Combinaciones, permutaciones y variaciones | Ejemplo 1

Matemáticas profe Alex

30 Mar 202018:42

Summary

TLDREn este video se explica cómo resolver ejercicios de combinaciones, permutaciones y variaciones sin repetición. El profesor guía a los espectadores a través de tres ejercicios: seleccionar un comité, elegir cargos específicos como presidente y ubicar autos en una fila, destacando la importancia de determinar si el orden importa o no. También se resuelve un ejercicio adicional sobre un campeonato. Se utilizan tanto el método de fórmulas como el de las cajitas, y el video concluye con un ejercicio para practicar, animando a los espectadores a suscribirse y continuar aprendiendo.

Takeaways

📘 El video trata sobre combinatoria, específicamente sobre combinaciones, permutaciones y variaciones sin repetición.
🔢 Se resuelven tres ejercicios: uno de combinación, uno de permutación y uno de variación.
🧠 El primer ejercicio consiste en seleccionar un comité de 3 estudiantes de un grupo de 10, usando combinaciones porque el orden no importa.
📐 Se explica cómo calcular la combinación: 10 factorial dividido entre 3 factorial por (10 - 3) factorial, dando como resultado 120 maneras de seleccionar el comité.
🗳️ En el segundo ejercicio, se elige un presidente, vicepresidente y secretario de 10 estudiantes, donde el orden sí importa, por lo que se trata de una variación.
✍️ La variación se resuelve con el método de las cajitas, dando 720 formas diferentes de seleccionar a los tres estudiantes.
🚗 El tercer ejercicio implica ubicar 4 autos en una fila, donde el orden importa, por lo que se utiliza una permutación.
📊 La permutación se calcula como 4 factorial (4x3x2x1), resultando en 24 maneras diferentes de organizar los autos.
🛠️ Se mencionan las fórmulas de variaciones y permutaciones, explicando cómo usar factoriales y simplificar el cálculo.
🎯 Finalmente, se deja un ejercicio práctico sobre la selección de un campeón y subcampeón de un grupo de 8 equipos, donde el orden también importa, y se debe utilizar una variación.

Q & A

¿Qué tipo de ejercicios se resuelven en el video?
-En el video se resuelven ejercicios de combinaciones, permutaciones y variaciones sin repetición.
¿Cómo se sabe si un problema es de combinación o permutación?
-Primero se debe preguntar si importa el orden. Si el orden no importa, es una combinación; si el orden importa, puede ser una permutación o variación.
En un grupo de 10 estudiantes, ¿cómo se selecciona un comité de 3 estudiantes?
-Como el orden no importa y no se repiten estudiantes, el problema es una combinación sin repetición de 10 en 3. La respuesta es 120 maneras diferentes.
¿Cuál es la diferencia entre combinación y permutación?
-La combinación se usa cuando no importa el orden de selección, mientras que la permutación se usa cuando el orden sí importa.
¿Qué fórmula se utiliza para resolver una combinación?
-Se utiliza la fórmula de combinación: C(n, r) = n! / (r!(n-r)!).
En el caso de elegir un presidente, vicepresidente y secretario, ¿importa el orden?
-Sí, importa el orden porque cada uno tiene un rol diferente, por lo que se trata de una variación.
¿Cómo se resuelve un ejercicio de variación de 10 estudiantes para elegir 3 puestos diferentes?
-Se puede usar el método de las cajitas: 10 opciones para el presidente, 9 para el vicepresidente y 8 para el secretario, lo que da 720 maneras diferentes.
¿Cómo se simplifican factoriales en un problema de permutación?
-Se descompone el factorial hasta el número que se pueda cancelar con el denominador. Por ejemplo, 10! se descompone como 10 * 9 * 8 * 7! si hay un 7! en el denominador.
¿En qué casos se utiliza el método de las cajitas?
-El método de las cajitas se utiliza en ejercicios donde importa el orden, como en permutaciones y variaciones.
En un campeonato con 8 equipos, ¿cómo se determinan las maneras de ganar campeón y subcampeón?
-Como importa el orden (ser campeón o subcampeón no es lo mismo) y no se utilizan todos los elementos, se trata de una variación de 2 en 8. La respuesta es 56 maneras diferentes.

Outlines

00:00

🧮 Introducción a ejercicios de combinaciones, permutaciones y variaciones

El presentador da la bienvenida al curso de combinatoria y explica que en este video resolverán ejercicios sobre combinaciones, permutaciones y variaciones, todos sin repetición. Se recomienda a los espectadores pausar el video para intentar resolver los ejercicios por sí mismos. El primer ejercicio consiste en seleccionar un comité de tres estudiantes de un grupo de diez, aclarando que no importa el orden en que se seleccionan los miembros. El presentador guía a los espectadores sobre cómo identificar que se trata de una combinación sin repetición y procede a aplicar la fórmula de combinación para encontrar la respuesta de 120 formas posibles para seleccionar el comité.

05:02

📊 Elección de presidente, vicepresidente y secretario: ejercicio de variación

El segundo ejercicio plantea la selección de un presidente, vicepresidente y secretario de un grupo de diez estudiantes. Aquí sí importa el orden, ya que los roles son distintos. Se explica que al tratarse de un caso donde el orden es importante pero no se utilizan todos los elementos, se está frente a una variación sin repetición. El presentador utiliza el método de las cajitas, contando 10 opciones para presidente, 9 para vicepresidente y 8 para secretario. El resultado es 720 maneras diferentes de seleccionar a los tres estudiantes, lo cual también se verifica aplicando la fórmula de variación.

