema principal es la vibración libre y se define como un fenómeno que ocurre cuando un sistema estructural es perturbado y se deja vibrar sin excitación externa. Se menciona que se analizará la ecuación de movimiento inherente a un sistema de un grado de libertad, destacando la importancia de las propiedades dinámicas como la frecuencia natural y el periodo fundamental de vibración. Se invita al espectador a seguir el canal y se enfatiza la importancia de comprender la vibración libre para avanzar en el estudio de la dinámica estructural.
🔍 Análisis de la Ecuación de Movimiento para Vibración Libre
En el segundo párrafo se aborda el análisis de la ecuación de movimiento para un sistema de un grado de libertad, enfocándose en la vibración libre no amortiguado. Se describe el proceso de obtener la ecuación diferencial a partir de la segunda ley de Newton y se señala que para la vibración libre, la fuerza externa es nula. Se introduce la ecuación característica y se explica cómo se obtienen las soluciones a la ecuación diferencial, que involucran exponentes y constantes que aún deben ser determinadas a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad en el tiempo cero.
📉 Concepto de Frecuencia Natural y Período de Vibración
El tercer párrafo profundiza en el concepto de frecuencia natural de vibración y cómo se relaciona con la raíz cuadrada de la rigidez sobre la masa. Se discute la importancia de estas magnitudes para entender la dinámica de un sistema de un grado de libertad. Además, se utiliza la función solución de la ecuación diferencial para reemplazar los términos exponenciales por funciones trigonométricas, utilizando las relaciones de Euler, lo que permite una representación más intuitiva de la vibración en términos de seno y coseno.
📈 Determinación de Constantes y Condiciones Iniciales
El cuarto párrafo se centra en la determinación de las constantes 'a' e 'b' a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad en el tiempo cero. Se describe el proceso de derivación de la función solución para obtener la velocidad y cómo se evalúan estas condiciones iniciales para encontrar los valores de 'a' y 'b'. Se resalta la importancia de estas constantes para completar la solución de la ecuación diferencial de vibración libre no amortiguado.
🌉 Ejemplo de Aplicación: Período Natural de Vibración del Golden Gate
El quinto párrafo presenta un ejemplo práctico del Golden Gate Bridge para ilustrar la aplicación de los conceptos aprendidos. Se menciona el período natural de vibración tanto en la dirección longitudinal como transversal del puente, mostrando cómo estos valores son importantes en la ingeniería de estructuras. Además, se enfatiza la relación inversa entre la frecuencia y el periodo de vibración y cómo estas magnitudes dependen de la rigidez y la masa del sistema.
👋 Despedida y Agradecimientos
En el último párrafo, el presentador agradece la atención y espera que el contenido haya sido útil y comprensible para el espectador. Se invita a dar 'like' y a suscribirse al canal para recibir más contenido sobre la área de la ingeniería estructural. Se comparte un mensaje de cuidado y se desean un caluroso y afectuoso abrazo a la audiencia, con la promesa de volver en un próximo video.
Mindmap
Keywords
💡Ingeniería Estructural
💡Vibración Libre
💡Frecuencia Natural
💡Período Fundamental
💡Ecuación de Movimiento
💡Amortiguamiento
💡Sistema de un Grado de Libertad
💡Ecuación Diferencial
💡Condiciones Iniciales
💡Relaciones de Euler
Highlights
Bienvenida a la sección de dinámica estructural, donde se discute la vibración libre y sus propiedades dinámicas importantes.
La vibración libre se da cuando un sistema estructural es perturbado y se deja vibrar sin excitación externa.
Se define la ecuación de movimiento inherente a la vibración libre y se analiza su solución para sistemas de un grado de libertad.
La ecuación diferencial para la vibración libre no amortiguado se obtiene anulando la excitación externa y el coeficiente de amortiguamiento.
La solución de la ecuación diferencial describe el movimiento de un sistema de un grado de libertad bajo condiciones iniciales.
