CIRCULO UNITARIO Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Summary
TLDREl guion ofrece una explicación detallada de las funciones seno y coseno en relación con los ángulos en un sistema de coordenadas cartesiano. Se ilustra cómo los valores de seno y coseno varían a medida que el ángulo cambia, utilizando la calculadora para obtener los valores correspondientes a ángulos específicos como 10, 20, 30, 40, 90 y 350 grados. Se resalta la simetría y el patrón periódico de estas funciones, así como su comportamiento en ángulos complementarios, con ejemplos prácticos y comparaciones visuales en un círculo unitario.
Takeaways
- 📏 La importancia de que los ejes del transportador coincidan con los ejes del sistema de coordenadas cartesianos para el análisis de funciones trigonométricas.
- 📈 El eje X se utiliza para medir la proyección de ángulos y se relaciona con la función coseno, donde los valores positivos van de 0 hacia la derecha y los negativos hacia la izquierda.
- 📉 El coseno de ángulos como 10° y 350°, así como 20° y 340°, tienen valores muy similares debido a la simetría del círculo unitario.
- 🔢 Se utilizó una calculadora para obtener valores aproximados del coseno de ángulos específicos, como 0.98 para 10° y 0.86 para 40°.
- 🚫 A los 90° y 270°, la proyección del coseno es cero, ya que no hay proyección horizontal sobre el eje X.
- 🔄 El coseno de ángulos opuestos, como 10° y 350°, tiene el mismo valor pero pueden ser de signo contrario dependiendo de su posición en el eje X.
- 📍 El seno de ángulos como 90° es igual a 1, mientras que el seno de ángulos opuestos, como 10° y 170°, tienen el mismo valor pero de signo opuesto.
- 📉 El seno de ángulos menores a 180° tiene valores positivos, mientras que los ángulos mayores a 180° hasta 360° tienen valores negativos.
- 📈 La función seno aumenta gradualmente desde 0 hasta 90°, donde alcanza su valor máximo de 1.
- 📊 Se proporcionará una tabla de valores para las funciones seno y coseno, donde los estudiantes deberán medir los ángulos en un círculo unitario y calcular los valores correspondientes con una calculadora.
Q & A
¿Qué relación debe existir entre los ejes del transportador y el sistema de coordenadas cartesianas para que la proyección sea correcta?
-Los ejes del transportador deben coincidir perfectamente con los ejes del sistema de coordenadas cartesianas para que la proyección de los ángulos sobre el eje X dé la función coseno correcta.
¿Cuál es el resultado aproximado del coseno de 10 grados según el guion?
-El coseno de 10 grados es aproximadamente 0.98 o 0.987.
¿Por qué el coseno de 350 grados tiene el mismo valor que el coseno de 10 grados?
-El coseno de 350 grados tiene el mismo valor que el de 10 grados porque ambos ángulos son simétricos con respecto al eje X en el círculo trigonométrico, lo que les da el mismo resultado en la función coseno.
¿Cuál es el resultado aproximado del coseno de 20 grados y por qué es significativo?
-El coseno de 20 grados es aproximadamente 0.93 o 0.934. Es significativo porque muestra cómo el valor del coseno disminuye a medida que el ángulo aumenta desde el cero.
¿Por qué el coseno de 30 grados y el de 330 grados tienen el mismo valor?
-El coseno de 30 grados y el de 330 grados tienen el mismo valor debido a la simetría en el círculo trigonométrico; ambos ángulos están a 300 grados de la vertical, pero en direcciones opuestas.
¿Cuál es el resultado del coseno de 90 grados y por qué?
-El coseno de 90 grados es 0 porque, en un círculo unitario, la proyección del ángulo de 90 grados en el eje X no tiene extensión horizontal.
¿Cómo varía el valor del coseno a medida que el ángulo aumenta desde 0 hasta 90 grados?
-A medida que el ángulo aumenta desde 0 hasta 90 grados, el valor del coseno disminuye desde 1 a 0, reflejando la disminución de la proyección horizontal del ángulo en el eje X.
¿Cuál es la relación entre el seno y el coseno de ángulos opuestos en el círculo trigonométrico?
-El seno de un ángulo opuesto es igual al coseno de ese ángulo, pero con signo opuesto. Por ejemplo, el seno de 10 grados es igual al coseno de 350 grados, pero con signo negativo.
¿Cuál es el resultado del seno de 90 grados y por qué es significativo?
