Demostración de la fórmula de Herón. Parte 2
Summary
TLDREl script del video presenta una demostración matemática que conecta la fórmula del área de un triángulo con lados de medidas A, B y C, con la fórmula de Herón. El objetivo es mostrar que la fórmula compleja para el área de un triángulo se puede simplificar utilizando el teorema de Pitágoras y álgebra. A través de un proceso detallado, el presentador guía al espectador en la reducción de la expresión complicada a una sencilla, evidenciando la satisfactoria simplificación de conceptos matemáticos. Al final, se utiliza la fórmula de Herón para calcular el área, demostrando su equivalencia con la fórmula inicialmente presentada.
Takeaways
- 📚 El script es una explicación detallada de cómo se puede demostrar que la fórmula para el área de un triángulo con lados de medidas A, B y C es equivalente a la fórmula de Herón.
- 👨🏫 Se utiliza el teorema de Pitágoras y álgebra para simplificar la fórmula original y llegar a una expresión más simple.
- 🔍 Se comienza reescribiendo la mitad de la medida del lado C dentro de una raíz cuadrada para facilitar la simplificación posterior.
- 📐 Se distribuye el valor bajo la raíz cuadrada y se simplifica, llegando a una expresión que incluye la resta y suma de términos cuadráticos.
- 🧩 Se identifican y se aplican las diferencias de cuadrados para factorizar y simplificar aún más la expresión.
- 📝 Se realizan operaciones algebraicas para reorganizar y simplificar las fracciones, encontrando expresiones que son sumas y restas de términos cuadráticos.
- 🔢 Se observan patrones en las expresiones que permiten reescribir la fórmula en términos de la suma y resta de la semiperimetro del triángulo.
- 📉 Se hace uso de la identidad de la diferencia de cuadrados para reestructurar la fórmula y aproximarla a la fórmula de Herón.
- 🎯 Se llega a la conclusión de que la fórmula para el área del triángulo, después de las simplificaciones, es igual a la fórmula de Herón utilizando el semiperimetro s.
- 🎉 El script culmina con la satisfactoria demostración de que la fórmula original es en efecto equivalente a la fórmula de Herón, mostrando la belleza matemática de la simplificación.
Q & A
¿Qué fórmula se utiliza para calcular el área de un triángulo con lados de medidas A, B y C?
-La fórmula utilizada para calcular el área de un triángulo con lados de medidas A, B y C es la fórmula de Herón, que se reduce a una expresión más simple utilizando el teorema de Pitágoras y álgebra.
¿Cómo se relaciona la fórmula mencionada en el video con la fórmula de Herón?
-La fórmula mencionada en el video se reduce a la fórmula de Herón después de aplicar el teorema de Pitágoras y realizar operaciones algebraicas.
¿Qué es el teorema de Pitágoras y cómo se utiliza en el proceso de reducir la fórmula de área del triángulo?
-El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En el video, se utiliza para simplificar la fórmula de área del triángulo.
¿Qué es álgebra y cómo se aplica en el video para simplificar la expresión de área del triángulo?
-La álgebra es una rama de las matemáticas que involucra el uso de símbolos y operaciones para resolver problemas matemáticos. En el video, se aplica álgebra para reescribir y simplificar la expresión de área del triángulo.
¿Cómo se utiliza la raíz cuadrada en el proceso de simplificación de la fórmula de área del triángulo?
-La raíz cuadrada se utiliza para simplificar la expresión \( \sqrt{c^2} \) a \( c \), lo cual es un paso importante en la reducción de la fórmula de área del triángulo.
¿Cuál es el significado de la expresión 'c cu / 4' utilizada en el video?
-La expresión 'c cu / 4' se refiere a \( c^2 / 4 \), que es el cuadrado de la medida del lado c dividido entre 4, y se utiliza en la simplificación de la fórmula de área.
¿Qué es la diferencia de cuadrados y cómo se aplica en el video para simplificar la fórmula de área?
-La diferencia de cuadrados es una fórmula algebraica que permite factorizar una expresión de la forma \( x^2 - y^2 \) como \( (x + y)(x - y) \). En el video, se aplica esta técnica para simplificar la fórmula de área del triángulo.
¿Cómo se relaciona la fórmula de Herón con el semiperímetro (s) de un triángulo?