Las soluciones a la ecuación diferencial tienen una forma exponencial y se derivan para encontrar la aceleración y el desplazamiento.
La ecuación característica se utiliza para encontrar las raíces que determinan la frecuencia natural de vibración.
La frecuencia natural de vibración depende de la rigidez y la masa del sistema, lo que es crucial para el diseño estructural.
Las relaciones de Euler permiten reescribir la solución en términos de funciones trigonométricas, facilitando la interpretación física.
Las constantes en la solución general se determinan a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad.
La solución final de la ecuación diferencial describe el movimiento oscilatorio del sistema y su dinámica a lo largo del tiempo.
El gráfico de la solución muestra un ciclo completo de movimiento, ilustrando la dinámica del sistema de un grado de libertad.
El periodo natural de vibración es el tiempo que le toma a un sistema completar un ciclo de desplazamiento.
La relación entre el periodo natural y la frecuencia natural de vibración se establece como inversa, lo que afecta el diseño estructural.
Ejemplo práctico: el Golden Gate Bridge tiene un periodo natural de vibración de 3.81 segundos en su dirección longitudinal.
La comprensión de la vibración libre es fundamental antes de analizar la excitación forzada y sus efectos en estructuras.
Transcripts
hola que tal bienvenidos sean todos a
nuestro canal estructura tech 21 un
canal dedicado al aprendizaje de la
ingeniería estructural el día de hoy
estoy muy muy contento de estar
compartiendo el segundo vídeo de nuestra
sección dinámica estructural en el que
vamos a platicar acerca de la vibración
libre y va a ser precisamente el
pretexto para definir algunas de las
propiedades dinámicas más importantes de
los sistemas estructurales como son la
frecuencia natural de vibrar el periodo
fundamental de vibración de un sistema
así que vamos a comenzar precisamente
con el análisis de la ecuación de
movimiento inherente precisamente a uno
de los primeros fenómenos con los que
estudiamos la dinámica estructural que
es precisamente la vibración libre
pues muy bien espero les guste este
contenido ya lo saben apoyen con un like
y apoyen por supuesto suscribiéndose al
canal para poder llegar a más y más
personas interesadas en esta maravillosa
área pues muy bien comencemos pues
entonces a analizar la vibración libre
en un sistema de un grado de libertad
recordando que por definición lo
platicábamos en el vídeo inicial de esta
sección
la vibración libre se da precisamente
cuando el sistema estructural es
perturbado de una posición de equilibrio
estática y se deja vibrar pues sin
ninguna exitación externa ya sea una
fuerza de cualquier tipo alguna
excitación en la en la base
prácticamente nosotros aplicamos un
desplazamiento inicial ahí lo ven en el
gráfico como uh en el tiempo cero y
soltamos el sistema lo que va a ocurrir
y lo habíamos analizado en el vídeo
previo si no existe un amortiguamiento
en el sistema desde el punto de vista
teórico pues este sistema de un grado de
libertad va a vibrar como lo tienen como
lo ven precisamente en la imagen en el
tiempo de manera indefinida y el
decaimiento en teoría de este
desplazamiento pues será nulo continuará
vibrando y esto es justamente lo que
conocemos como vibración libre ya lo
habíamos adelantado y lo habíamos
platicado en el vídeo introductorio y
ahora lo que vamos a hacer es platicar
acerca de cómo obtener las soluciones
precisamente a la ecuación de movimiento
con una particularidad por supuesto aquí
ven la ecuación de movimiento a la que
llegamos en el primer vídeo a partir de
el análisis con la segunda ley de newton
llegamos a esta expresión y habíamos
comentado en el vídeo previo que esta
ecuación de movimiento tiene
precisamente involucrados elementos que
tienen que ver con la masa con el
coeficiente de amortiguamiento y con la
rigidez acá vemos en el lado derecho de
la ecuación de movimiento que dijimos en
