03. Raíz sexta de 2, resuelta por método de Newton Raphson

MateFacil

20 Mar 201906:58

Summary

TLDREste vídeo enseña cómo calcular la raíz sexta de 2 con precisión de 8 decimales usando el método de Newton-Raphson. Se explica el proceso paso a paso, comenzando con la función f(x) = x^6 - 2 y buscando el valor de x que haga que f(x) = 0. Se sugiere una primera aproximación de x=1 y seguidamente se aplica la fórmula de Newton-Raphson repetidamente hasta obtener una solución estable con 8 cifras decimales. Además, se motiva a los espectadores a intentar resolver otros problemas similares y se les anima a interactuar con el canal.

Takeaways

🔢 El vídeo enseña cómo calcular la raíz sexta de 2 con una precisión de 8 decimales.
📚 Se utiliza el método de Newton-Raphson para encontrar la aproximación.
📐 Se recomienda ver videos anteriores para comprender mejor este método.
🔍 Se define una función f(x) = x^6 - 2 para encontrar la raíz sexta de 2.
📉 Se calcula la derivada de la función f(x) = 6x^5 para el método de Newton-Raphson.
📌 Se sugiere que la primera aproximación puede ser x = 1 o x = 2.
🔄 Se aplica la fórmula de Newton-Raphson repetidamente para mejorar la aproximación.
🔄 Se obtiene x2, x3, x4, x5, x6 y x7 hasta que los decimales se mantienen fijos.
📊 Se enfatiza que el método de Newton-Raphson es útil para resolver ecuaciones donde se busca la intersección de funciones.
👍 Se anima a los espectadores a intentar el procedimiento por sí mismos y se invita a suscribirse y compartir el contenido.

Q & A

¿Qué método se utiliza en el vídeo para calcular la raíz sexta de 2 con 8 cifras decimales de precisión?
-Se utiliza el método de Newton-Raphson para calcular la raíz sexta de 2 con la precisión requerida.
¿Cuál es la función f(x) que se usa en el método de Newton-Raphson para encontrar la raíz sexta de 2?
-La función f(x) utilizada es f(x) = x^6 - 2, donde se busca el valor de x que haga que f(x) sea igual a 0.
¿Cómo se determina la derivada de la función f(x) = x^6 - 2 para aplicar el método de Newton-Raphson?
-La derivada de la función f(x) = x^6 - 2 es f'(x) = 6x^5.
¿Cuál es la primera aproximación de x que se toma en el vídeo para calcular la raíz sexta de 2?
-La primera aproximación de x que se toma es 1.
¿Cuál es la fórmula que se aplica repetidamente en el método de Newton-Raphson para mejorar la aproximación de x?
-La fórmula aplicada repetidamente es x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n).
¿Cuál es el resultado de f(1) en la función f(x) = x^6 - 2?
-El resultado de f(1) es 1^6 - 2, que es -1.
¿Cuál es el resultado de f(2) en la función f(x) = x^6 - 2?
-El resultado de f(2) es 2^6 - 2, que es 64 - 2, dando como resultado 62.
¿Dónde debe estar el resultado de la raíz sexta de 2 si se prueba con valores entre 1 y 2?
-El resultado de la raíz sexta de 2 debe estar entre 1 y 2, ya que 1^6 = 1 y 2^6 = 64, y se busca un número cuya sexta potencia sea 2.
¿Cuál es la importancia de que los últimos decimales se queden fijos en el proceso de Newton-Raphson?
-La importancia de que los últimos decimales se queden fijos indica que ya se ha alcanzado una aproximación con la precisión deseada, en este caso, 8 cifras decimales.
¿Cómo se puede generalizar el método de Newton-Raphson para resolver otras ecuaciones no necesariamente exponenciales?
-El método de Newton-Raphson puede generalizarse para resolver otras ecuaciones al seguir el mismo procedimiento: pasar todos los términos al lado izquierdo para que quede igual a 0, calcular la derivada, elegir una primera aproximación y aplicar repetidamente la fórmula hasta alcanzar la precisión deseada.

Outlines

00:00

📐 Introducción al Método de Newton-Raphson

En este primer párrafo, se presenta el método de Newton-Raphson para calcular la raíz sexta de 2 con una precisión de 8 decimales. Se explica que el método implica encontrar un valor de x que satisface la ecuación f(x) = 0, donde f(x) = x^6 - 2. Se sugiere que la raíz sexta de 2 debe estar entre 1 y 2, y se toma como primera aproximación x1 = 1. Se procede a calcular la segunda aproximación, x2, utilizando la fórmula del método de Newton-Raphson y calculando la derivada de f(x), que es 6x^5. Se sustituye x1 en la fórmula y se lleva a cabo el cálculo para obtener x2, que es una mejor aproximación a la raíz sexta de 2.