-La fórmula de Herón establece que el área (A) de un triángulo es igual a \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \), donde s es el semiperímetro del triángulo, que es \( (a+b+c)/2 \).
¿Qué es el semiperímetro de un triángulo y cómo se calcula?
-El semiperímetro (s) de un triángulo es la mitad del perímetro del triángulo, y se calcula sumando los lados a, b y c, y luego dividiendo por 2: \( s = (a + b + c) / 2 \).
¿Cómo se simplifican las expresiones en el video para llegar a la fórmula de Herón?
-Se simplifican las expresiones mediante la distribución, la factorización de diferencias de cuadrados y la identificación de expresiones especiales como la suma de los lados del triángulo, lo que finalmente lleva a la fórmula de Herón.
Outlines
📚 Demostración de la fórmula de área de un triángulo
En el primer párrafo, se presenta la fórmula para calcular el área de un triángulo con lados de longitud A, B y C, y se menciona que esta fórmula es equivalente a la fórmula de Herón. El objetivo es demostrar que la fórmula compleja para el área del triángulo se reduce a una expresión simple utilizando el teorema de Pitágoras y álgebra. Se comienza reescribiendo la fórmula de área con la raíz cuadrada de C, y se simplifica pasando la mitad de C bajo la raíz. Luego, se distribuye C cuadrado por 4 dentro de los términos del paréntesis, lo que lleva a una expresión que involucra la resta de cuadrados, facilitando su factorización.
🔍 Simplificación y factorización de la expresión
El segundo párrafo sigue con el proceso de simplificación, donde se efectúa la suma y resta de fracciones para llegar a una expresión más simple. Se busca un denominador común para las fracciones y se utiliza la identidad de la suma de cuadrados para reescribir la expresión. Se identifican expresiones especiales como la suma de cuadrados y se reorganizan las fracciones para que se revelen diferencias de cuadrados. A través de este proceso, se llega a una expresión que se parece más a la fórmula de Herón, preparando el camino para la conexión con la fórmula original.
🎯 Conexión con la fórmula de Herón y conclusión
En el tercer párrafo, se concluye el proceso de demostración al conectar la expresión simplificada con la fórmula de Herón. Se reescribe la expresión utilizando la variable 's', que representa el semiperimetro del triángulo, y se muestra cómo la fórmula se reduce exactamente a la fórmula de Herón que se presentó en un video anterior. Se enfatiza que, al realizar la sustitución adecuada, la fórmula para el área del triángulo se convierte en la fórmula de Herón, lo cual es un resultado satisfactorio y didáctico.
Mindmap
Keywords
💡Área
💡Triángulo
💡Lados A, B y C
💡Fórmula de Herón
💡Teorema de Pitágoras
💡Álgebra
💡Raíz cuadrada
💡Factorización
💡Semiperímetro
💡Diferencia de cuadrados
Highlights
En el video anterior mostramos que esta es la fórmula para el área de un triángulo que tiene lados de medidas A, B y C.
Vamos a ver que esta fórmula se reduce a la expresión sencilla mostrada previamente.
Utilizaremos el teorema de Pitágoras y un poco de álgebra compleja.
Reescribimos la expresión utilizando una forma simplificada de 1/2 de c.
Distribuimos c^2/4 dentro de la raíz y simplificamos la expresión.
Aplicamos la diferencia de cuadrados para simplificar aún más la expresión.
Sumamos y restamos fracciones con denominador común.
Observamos que las expresiones resultantes son diferencias de cuadrados nuevamente.
Factorizamos las diferencias de cuadrados para obtener una forma más sencilla.
Identificamos que la expresión se parece a la fórmula de Herón.
Realizamos cambios adicionales utilizando el semiperímetro.
Comprobamos que la expresión obtenida es exactamente la fórmula de Herón.
La fórmula de Herón se confirma como equivalente a la expresión inicial compleja.
La simplificación algebraica demuestra cómo algo complicado se reduce a algo simple.
Concluimos el video mostrando la elegancia de la simplificación matemática.