el vídeo previo la fuerza externa en el
caso de la vibración libre hay una
particularidad que es que precisamente
lo decíamos hace un momento esa fuerza o
esa excitación externa pues es nula y
entonces lo que estamos haciendo a lo
que estamos llegando a partir de la
ecuación de movimiento es a anular la
excitación externa de ahí qué pdte
en la función sea igual a cero esta
ecuación que observan acá es
precisamente la ecuación diferencial
para el sistema cuando hablamos de
vibración libre viscosa mente
amortiguada justamente queda activo el
término intermedio que asocia la
velocidad con el coeficiente de
amortiguamiento equivalente que pasa si
nosotros anulamos el término de el
amortiguamiento llegamos precisamente a
la definición que vamos a trabajar el
día de hoy en este vídeo que es la
vibración libre no amortiguado si se dan
cuenta
la ecuación diferencial cuando se hace
nula la excitación externa se convierte
si nosotros anulamos o decimos que no
existe amortiguamiento un coeficiente de
amortiguamiento y llegamos precisamente
una expresión que sólo tiene dos
términos la masa por la aceleración más
la rigidez por el desplazamiento y esto
es igual a cero ésta es justamente la
ecuación diferencial que vamos a
analizar el día de hoy en este material
y aprender y conocer precisamente la
solución de este sistema que por cierto
es el más simple esta ecuación y de ahí
vamos a aprovechar como una excusa la
solución para explicar los términos de
frecuencia y periodo natural de vibrar
de un sistema estructural acompáñenme
pues a la solución de esta ecuación
diferencial de vibración libre no
amortiguado por supuesto en los
siguientes vídeos analizaremos la
vibración libre viscosa mente
amortiguada y luego solucionaremos la
ecuación de movimiento general con
algunos tipos de excitación es fuerzas
externas por lo pronto abramos paso pues
a la vibración libre no amortiguado lo
habíamos dicho hace un momento
la vibración libre comienza precisamente
cuando nosotros alteramos el sistema
estructural o rompemos la condición de
equilibrio estático impartiendo por
supuesto un desplazamiento y una
velocidad inicial en el tiempo cero
estas variables precisamente de
desplazamiento inicial
y velocidad inicial están representadas
acá a manera de condición inicial
justamente en el tiempo cero en el que
nosotros perturbamos esa condición de
equilibrio y comenzamos precisamente la
dinámica del sistema si nosotros
solucionamos o comenzamos a solucionar
la ecuación diferencial que ven acá que
es justamente la de la vibración libre
no amortiguada llegaremos precisamente a
una ecuación solución o una función
solución que nos describirá precisamente
la dinámica o el movimiento que sigue
este sistema de un grado de libertad con
o a partir de estas condiciones
iniciales recordando sus cursos de
ecuaciones diferenciales podrán hacer
memoria de que cuando tenemos una
ecuación diferencial lineal homogénea y
con coeficientes constantes como la que
planteamos en vibración libre no
amortiguada la función solución siempre
tiene una forma de una función
exponencial como la que vemos acá en
este caso
la función solución y va a ser igual a
el elevado a la lambda por t a partir de
esta forma de la función solución
podemos comenzar con nuestro análisis el
siguiente paso una vez que tenemos
nuestra función solución al menos en
forma calculamos la primera y la segunda
derivada de la función solución si
nosotros derivamos recuerden que si
nosotros derivamos esta función o al ser
un exponencial pues la derivada nos va a
dar lambda por el elevado a la lambda t
si nosotros calculamos de nueva cuenta
la derivada de esta función nueva vamos
a obtener precisamente el término lambda
al cuadrado por el elevado a lambda t
una vez que nosotros tenemos las dos
derivadas de la función solución que
estamos planteando vamos precisamente a
sustituir en la ecuación diferencial
precisamente la segunda derivada que ya
lo saben es la aceleración y vamos a
sustituir
el término de el desplazamiento en la