-El seno de 90 grados es 1, lo cual es significativo porque representa el valor máximo de la función seno, donde la proyección vertical alcanza su máxima extensión en el eje Y.
¿Cómo se relacionan los valores del seno y el coseno para ángulos que son 180 grados apartados?
-Los valores del seno y el coseno para ángulos que son 180 grados apartados son iguales en magnitud pero opuestos en signo. Por ejemplo, el seno de 10 grados es igual en valor al seno de 170 grados, pero con signo opuesto.
¿Cómo varía el signo de los valores del seno y el coseno a medida que el ángulo recorre el círculo trigonométrico?
-El signo de los valores del seno y el coseno cambia a medida que el ángulo recorre el círculo trigonométrico. Por ejemplo, los valores son positivos en los primeros y terceros cuadrantes para el seno y el coseno, respectivamente, y negativos en los segundos y cuartos cuadrantes.
Outlines
📏 Explicación de la función coseno en ángulos específicos
El primer párrafo explica cómo el eje x del sistema de coordenadas cartesianos debe coincidir con el eje de un transportador. Se describe el eje x, con valores positivos hacia arriba y negativos hacia la izquierda. Se utiliza la función coseno para proyectar ángulos sobre el eje x, mostrando cómo el coseno de 10 grados y 350 grados tienen el mismo valor, así como el de 20 grados y 340, y así sucesivamente. Se pide a los espectadores que utilicen su calculadora para verificar los valores del coseno de ángulos específicos, como 10, 20, 30 y 40 grados, y se observa que a 90 y 270 grados, el coseno es cero debido a que no hay proyección horizontal.
🔄 Relación de simetría entre ángulos y su coseno
El segundo párrafo profundiza en la relación de simetría entre ángulos opuestos y su correspondiente valor de coseno. Se muestra que el coseno de ángulos como 170 y 190 grados tienen el mismo valor que el coseno de 10 y 350 grados, pero con signo contrario, ilustrando la simetría en torno al eje x. Se discute cómo los valores del coseno varían en función de la medida del ángulo, y cómo se reflejan estos cambios en la calculadora y en el círculo unitario. Además, se explora cómo los ángulos de 160 y 200 grados tienen el mismo valor negativo que el coseno de 20 y 340 grados, respectivamente, y se continúa con ejemplos de ángulos como 120, 240, 60 y 300 grados para demostrar la simetría y el cambio de signo.
📉 Análisis del comportamiento del seno y su correspondencia con ángulos
El tercer párrafo examina el seno de diferentes ángulos, destacando cómo los valores del seno cambian y su relación con los ángulos. Se menciona que el seno de 90 grados es 1, y cómo al aumentar los ángulos en 10 grados, los valores del seno también aumentan, como se ve en el seno de 10, 20 y 30 grados. Se hace notar la simetría en los valores del seno para ángulos opuestos, como 10 y 350, y cómo los valores son iguales pero con signo contrario, como en el caso del seno de 170 y 10 grados. Seguidamente, se analiza cómo el seno de ángulos crecientes, como de 20 a 30 grados, se acerca a valores unitarios y cómo, al llegar a 90 grados, el seno alcanza su valor máximo. También se discute el comportamiento del seno más allá de 90 grados, mencionando que los valores son negativos y cómo se refleja esta tendencia en la calculadora.
Mindmap
Keywords
💡Transportador
💡Ejes de coordenadas cartesianos
💡Función coseno
💡Grados
💡Círculo unitario
💡Calculadora
💡Función seno
💡Periodicidad
💡Simetría
💡Ángulo
Highlights
La importancia de que los ejes del transportador coincidan con los ejes del sistema de coordenadas cartesianos.
El eje x y su relación con la función coseno, proyectando ángulos sobre este eje.
El uso de la calculadora para obtener el coseno de 10 grados, aproximado a 0.98.
La similitud del valor del coseno en ángulos de 10 y 350 grados.
El coseno de ángulos crecientes, como 20 grados, mostrando un valor aproximado de 0.93.
La coincidencia del valor del coseno en ángulos suplementarios, como 20 y 340 grados.
El valor del coseno en 30 grados, aproximadamente 0.86, y su correspondencia en 330 grados.
El cambio en el valor del coseno al aumentar el ángulo a 40 grados, mostrando un valor de 0.67 aproximadamente.
La ausencia de proyección en ángulos de 90 y 270 grados, donde el coseno es cero.
La relación de simetría en el valor del coseno en ángulos opuestos, como 170 y 10 grados.
