Ecuación de Van der Waals (Volumen - Newton Raphson)

Summary

En este video, Nayeli explica paso a paso cómo aplicar la ecuación de Van der Waals para calcular el volumen específico del vapor de agua a una presión de 20,000 kilopascales y una temperatura de 673.15 K. Comienza por proporcionar las constantes necesarias y la ecuación de Van der Waals, y luego muestra cómo calcular los valores de las constantes 'a' y 'b'. Para resolver la ecuación cúbica resultante, utiliza el método numérico de Newton-Raphson. Tras varias iteraciones, obtiene un volumen específico de 0.1039 m³/kg con un error de solo el 0.09%.

Takeaways

• 😀 Se explicó cómo aplicar la ecuación de Van der Waals para calcular el volumen específico del vapor de agua en condiciones de presión y temperatura dadas.
• 😀 Se usó el método numérico de Newton-Raphson para resolver la ecuación cúbica derivada de la ecuación de Van der Waals, dado que no se podía despejar algebraicamente la variable.
• 😀 La ecuación de Van der Waals es una ecuación cúbica, lo que hace necesario el uso de un método numérico como el de Newton-Raphson para encontrar la solución.
• 😀 Se mostró cómo obtener las constantes 'a' y 'b' para el vapor de agua usando las tablas de propiedades críticas, como la temperatura crítica y la presión crítica.
• 😀 Se discutió cómo calcular la constante 'a' usando la fórmula proporcionada y se detallaron las unidades y la simplificación dimensional durante el proceso.
• 😀 Se detalló el proceso de encontrar el valor de 'b' usando la fórmula correspondiente y explicando las unidades involucradas.
• 😀 La importancia de la constante de gas 'R' fue destacada, mencionando que debe obtenerse de tablas termodinámicas específicas para cada sustancia.
• 😀 Se explicó cómo manipular la ecuación de Van der Waals para eliminar denominadores y facilitar la resolución de la ecuación cúbica.
• 😀 Se presentó cómo se organiza y simplifica la ecuación cúbica resultante para poder aplicar el método de Newton-Raphson de manera efectiva.
• 😀 Finalmente, se llevó a cabo la iteración del método de Newton-Raphson para encontrar el volumen específico con un error aceptable de aproximadamente 0.09% tras varias iteraciones.

Q & A

¿Qué es la ecuación de Van der Waals y para qué se utiliza en este video?

La ecuación de Van der Waals es una ecuación cúbica que se utiliza para calcular el volumen específico de un gas real, considerando la interacción entre las moléculas y el volumen ocupado por ellas, a diferencia de la ecuación de gases ideales. En el video, se aplica esta ecuación para calcular el volumen específico del vapor de agua a una temperatura y presión dadas.

¿Por qué es necesario aplicar un método numérico en la ecuación de Van der Waals?

La ecuación de Van der Waals es una ecuación cúbica que no puede resolverse algebraicamente de manera directa para obtener el volumen específico. Por esta razón, se necesita aplicar un método numérico, en este caso, el método de Newton-Raphson, para encontrar la solución de la ecuación.

¿Qué es el método de Newton-Raphson y cómo se utiliza en este video?

El método de Newton-Raphson es un método iterativo utilizado para encontrar las raíces de una ecuación. En este video, se aplica para resolver la ecuación cúbica derivada de la ecuación de Van der Waals. Se inicia con un valor inicial y luego se realizan iteraciones hasta obtener una solución precisa con un error aceptable.

¿Qué datos proporciona el ejercicio para resolver el problema de volumen específico?

El ejercicio proporciona la presión de 20,000 kPa, la temperatura de 673.15 K (que es la temperatura de vapor de agua), y la ecuación de Van der Waals para resolver el volumen específico del vapor de agua.

¿Cuáles son las constantes que aparecen en la ecuación de Van der Waals y cómo se calculan?

Las constantes en la ecuación de Van der Waals son 'a' y 'b'. La constante 'a' se calcula con una fórmula que depende de la temperatura crítica, la presión crítica y la constante del gas. La constante 'b' se calcula utilizando la temperatura crítica y la presión crítica, y sus unidades son metros cúbicos por kilogramo.

¿Qué unidades se utilizan en la ecuación de Van der Waals y cómo se analizan?

Las unidades de la constante 'a' son kilopascales por metros a la sexta potencia sobre kilogramos cuadrados, y las unidades de la constante 'b' son metros cúbicos por kilogramo. En el video, se realiza un análisis dimensional detallado para verificar que las unidades sean correctas y consistentes a lo largo de los cálculos.

¿Cómo se derivó la ecuación cúbica en el video?

La ecuación original de Van der Waals se multiplica por factores como 'b - b' y 'b²' para eliminar denominadores y facilitar la derivación. Luego, se reorganiza la ecuación resultante, simplificando términos y llevando la ecuación a su forma estándar para su solución mediante el método de Newton-Raphson.

¿Por qué se multiplica la ecuación por factores como 'b - b' y 'b²'?

Estos factores se multiplican para eliminar los denominadores y facilitar el proceso de derivación y resolución de la ecuación. Esto simplifica la forma cúbica de la ecuación y la hace más manejable para su posterior resolución numérica.

¿Qué importancia tiene el valor obtenido con la ecuación de los gases ideales en el método de Newton-Raphson?

El valor obtenido con la ecuación de los gases ideales, que es 15.53 x 10^-3 m³/kg, se utiliza como valor inicial en el método de Newton-Raphson. Este valor sirve como punto de partida para las iteraciones, permitiendo aproximar la solución al volumen específico más exacto.

¿Cómo se calcula el error en el método de Newton-Raphson y por qué es importante?

El error se calcula utilizando la fórmula de error absoluto, que es la diferencia entre el valor actual y el valor anterior, dividido por el valor actual y multiplicado por 100. Es importante porque nos indica cuán cerca estamos de la solución exacta y nos ayuda a decidir cuándo detener las iteraciones, cuando el error es suficientemente pequeño.