10:03

🚗 Ubicación de autos en un estacionamiento: ejercicio de permutación

El tercer ejercicio trata de ubicar cuatro autos en una fila dentro de un estacionamiento. Aquí, importa el orden, ya que los autos no ocupan la misma posición, por lo que es un caso de permutación. Utilizando el método de las cajitas, se resuelve rápidamente, mostrando que hay 4 opciones para el primer auto, 3 para el segundo, 2 para el tercero y 1 para el último, lo que da un total de 24 maneras de acomodar los autos. El presentador también usa la fórmula de permutación (4 factorial) para confirmar el resultado.

15:03

🏆 Ejercicio adicional: campeonato con campeón y subcampeón

El último ejercicio propuesto para que los espectadores lo resuelvan por su cuenta consiste en un campeonato de ocho equipos donde se premia al campeón y subcampeón. Se explica que, como sí importa el orden de los premios, se trata de una variación de 2 entre 8. Usando el método de las cajitas, se llega a la respuesta de 56 formas diferentes de asignar los premios. El presentador concluye la clase invitando a los espectadores a suscribirse y seguir el curso completo.

Mindmap

Keywords

💡Combinación

Una combinación es una selección de elementos donde no importa el orden. En el video, se da un ejemplo de un comité de tres estudiantes seleccionados de un grupo de diez, donde no es relevante si un estudiante es elegido primero, segundo o tercero, ya que todos desempeñan el mismo rol.

💡Permutación

Una permutación es una disposición de elementos donde sí importa el orden. En el video, se explica cómo elegir un presidente, vicepresidente y secretario de un grupo de estudiantes, donde el orden en que son seleccionados es importante porque cada uno tiene un rol diferente.

💡Variación

Una variación es una disposición de elementos donde importa el orden, pero no se usan todos los elementos disponibles. En el video, se menciona como ejemplo la selección de tres estudiantes para ocupar cargos específicos (presidente, vicepresidente, secretario) en un grupo de 10, donde no todos son seleccionados.

💡Factorial

El factorial de un número es el producto de todos los números enteros positivos hasta dicho número. En el video, se usa para calcular combinaciones, permutaciones y variaciones, como cuando se calcula 10 factorial (10!) para determinar el número total de maneras de organizar o seleccionar elementos.

💡Sin repetición

El concepto de 'sin repetición' implica que un elemento no puede ser seleccionado más de una vez. En el video, esto se aplica en todos los ejercicios, como al seleccionar estudiantes o posiciones en una fila, donde un mismo estudiante o auto no puede ocupar dos lugares diferentes.

💡Método de las cajitas

El método de las cajitas es una técnica visual para resolver ejercicios de variaciones y permutaciones. Consiste en dibujar casillas que representan los lugares a ocupar y luego llenar esas casillas con las posibles opciones. En el video, se usa este método para organizar a los estudiantes en diferentes roles o posiciones.

💡N factorial

N factorial (n!) es una función matemática que multiplica todos los números enteros desde n hasta 1. En el video, se usa para calcular el número total de formas en que se pueden seleccionar o organizar estudiantes, como cuando se resuelve una permutación o variación.

💡Importancia del orden

La importancia del orden es clave para diferenciar entre combinaciones y permutaciones. En el video, se destaca que en combinaciones no importa el orden de selección, pero en permutaciones sí, como cuando se asignan roles específicos como presidente o vicepresidente, donde el orden sí afecta.

💡Comité

Un comité es un grupo de personas seleccionadas para un propósito específico. En el video, se usa como ejemplo cuando se selecciona un comité de tres estudiantes para representar a un grupo más grande, donde se discute si el orden en que son seleccionados es relevante o no.

💡Método de simplificación

El método de simplificación es una técnica usada para reducir cálculos complejos, como cuando se simplifican factoriales para hacer más manejables las operaciones matemáticas. En el video, se usa al simplificar 10 factorial con 7 factorial, lo que permite resolver los ejercicios más eficientemente.

Highlights

Este video resuelve ejercicios de combinaciones, permutaciones y variaciones sin repetición.

Explicación del concepto de combinaciones sin repetición: No importa el orden de selección.

Primer ejercicio: Selección de un comité de tres estudiantes de un grupo de 10, usando combinaciones sin repetición.

Demostración de cómo utilizar la fórmula de combinaciones para resolver el problema del comité.

Explicación del cálculo de 10 factorial sobre 3 factorial y 7 factorial para resolver el primer ejercicio.

Segundo ejercicio: Selección de presidente, vicepresidente y secretario en un grupo de 10 estudiantes, utilizando variaciones ya que importa el orden.

Demostración de cómo utilizar el método de las cajitas para calcular variaciones y permutaciones.

Explicación de cómo eliminar términos factoriales al simplificar las operaciones matemáticas en variaciones.

Tercer ejercicio: Ubicación de cuatro autos en fila, explicando cómo utilizar permutaciones, ya que se utilizan todos los elementos y el orden importa.

Explicación de cómo realizar el cálculo de permutaciones con la fórmula de n factorial.

Demostración del uso del método de las cajitas para permutaciones, con ejemplos prácticos de la fila de autos.

Análisis de la diferencia entre variaciones y permutaciones, donde en ambos casos importa el orden pero varía si se usan todos los elementos.

Resumen final sobre la importancia de identificar si el orden importa o no en los problemas de combinatoria.

Ejercicio adicional para que los estudiantes practiquen: ¿De cuántas maneras se pueden ganar los premios de campeón y subcampeón en un campeonato de 8 equipos?

Instrucciones finales para los estudiantes: Cómo practicar y mejorar resolviendo ejercicios de combinatoria por su cuenta.