05:00

🔍 Proceso Iterativo y Aplicaciones del Método de Newton-Raphson

Este segundo párrafo describe el proceso iterativo del método de Newton-Raphson para refinar la aproximación de la raíz sexta de 2. Se continúa con la obtención de x3, x4, x5 y x6, observando que a medida que se aplican las iteraciones, los decimales se mantienen fijos, lo que indica que se ha alcanzado la precisión deseada de 8 cifras decimales. Además, se menciona que el método de Newton-Raphson es útil para resolver otras ecuaciones y encontrar intersecciones entre funciones, como se ilustra con la ecuación 4 - x^2. Se anima a los espectadores a intentar el procedimiento por sí mismos y se les invita a ver el siguiente vídeo para un procedimiento completo. Finalmente, se agradece el apoyo de los espectadores y se les pide que den like, se suscriban y compartan los videos.

Mindmap

Keywords

💡Método de Newton-Raphson

El Método de Newton-Raphson es un algoritmo de iteración utilizado para encontrar aproximaciones de las raíces de una función. En el vídeo, se usa este método para calcular la raíz sexta de 2 con una precisión de 8 cifras decimales. Se menciona que el método consiste en aplicar una fórmula que involucra la función y su derivada para obtener una mejor aproximación en cada iteración.

💡Raíz sexta

La raíz sexta de un número es el número que, elevado al sexto poder, resulta en el número original. En el vídeo, el objetivo es encontrar la raíz sexta de 2, es decir, el número x tal que x^6 = 2. Esto se relaciona con el Método de Newton-Raphson para encontrar la aproximación numérica de esta raíz.

💡Exactitud

La exactitud en este contexto se refiere a la precisión con la que se busca una solución numérica. El vídeo menciona la necesidad de alcanzar una exactitud de 8 cifras decimales, lo cual es un estándar común para soluciones numéricas precisas en problemas matemáticos.

💡Función f(x)

En el Método de Newton-Raphson, se requiere una función f(x) cuyo cero se desee encontrar. En el vídeo, la función f(x) es definida como x^6 - 2, y el objetivo es encontrar el valor de x que satisface f(x) = 0, es decir, la raíz sexta de 2.

💡Derivada

La derivada de una función es una medida de la tasa de cambio de la función. En el vídeo, se calcula la derivada de la función f(x) = x^6 - 2, que resulta en 6x^5, para usarla en la fórmula del Método de Newton-Raphson.

💡Aproximación

Una aproximación es una estimación de un valor o resultado. En el vídeo, se toman aproximaciones iniciales de la raíz sexta de 2 (por ejemplo, x = 1) y se mejoran mediante el Método de Newton-Raphson hasta alcanzar la precisión deseada.

💡Iteración

Las iteraciones son el proceso de repetir un cálculo o una acción varias veces para mejorar una aproximación. En el vídeo, se realizan múltiples iteraciones del Método de Newton-Raphson para mejorar la aproximación de la raíz sexta de 2.

💡Redondeo

El redondeo es el proceso de ajustar un número a un cierto número de decimales. En el vídeo, se menciona el redondeo de los resultados intermedios para obtener la aproximación con 8 cifras decimales de la raíz sexta de 2.

💡Intersección de funciones

La intersección de funciones es el punto o puntos donde dos funciones se cruzan. Aunque no se trata directamente en el vídeo, el Método de Newton-Raphson puede ser utilizado para encontrar intersecciones, como se sugiere al final del vídeo al mencionar resolver ecuaciones donde se buscan intersecciones geométricas.

💡Pasión

Pasión se menciona en el contexto de agradecimiento a los seguidores del canal. Aunque no es un término técnico relacionado con el Método de Newton-Raphson, refleja la motivación y el entusiasmo del presentador por la matemática y por compartir conocimientos, lo cual es parte del mensaje y la temática del vídeo.

Highlights

Objetivo del vídeo: Calcular una aproximación para la raíz sexta de 2 con 8 cifras decimales de exactitud.

Método utilizado: Método de Newton-Raphson para encontrar la raíz.

Función f(x) utilizada: f(x) = x^6 - 2, donde buscamos x tal que f(x) = 0.

Primera aproximación de x: 1, basada en que la raíz sexta de 2 está entre 1 y 2.

Proceso de iteración para mejorar la aproximación de x utilizando la fórmula de Newton-Raphson.

Cálculo de la derivada de la función f(x) = 6x^5.

Aplicación de la fórmula de Newton-Raphson con la primera aproximación x1 = 1.

Resultado de la segunda aproximación x2, calculada a partir de x1.

Continuación del proceso para obtener la tercera aproximación x3.

Obtención de la cuarta aproximación x4, mostrando una convergencia en los primeros decimales.

Cálculo de la quinta aproximación x5, donde los primeros cuatro decimales son iguales a los de x4.

Seisava aproximación x6, donde ya no hay cambios en los decimales, indicando una aproximación estable.

Séptima aproximación x7, confirmando la estabilidad de los decimales y la precisión requerida.

Conclusión de que la aproximación alcanza 8 cifras decimales de exactitud.

Invitación a los espectadores a verificar los resultados y aplicar el método en otros problemas.

Aplicación del método de Newton-Raphson para resolver ecuaciones con funciones exponenciales.

Sugerencia de intentar resolver una ecuación con 4 cifras decimales de exactitud.

Gracias y apoyo a los espectadores que han apoyado el canal.