Transcripts
en el video anterior mostramos que esta
es la fórmula para el área de un
triángulo que tiene lados de medidas A B
y C y además afirmé que esta fórmula era
equivalente a la fórmula de eron lo que
vamos a hacer en este video es ver que
efectivamente esto se reduce a la
expresión sencilla que te mostré hace un
par de videos y para esto vamos a
utilizar el teorema de Pitágoras y un
poco de álgebra Espeluznante Pero no te
preocupes al final va a ser muy
satisfactorio ver como algo tan
complicado se reduce a algo tan simple
muy bien déjame empezar con este 1/2 de
c este 1/2 de c lo voy a meter a esta
raíz y para eso tengo que hacer lo
siguiente tengo que notar que 1/2 de c
es lo mismo es igual a la raíz cuadrada
de c med2 elevado al cuadrado la raíz y
el cuadrado se cancelan y esto de aquí
es igual a la raíz cuadrada de c cu dio
4
muy bien Vamos a utilizar esto para
reescribir esta expresión de esta forma
tenemos que el área voy a ponerle nada
más a es igual a Y en vez de escribir la
raíz por todas partes déjame simplemente
poner aquí raíz raíz para poder meterlo
de más en un paréntesis entonces área es
igual a la raíz d y aquí dentro del
paréntesis tengo que poner 1/2 de c pero
aquí adentro o sea c cu / 4 c cu / 4
multiplicado por esta expresión y esta
expresión déjame marcarla en color verde
para que el álgebra quede más bonita
Entonces sería a cuadrada - c cu + a cu
- B cu dividido entre 2 veces c eso de
ahí elevado al cuadrado y cerramos este
paréntesis de acá y el paréntesis de la
raíz muy bien Ahora lo que voy a hacer
es distribuir este c cu entre 4 en este
paréntesis de esta forma nos quedaría
que el área es igual es igual a la
raíz la raíz de sería c cu / 4 * a cu lo
voy a poner en verde c cu * a cu Divo 4
eso es este por este menos - c cu / 4 c
cu / 4 dividido por esta expresión
Déjame desarrollarla la voy a poner como
el numerador al cuadrado c C cu + a cu -
B cu eso de ahí elevado al cuadrado
dividido entre 2c cu o sea 4 c cu muy
bien voy a cerrar el paréntesis de acá y
vamos a simplificar un poco Observa que
c cuad se cancela con c cuada Aquí está
en el numerador y aquí en el denominador
4 * 4 es 16 pero en vez de poner 16
déjame ponerlo como 4 cu ahorita vas a
ver ver por qué Entonces vamos a pasar
este renglón nos quedaría que el área es
igual a la raíz a la raíz de la raíz d y
observa esto es una expresión al
cuadrado esto es c * a / 2 cuad entonces
lo voy a poner así c * a / 2 al cuadrado
y a eso le voy a restar y ve que esto de
acá también es una expresión al cuadrado
por eso puse 4 cu sería c cu + a cu - B
cu / 4 y todo eso elevado al cuadrado lo
voy a apuntar por acá es c cu c cu + a
cu - B cu
divido 4 y todo eso elevado al cuadrado
al cuadrado muy bien déjame cerrar el
paréntesis de la raíz y observemos que
ahora tenemos la resta de dos cuadrados
tenemos una expresión de la forma x cu
menos y cu Y eso es una diferencia de
cuadrados que sabemos cómo factorizar x
cu - y cu es = x +
y multiplicado por x - y entonces vamos
a aplicar esta fórmula de hecho la vamos
a utilizar repetidas veces así que tenla
en mente aquí este sería x c por a ent 2
y esta expresión dentro del paréntesis
sería y de esta forma nos queda que esto
es igual es igual igual a la raíz
d y Aquí vamos a poner x + y quedaría c
* a di 2 + c cu + a cu - B cu div 4 y
eso multiplicado por x - y que sería c *
a dividido 2 - c cu + a cu - B cu ent 4
muy bien Vamos a seguir trabajando con
esta expresión lo que vamos a hacer
ahora es efectuar esta suma y esta resta
de fracciones vamos a hacerlo parte por
parte Le voy a poner aquí raíz de y
vamos primero con esta suma de
fracciones de fracciones el El
denominador común es cuatro tenemos que
encontrar un denominador común para para
poder sumarlas verdad Entonces notamos
que es cuatro Así que nos quedaría
Déjame poner la rayita un poco más acá