forma de la función solución en la
ecuación diferencial
justamente llegaremos al término que
observan ahí si nosotros agrupamos
precisamente llegamos o podemos llegar a
esta simplificación de la función o de
la ecuación diferencial muy bien está
este término precisamente es lo que se
conoce como ecuación característica y
nosotros sabemos estamos igualando el
término de la izquierda entre paréntesis
multiplica al término exponencial y eso
es igual a cero nosotros sabemos que una
función exponencial pues nunca puede ser
cero
y de ahí es que entonces precisamente el
término de la izquierda que se encuentra
entre paréntesis debe entonces de ser
igual a 0 esta ecuación se conoce como
ecuación característica si nosotros
obtenemos las raíces de esta ecuación
pues podemos despejar el valor de lambda
elevado al cuadrado y nos vamos a dar
cuenta que vamos a obtener un término de
menos k sobre m si nosotros quisiéramos
obtener precisamente los valores de
lambda
nos encontraríamos con que si nosotros
despejamos vamos a tener que las raíces
o los valores de lambda 1 y lambda 2
pues van a ser iguales a el término
digamos positivo y el término negativo
para la raíz de menos que sobre m esto
lo podemos también expresar como un
número imaginario recuerden que si
nosotros sacamos el término a raíz de
menos 1 y lo multiplicamos precisamente
por la raíz de que sobre m entonces
podemos la raíz sobre la raíz de menos 1
recuerden es el número y la solución de
estos de estas raíces van a ser iguales
a + menos y por la raíz de que sobre m
es interesante mencionar que de aquí
nace una de las primeras definiciones
importantísimas que se analizan
frecuentemente en vibración libre que es
precisamente el concepto de frecuencia d
frecuencia natural de vibrar justamente
el término raíz de que sobre m es lo que
conocemos como frecuencia natural de
vibrar y que suele representarse con
esta variable que observan acá es
importantísimo hacer notar desde acá
vamos a retomarlo en la parte final de
nuestro vídeo que justamente la
frecuencia natural de vibrar de un
sistema de un grado de libertad depende
de dos variables acá por un lado que
como lo habíamos analizado en la
ecuación de movimiento es la rigidez
lateral del sistema y la variable m que
si recuerdan es la masa del sistema así
pues la frecuencia natural de vibrar
depende de los parámetros de rigidez
lateral y de masa tomen nota acerca de
esta definición porque la vamos a
retomar una vez que encontremos la
solución de esta ecuación diferencial
para explicar los conceptos de
frecuencia
por lo pronto hemos encontrado
precisamente las raíces de la ecuación
que son las lambda 1 y lambda 2 y
entonces podríamos regresar nosotros a
la ecuación oa la función solución de la
ecuación que planteamos diciendo que esa
función si nosotros sustituimos los
valores de lambda y llegaríamos
precisamente a esta función que ven acá
como analizamos en el paso anterior
lambda 1 pues va a ser el valor positivo
de i por la frecuencia natural y lambda
2 va a ser igual a menos y el valor de
la frecuencia natural
si nosotros sustituimos en la solución
general de esa ecuación diferencial pues
podemos cambiar el término de lambda 1 y
lambda 2 y sustituirlos por los valores
que obtuvimos en el paso previo de ahí
precisamente que lleguemos a la solución
de esa ecuación diferencial que vamos a
seguir trabajando por la simple y
sencilla razón de que aún
tenemos dos constantes que son a1 y a2
que van acompañando a los dos términos
de esta solución no hay que perder de
vista que son dos constantes que vamos a
determinar a partir de las condiciones
iniciales
pues muy bien también es importante que
ustedes recuerden las famosas relaciones
de oyler donde se asocia precisamente
una función exponencial como la que ven
ahí es elevada la equis
lo podemos asociarte según las
relaciones de wyler con la suma de una
función coseno esposa de x + y por el
seno de x y lo mismo la otra relación
nos dice que el exponencial
^ ^ la menos y por x es igual al coseno