El uso de la calculadora para comparar el coseno de ángulos diferentes y su igualdad o diferencia de signo.
La explicación de cómo varía el valor del seno al cambiar los ángulos, comenzando con 10 grados.
La igualdad del seno en ángulos que son complementarios, como 10 y 170 grados.
El valor del seno en ángulos de 20 y 160 grados, mostrando una aproximación de 0.34.
El seno en ángulos de 30 y 150 grados, con un valor de 0.5, y su progresión hacia 90 grados.
La característica del seno en 90 grados, donde alcanza el valor de 1.
La simetría del seno en ángulos opuestos, como 190 y 10 grados, y su signo contrario.
La explicación de la distribución de valores positivos y negativos en las funciones seno y coseno a lo largo de un círculo completo.
La tarea propuesta para medir y comparar los valores de las funciones seno y coseno en un círculo unitario utilizando una calculadora.
Transcripts
en estos términos el transportador los
ejes de nuestro transportador tienen que
coincidir perfectamente bien con los
ejes de nuestro sistema de coordenadas
cartesianas entonces aquí va a estar mi
eje x a partir de cero para cada
positivo a partir del cero hacia arriba
positivo a partir del cero hacia la
izquierda negativo y a partir del cero
así abajo negativo siendo el eje de las
abscisas o el eje de las equis en donde
nosotros vamos a tener la función coseno
toda la proyección que nosotros tengamos
de los ángulos sobre el eje de las x nos
va a dar la función coseno entonces
saquen su calculadora y van a obtener el
coseno de 10 grados porque ahí les va a
dar punto 98.97 aproximadamente de aquí
algún recuerdo aquí a la escala que yo
tengo
o más
y aquí estamos
aquí están los 10 grados y aquí les va a
dar punto 98 aproximadamente puntear
punto 97 puntos 98 lo que sería el
costero de los 10 grados y de la misma
forma el coseno de 350 grados les va a
dar exactamente el mismo valor no se
obtengan por favor esta función observen
que su calculadora en la parte de arriba
tenga una letra de y vamos a obtener el
cosenos alguien con seno de 10 grados
desde apuntó 98 48 en la calculadora
entonces aquí 10 grados y el coseno de
350
obtengan igual cuestión de 350 y les
tiene que dar exactamente el mismo valor
ok vamos a los 20 grados
bien
estamos en 20 grados vamos a aumentar la
imagen un poquito
realizamos en 20 grados en 20 grados
obtengan el coseno del ángulo y aquí en
donde cruza con el eje x van a poder
observar les da punto 90 y
2.93 aproximadamente ok
tanto en la calculadora como el círculo
unitario no sólo tengan el coseno de 20
grados de la calculadora les da punto 93
9 se acerca de punto 94
en los 20 grados y de la misma forma en
los en los 340 obtengan el 300 el coseno
de 340 y les va a dar exactamente el
mismo valor
ok vamos con los 30 grados
a los 30 grados
a 30 grados
y 330 obtengan el coseno de 30 y el
coseno de 330 y les tiene que dar
0.80 y
6 0.87 aproximadamente en ambos lados
punto 86 6 y si obtienen el coseno de
330 les va a dar exactamente el mismo
valor
de los 40 grados
y ahí en 40 grados
aunque hoy van a poder observar que
tenemos puntos 5 puntos 6.7
puntos 78 aproximadamente en los 40
grados por tengan el coseno de 40 grados
les da puntos 86 y de la misma forma el
coseno de los 320 grados les da
exactamente el mismo valor
y así sucesivamente así vamos a ir
variando esa medición hasta que llegamos
a los 90 grados cuando llegamos a los 90
grados o los 270 grados no hay
proyección sobre el eje
horizontal el eje de las abscisas se
forma únicamente un punto aquí al ser un
punto pues no hay medición ni desde lado
ni de este lado como consecuencia es
02 el coste no de 90 y el coste no de
270 es 0 verificarlo en su calculadora
bueno vamos ahora con la subsecuente
parte demostró aquí con 170 y 190 el
coseno de 170 y el coseno de 190 les va
a dar exactamente lo mismo si y es el
mismo valor que el coseno de 10 y que el
coseno de 350 pero de signo contrario
porque estamos sobre el eje de las
abscisas del lado izquierdo o se
obtienen ustedes el coseno del 170 20 de
170
en este punto 98 y si obtienen negativo
y si obtienen el coseno de 10 grados es