nos quedaría aquí el 4 para pasar esta
fracción a cuartos hay que multiplicar
el numerador por 2 sería 2 veces ca + c
cu + a cu - B cu muy bien y voy a hacer
lo mismo con esta expresión también el
denominador común es
4 multiplicamos este numerador por 2 nos
quedaría do veces ca - c cu aquí hay que
tener cuidado - c cu - a cu - a cu
+ B cu B
cuada excelente y aquí lo que tenemos
que hacer es darnos cuenta que aparece
una expresión especial esta de acá 12a +
c cu + a cu esta expresión es a + b cu a
+ b elevado cuadrado y esta de acá es
algo parecido pero cuidando los signos
sería - a - c elevado cuadrado Si
quieres puedes efectuar las operaciones
para verificar que en efecto estas
expresiones son estas dos que puse
Entonces nos quedaría que el área es
igual a la
raíz la raíz d y vamos a poner las
expresiones con con estos cambios vale
sería a + b cu a + b
cu menos Ah perdón aquí es a + c cu
verdad Qué bueno que me di cuenta a + c
cu Aquí también sería a + c cu Déjame
borrarle déjame borrarle Entonces sería
a + c Qué bueno que me di cuenta porque
si no luego no nos iba a salir Entonces
es a + c cu - B cu dividido 4
multiplicado por y voy a poner B cu B cu
- a - c cu a - e cu dividido entre 4
vale déjame cerrar el paréntesis y
Observa que una vez más aparecen estas
expresiones diferencias de cuadrados
aquí tenemos un cuadrado menos otro y
aquí un cuadrado menos otro entonces
podemos reescribir todo esto como la
raíz la raíz de la siguiente expresión
ya vamos a hacer todas las
multiplicaciones voy a ponerlo de
adentro con verde vamos a hacer las
multiplicaciones 4 * 4 es 16 entonces
aquí quedaría 16 pero fíjate lo voy a
poner como 2 * 2 * 2 * 2 ahorita vas a
ver por qué Entonces nos quedaría
Imagínate que este es x y este es y
sería x +
y que es a + b + c simplemente cambié
tantito el orden luego sería x - y
multiplicado por a + c - b multiplicado
por ahora es este con este verdad x + y
sería b b + a - c multiplicado por este
menos este B - a - c eso es lo mismo que
b + c - a muy bien Voy a extender
tantito la línea de la fracción Cerramos
el paréntesis de la raíz y ahora sí
vamos a separar cada uno de estos
Entonces nos quedaría que es igual a la
raíz a la raíz de lo siguiente de a + b
+ c ent 2 Okay entonces es a + b + c / 2
multiplicado por a + c - b / 2 a + c - b
/ 2 multiplicado por a + b - c / 2 a + b
- c / 2 y multiplicado por b + c - a / 2
y esto ya se empieza a parecer un poco
un poco más a la fórmula de eron vamos a
hacer los siguientes cambios observa
Observa que esta expresión a + c - b
también la podemos poner como a + b + c
- dos veces b b - 2b es - B de manera
similar a + b - c es a + b + c - 2 veces
c y b + c - a es a + b + c - do veces a
dos veces a sale Entonces vamos a
reescribir utilizando estas expresiones
nos quedaría que es
igual el área es igual a la raíz la raíz
de lo
siguiente A ver vamos a vamos a
prepararnos es a + b + c 2 a + b + c 2
vale esto lo voy a poner así entre
paréntesis multiplicado por y ahora
vamos a poner esta expresión a + b + c
di 2 - 2 veces B / 2 o sea sería - b - b
de manera similar este es a + b + c / 2
- a porque es 2 / 2 menos Perdón - c - C
y este de acá sería a + b + c - a porque
es 2a Di 2 a + b + c di 2 - a Y esto es
exactamente la fórmula de herón Solo que
Recuerda que para la fórmula de herón
habíamos definido que s era el
semiperímetro la mitad del perímetro a +
b + c dividido entre 2 y claramente
claramente haciendo la sustitución con
esta variable nos queda que el área es
igual a la raíz a la raíz de s
s voy a Sí en color rosa está bien A S
multiplicado por s - B multiplicado por
s - c y multiplicado por s - a s - a Y
si recuerdas esto de aquí es exactamente
la fórmula que di en el primer video
acerca de la fórmula de eron Está
padrísimo No crees Bueno nos vemos en
siguientes videos
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