de x menos en este caso y por el seno de
x estas relaciones de oilers son muy
importantes para dar forma a la solución
conocida de esta ecuación diferencial de
vibración y libre no amortiguada si se
dan cuenta estas relaciones van a ser
fundamentales para cambiar los términos
exponenciales a las funciones
trigonométricas de coseno y c no
justamente vamos a reescribir la función
o la solución general que traíamos que
es esta que están observando acá vamos a
hacer una sustitución o un cambio de
esas funciones exponenciales por las
funciones trigonométricas usando las
relaciones de boiler
a partir precisamente de este cambio
podemos observar como reescribimos la
función solución ahora con las funciones
trigonométricas a partir de estas
relaciones
si nosotros simplificamos o agrupamos
esos términos podríamos llegar a
reordenar la expresión anterior y
plasmarla en términos de los cosenos y
se nos estarán de acuerdo conmigo en que
esta es esta última expresión la puedo
también reescribir como dt iguala a por
el coseno de la frecuencia por el tiempo
más b por el seno de esa frecuencia
natural por el tiempo de nueva cuenta a
y b son constantes que vamos a
determinar a partir de las condiciones
iniciales lo que hemos hecho pues es
entonces hacer una reescritura de la
solución general que traíamos con los
términos exponenciales cambiándolas por
las funciones trigonométricas a partir
de las relaciones de origen
una vez que tenemos esta función no nos
queda otra más que obtener los valores
de las constantes a ive a partir de las
condiciones iniciales pero antes de ello
recordarán que las condiciones iniciales
eran el desplazamiento en el tiempo cero
y la velocidad en el tiempo cero si
nuestra función solución es su dt que
nos describe el desplazamiento
nosotros podemos derivar esta función y
obtener precisamente la velocidad en
función del tiempo
si nosotros derivamos esta función de t
llegamos mención de esta velocidad
vemos que la al derivar a cada uno de
los términos llegamos
precisamente a esta suma nos quedamos
con esta expresión de la velocidad sino
si nosotros evaluamos de las funciones
que acabamos de obtener para el
desplazamiento y la velocidad en el
tiempo cero si nosotros hacemos cero
las variables o los términos del tiempo
pues lo que vamos a obtener en el primer
caso de la función del desplazamiento es
justamente el valor de la constante a
porque bueno pues porque deben recordar
que el seno de 0 pues es cero y el
coseno de cero pues es uno de ahí que
podamos llegar a la conclusión de que la
constante a va a ser igual a de cero
de la misma forma nosotros sustituimos
el tiempo igual a 0 en la ecuación de la
velocidad y vemos que perdemos el
término del seno en el primer elemento
de la ecuación y el coseno de cero pues
será 1
y justamente de este de este término que
nos queda aquí en la función
nosotros podemos despejar el valor de b
donde b va a ser precisamente la
velocidad en el tiempo cero entre la
frecuencia natural de vibrar hemos
encontrado pues en este último paso
las constantes a ive de la solución
general o la función solución de nuestra
ecuación diferencial
una vez que hemos hecho lo anterior me
traigo de nuevo la función solución y lo
único que hago es sustituir los valores
de a&b que hemos obtenido en el paso
previo de ahí pues que lleguemos a la
solución de la ecuación diferencial de
vibración libre no amortiguada que es
justamente la que observan acá lo único
que hemos hecho es sustituir el valor de
a por el desplazamiento el tiempo cero y
el valor o la magnitud de la constante b
en la ecuación importante recordar que
en los pasos previos establecimos que la
frecuencia natural de vibrar es igual a
la raíz de la rigidez lateral del
sistema entre la masa
si nosotros graficar amos precisamente
la solución de esa ecuación diferencial
que hemos obtenido en este último paso
nosotros podríamos descubrir cosas
bastante bastante interesantes que me
gustaría compartir con todos ustedes
este gráfico presenta ya lo