exactamente lo mismo pero positivo
ok
y entonces aquí podemos observar que
están divididos
el coseno de 170 es exactamente el mismo
valor que el coseno de 10 sí pero de
signo contrario y así sucesivamente
si nosotros nos regresamos aquí a 160
el coseno de 160 y el coseno de 200
grados si les va a dar exactamente el
mismo valor negativo y va a ser igual
que el coste no de 20 grados y que el
coste no de 340 grados pero del signo
contrario si nosotros seguimos
trasladando ese eje aquí a 20 grados
20 y 240 así que correspondería
160 grados
dos años 2.5 si nosotros obtenemos el
concello de 120 o el coste no de 240 les
va a dar punto 5 negativo y si obtenemos
el coseno de 60 o el coseno de 300
grados les va a dar punto 5 positivo
trazamos una recta es un punto
y ponemos aquí el otro punto
consta
y con esta recta vamos a hacer
exactamente lo mismo
y
vamos a mover esa recta
aquí en 90 grados entonces el seno digo
es 1 el seno de 90 grados nos va a dar 1
nos va a dar la unidad y si así
sucesivamente vamos vamos moviendo esa
recta
y en 10 grados el seno de 10 grados
vamos a tener punto 1 punto 17 18
aproximadamente
entonces que estamos 10 grados más
arriba
no estamos en 10 grados
nos íbamos a tener una décima como punto
17 que os obtengan en el seno del sica
grados
las 2.17 36
el seno de 10 grados
voy a mover mi recta a los 20 grados en
el seno de 10 haciendo una condición
pasada el signo de 10 es exactamente el
mismo valor que el seno de 170 de aquí
del eje de mi 0 hacia arriba es positivo
pues el seno de 10 y el seno de 170
tienen el mismo valor
el seno de 20 grados y el seno de 160
tienen exactamente el mismo valor si
vemos en donde cruza
33 1.33 aproximadamente
los el seno de 20 grados
nos da punto 34 en la calculadora aunque
esto depende de la precisión con la que
nosotros hagamos nuestro trazo y el seno
de 160 también les va a dar punto 34
lo subimos a 30 grados
estamos entrevista grados entonces el
seno de 30 grados el seno de 30 y el
seno de 150 les va a dar punto 5
y así sucesivamente va aumentando hasta
que llegamos a los 90 grados cuando
llegamos a los 90 grados
aquí el seno de 90 grados pues es 1
y llegamos a la unidad 2 cuando llegamos
aquí hasta arriba y en los 90 grados el
seno de 90 es 1
vamos en el sentido contrario cuando
nosotros aquí tenemos
90 grados
por ahí
el seno de 90 grados de 190 el seno de
190 y el seno de 350 es exactamente
igual
vamos a tener el mismo valor
aproximadamente punto 17
el seno de 190
desde el punto 17 36 y eso va a ser
exactamente igual al seno de 10 grados
pero de signo contrario
es el seno de 10 es igual al seno de 350
sí pero de signo contrario éste es
negativo el seno de 170 el seno de 10
tiene el mismo valor el seno de 170 y el
cero de 190 tienen el mismo dolor pero
de signo contrario
vamos abajo
el seno de 340 y el seno de 200 tienen
exactamente el mismo valor si negativos
y les va a dar 23 como punto 35
punto 30 y 42 en los que nos dan la
calculadora
ok solo digo depende de la precisión y
de la misma manera el seno de 20 y el
seno de 340 tienen el mismo valor pero
el cero de 340 va a ser negativo ok
entonces analizando la función seno
vamos a tener que desde cero
hasta 180 va a tener valores positivos
de aquí es acá y desde 180 si hasta los
360 va a obtener valores negativos
mientras que en la función jose no la
función coseno de aquí acá tenemos
nosotros nuestros valores
positivos entonces va a ser desde el
ángulo de 270 hasta 90 va a ser valores
positivos y desde 90 hasta 270 van a ser
valores negativos nos van a ser una está
una tablita de la tarea que le van
anexar a sus actividades de aprendizaje
donde van a tener los grados desde los
10 hasta los 360 ok
van a poner ahí en lo que les dio en la
función seno en el ángulo medido en su
círculo unitario y en el calculado
ok vamos a tener la función ce no lo van
a medir el círculo unitario y lo van a
determinar por medio de la calculadora y
van a hacer lo mismo con la función jose
no lo van a medir y lo van a determinar
por medio de es calculadora
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