Why there are no 3D complex numbers

Summary

В этом видео представлен простой аргумент о том, почему не существует трехмерных комплексных чисел. Автор вдохновился видео Майкла Пенна, в котором используется абстрактная алгебра для объяснения перехода от вещественных чисел к комплексным, затем к кватернионам и далее. В видео показывается, что для трехмерных комплексных чисел невозможно определить умножение, сохраняющее важные свойства, такие как вращение на 90° при умножении на единицу虚. Это делает невозможным их использование в геометрии трехмерного пространства.

Takeaways

• 🔢 Существует интересный вопрос, почему не существует трёхмерных комплексных чисел.
• 🔍 Идея видео вдохновлена сложным объяснением от Майкла Пенна, который использует абстрактную алгебру для этого вопроса.
• 🧮 Комплексные числа определяются как решения уравнения x² = -1, что не имеет реального решения.
• 📈 Комплексные числа можно представить в виде a + bi, где a и b — это действительные числа, а i² = -1.
• 🔄 Умножение на i в комплексной плоскости поворачивает числа на 90°, что является важным свойством комплексных чисел.
• 🌐 Трёхмерные комплексные числа могли бы быть полезны в трёхмерном пространстве, но такие числа не могут быть определены.
• ❌ Основная проблема заключается в невозможности корректно определить произведение i * j для трёхмерных комплексных чисел.
• ⚠️ Если попытаться определить i * j = 1 или -1, возникают противоречия, и не удается сохранить ортогональность осей.
• 🔧 Умножение i на j также приводит к противоречиям, если попытаться определить его как линейную комбинацию других осей.
• 🚫 В результате, трёхмерные комплексные числа невозможны, так как невозможно соблюсти необходимые алгебраические свойства.

Q & A

Почему не могут существовать трехмерные комплексные числа?

Трехмерные комплексные числа не могут существовать, потому что невозможно определить операцию умножения для этих чисел так, чтобы сохранить свойства, которые делают комплексные числа полезными, например, возможность вращения и ортогональность осей.

Что происходит при попытке определить произведение i и j в трехмерных комплексных числах?

При попытке определить произведение i и j возникают противоречия, такие как невозможность сохранить ортогональность осей и независимость измерений, что делает невозможным определение таких чисел.

Какое основное свойство комплексных чисел делает их удобными для использования в математике?

Одним из основных свойств комплексных чисел является то, что умножение на мнимую единицу i приводит к вращению на 90 градусов на комплексной плоскости, что позволяет использовать обычные алгебраические операции для решения геометрических задач.

Что происходит, если попытаться определить i * j как реальное число?

Если попытаться определить i * j как реальное число, возникает противоречие, так как это приводит к тому, что одна из осей становится зависимой от другой, что нарушает требование трехмерности и независимости осей.

Почему невозможно определить i * j как произвольную линейную комбинацию осей?

Невозможно определить i * j как произвольную линейную комбинацию осей, потому что при этом возникает противоречие: например, при попытке решить получившееся уравнение для коэффициентов оказывается, что один из коэффициентов должен быть мнимым числом, что неприемлемо в рамках реальных чисел.

Какую роль играет ассоциативность в доказательстве невозможности существования трехмерных комплексных чисел?

Ассоциативность используется для упрощения операций и проверки противоречий. Если бы ассоциативность отсутствовала, многие алгебраические операции, которые делают числа полезными, были бы невозможны.

Какую аналогию можно провести между комплексными числами и гипотетическими трехмерными комплексными числами?

Аналогия заключается в том, что, как и комплексные числа, трехмерные комплексные числа должны иметь оси, ортогональные друг другу, и умножение на одну из мнимых единиц должно приводить к вращению в соответствующей плоскости. Однако в случае трехмерных чисел это невозможно без противоречий.

Какие типы чисел существуют, если продолжить расширение от вещественных чисел?

После вещественных чисел существуют комплексные числа (двумерные), кватернионы (четырехмерные) и октанионы (восьмимерные). Однако трехмерных комплексных чисел не существует.

Почему важно сохранять независимость измерений при определении трехмерных комплексных чисел?

Независимость измерений важна, потому что это позволяет каждой оси быть независимой от других, что необходимо для выполнения алгебраических операций и описания трехмерного пространства.

Что произойдет, если попытаться определить i * j = j?

Если попытаться определить i * j = j, это приведет к противоречию, так как получится, что j равно 1, что не должно быть возможным, поскольку это нарушает требование независимости осей.