adelantábamos en un principio la
dinámica o los desplazamientos que
experimenta su sistema de un grado de
libertad que está representado acá como
un marco ya lo habíamos comentado en el
vídeo introductorio que concentra una
masa precisamente en el nivel superior y
que depende de la rigidez acá
lateral del marco justamente si ustedes
grafican para un desplazamiento
determinado y una velocidad inicial en
el tiempo cero grafican estas ecuaciones
esta ecuación solución nos ustedes
verían esta curva que están observando
acá
representa finalmente la dinámica de
este sistema ya lo decía y en el gráfico
hay cosas muy muy interesantes que vale
la pena de retomar la primera de ellas
es que justamente en el gráfico estoy
curando para que observen un ciclo
completo de movimiento de este sistema
podrán observar que en el punto donde
tienen un desplazamiento cero el marco
se encuentra precisamente en su posición
de equilibrio
después lo que experimenta precisamente
en la cresta de la gráfica si de
recordando que la gráfica representa
nuestra función solución veríamos que
alcanza su máximo desplazamiento que
justamente es el desplazamiento inicial
que le hemos impreso a nuestro sistema
por lo que si ustedes quieren ver
representado físicamente este movimiento
ustedes verían su sistema de un grado de
libertad que es el marco de formándose
un desplazamiento positivo dado el
gráfico en la zona positiva
normalmente el desplazamiento positivo
pues es hacia la derecha como está
representando se después de eso la
dinámica de acuerdo a la función que
hemos encontrado a la función solución
de la ecuación diferencial nos dice que
baja la magnitud del desplazamiento
hasta que de nueva cuenta su
desplazamiento es cero es decir este
marco que inicialmente llegó a su
condición inicial o a su condición de
reposo relativo se desplaza hacia un
lado luego regresa a su condición
precisamente de reposo y luego alcanza o
llega al valle de la función del
desplazamiento y lo que representa
precisamente la máxima el máximo
desplazamiento negro
en este caso es precisamente la dinámica
del marco va a deformarse ahora con una
magnitud de desplazamiento negativa de
ahí que la dinámica nos diga qué pasa
del reposo a desplazarse de manera
positiva o de cero luego regresa en el
cruce la condición inicial vamos a
decirlo así y luego se deforma
precisamente hacia la izquierda con un
desplazamiento experimentando de un
desplazamiento de cero pero ahora con
una magnitud negativa lo que nos está
indicando es que de acuerdo a la
dinámica que pueden ustedes imaginarse
ahora regresa y se deforma en la otra
dirección y luego en este punto llega a
la posición inicial y así se va
deformando de un lado hacia otro de
manera indefinida recordando que el
sistema que hemos resuelto en mi vídeo
es de vibración libre
amortiguada quiere decir en teoría que
este marco estará oscilando siguiendo la
lógica que acabo de describir de manera
indefinida dado que no existe un término
de amortiguamiento que lo haga
precisamente parar su dinámica y llegar
a su condición de reposo total
importantísimo notar de ahí que resalte
el área curada que es un ciclo completo
si se dan cuenta pasamos de la condición
inicial a la deformación hacia un lado
regresamos a la condición inicial se
deforma en la otra dirección si se va
hacia la izquierda el marco y luego
vuelve a regresar a su posición inicial
y empezamos de nuevo otro ciclo
justamente el concepto precisamente del
tiempo que le toma completar un ciclo
como el que acabo de describir es lo que
conocemos como periodo natural de vibrar
justamente es el tiempo repito que le
lleva a cumplir un ciclo sí de
desplazamiento completo de un lado
reposo hacia el otro
reposo eso es lo que conocemos
precisamente como período y es el
período natural de vibrar de un sistema
estructural
justamente el período natural
en relación con la frecuencia natural de
vibrar que ya habíamos analizado y que
depende de la rigidez lateral del
sistema y de su masa cómo se relaciona
pues justamente con cómo lo ven ahí el
periodo es igual a 2 pi sobre la
frecuencia natural de vibrar en resumen
podríamos decir o hemos llegado a la
conclusión de que el periodo natural
debe vibrar de un sistema depende
precisamente de la frecuencia natural de
vibrar o existe una relación entre el
periodo y su frecuencia y como lo
decíamos el periodo es el tiempo que le
lleva a completar un ciclo completo de
desplazamientos
y nuestro sistema de un grado de
libertad así pues dado que el periodo se
define como el tiempo que le lleva a
hacer esto el periodo es una variable o
es una propiedad dinámica del sistema
estructural que precisamente tiene como
unidades
los segundos así nosotros podemos decir
que un sistema estructural tiene un
período natural de vibrar de un segundo
o de dos segundos o de cuatro segundos
entendiendo que es precisamente el
tiempo
repito que le toma completar este ciclo
entero de desplazamientos
interesantísimo resaltar que el periodo
está relacionado con la frecuencia y que
la frecuencia a su vez depende de la
rigidez lateral que ustedes le den como
diseñadores a su edificio oa su sistema
y por supuesto de su masa
por otro lado la frecuencia se relaciona
con el periodo de la siguiente manera
decimos que la frecuencia cíclica
natural de vibrar es el valor inverso
del periodo natural de vibrar del
sistema así existe una relación directa
entre la frecuencia cíclica natural de
vibrar y la frecuencia circular o la
frecuencia natural de vibrar en realidad
en el largo tanto la frecuencia cíclica
natural como la frecuencia circular
natural de vibrar son conocidas como
frecuencias naturales de vibrar del
sistema y aquí justamente ven en resumen
cómo se relacionan estas variables es
interesantísimo resaltar que si ustedes
tuvieran precisamente un sistema
imagínense que tienen un edificio
y un edificio ve con las mismas masas
justamente es interesante observar cómo
estas relaciones entre la frecuencia
natural de vibrar y el periodo como
están asociadas con la rigidez y la masa
si nosotros tuviéramos dos sistemas los
edificios con la misma masa el edificio
que tuviera la mayor rigidez lateral es
el que tendría en realidad una mayor
frecuencia y dado que existe una
relación inversa entre la frecuencia y
el periodo aquel edificio que tenga una
rigidez lateral más grande y por ende
una frecuencia natural de vibrar más
grande tendría el periodo más pequeño de
los dos un dato interesante acerca de
quizá uno de los proyectos uno de los
puentes emblemáticos en la historia de
la humanidad como puede ser el golden
gate es conocer qué período tenía
qué periodo natural de vibrar creen que
tenga el puente golden gate les doy el
dato en el sentido longitudinal del
puente si ustedes ven el tablero del
puente colgante es el golden gate se
registra según la literatura un periodo
de 3.81 segundos mientras que en la
dirección transversal este periodo
alcanza precisamente 18 segundos poco
más de 18 segundos interesante no muy
bien pues muchísimas muchísimas gracias
por su atención
espero les haya gustado y sobre todo que
hayan comprendido cómo solucionamos esta
ecuación diferencial espero que hayan
desempolvado sus conocimientos en el
área y sobre todo que hayan comprendido
uno de los escenarios más simples que
vamos a analizar qué es la vibración
libre para migrar a
la excitación forzada y podamos hablar
ya de los efectos que puede tener un
sismo un viento o cualquier tipo de
excitación en nuestro sistema
estructural muchísimas muchísimas
gracias por su atención si les gustó el
vídeo por supuesto denle like si les dio
si les es de utilidad conocer
precisamente estas soluciones y estos
conceptos apoyen me suscribiéndose al
canal compartiendo el material para
poder llegar a más y más interesados en
esta maravillosa área muchísimas gracias
pásenla bien y por supuesto sigan se
cuidando mucho en esta contingencia un
caluroso y afectuoso abrazo para todos
ustedes nos vemos en el próximo vídeo
hasta pronto
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