Métodos Numéricos: Newton Raphson
Summary
TLDREl método numérico de Newton-Raphson se explica en este guion para encontrar raíces de una función. Se describe como un método iterativo que aproxima progresivamente a la respuesta deseada. Se ilustra con un ejemplo gráfico, donde se trazan líneas verticales y tangentes para aproximarse a la raíz. Posteriormente, se aborda el análisis matemático, definiendo la ecuación de la recta tangente y cómo se utiliza para hallar la siguiente aproximación. El proceso se automatiza mediante una fórmula que se aplica repetidamente para acercarse al valor real de la raíz.
Takeaways
- 🔍 El método numérico de Newton-Raphson se utiliza para encontrar raíces de una función.
- 🔄 Este método es iterativo, lo que significa que se acerca progresivamente a la solución deseada.
- 📈 Se inicia seleccionando un valor inicial para las iteraciones que se utilizará como punto de partida.
- 📊 Se grafica la función y se trazan líneas verticales y tangentes para aproximarse a la raíz.
- 📐 Se busca la intersección de la recta tangente con el eje X, que representa la siguiente iteración.
- 📉 El proceso se repite hasta que las iteraciones se acercan lo suficiente al valor real de la raíz.
- 📝 Es importante que el valor inicial esté lo suficientemente cerca de la raíz para una convergencia rápida.
- 🧮 La ecuación de la recta tangente se obtiene a partir de la pendiente de la función en el punto actual.
- 📖 La fórmula para la siguiente iteración es (x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)), donde f'(x_n) es la derivada de la función en x_n.
- 🔢 La convergencia del método depende de la elección del punto inicial y de las propiedades de la función.
Q & A
¿Qué método numérico se discute en el guion?
-Se discute el método numérico de Newton-Raphson, utilizado para encontrar raíces de una función.
¿Cómo se describe el método de Newton-Raphson en el guion?
-El método de Newton-Raphson es un método iterativo que se acerca progresivamente a la respuesta deseada, aproximándose geométricamente a la raíz de la función.
¿Qué es la primera iteración en el método de Newton-Raphson según el guion?
-La primera iteración es un punto arbitrario que se escoge como punto de partida para las iteraciones.
¿Cómo se determina la intersección de la función con la línea vertical en el proceso iterativo?
-Se traza una línea vertical desde el punto de partida y se encuentra su intersección con la función para determinar el siguiente punto.
¿Cuál es el propósito de la recta tangente en el método de Newton-Raphson?
-La recta tangente es utilizada para aproximar la función en el punto de intersección con la línea vertical, y se usa para determinar la siguiente iteración.
¿Cómo se calcula la pendiente de la recta tangente en el método de Newton-Raphson?
-La pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la función evaluada en el punto de iteración actual.
¿Cómo se relaciona la intersección de la recta tangente con el eje x con la siguiente iteración?
-La intersección de la recta tangente con el eje x da como resultado la siguiente aproximación del valor de la raíz en la siguiente iteración.
¿Qué es la fórmula general para la siguiente iteración en el método de Newton-Raphson?
-La fórmula general para la siguiente iteración es \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \), donde \( f'(x_n) \) es la derivada de la función evaluada en \( x_n \).
¿Qué importancia tiene el valor inicial en el proceso de convergencia del método de Newton-Raphson?
-El valor inicial es crucial para la convergencia rápida del método, ya que un valor cercano a la raíz puede reducir el número de iteraciones necesarias.
¿Cómo se puede mejorar la precisión del método de Newton-Raphson según el guion?
-Se puede mejorar la precisión realizando más iteraciones hasta que el valor de la raíz se aproxime lo suficiente al valor real deseado.
Outlines
🔍 Introducción al Método Numérico de Newton-Raphson
El primer párrafo introduce el Método Numérico de Newton-Raphson, una técnica iterativa para encontrar raíces de una función. Se describe el proceso de aproximación progresiva a la solución deseada a través de iteraciones. Se ejemplifica con una función gráfica en color negro y se explica el proceso de selección de un punto inicial para comenzar las iteraciones. Se utiliza un enfoque geométrico para aproximar la raíz de la función, trazando líneas verticales y tangentes para encontrar puntos de intersección que se utilizan en las siguientes iteraciones. El objetivo es ilustrar visualmente cómo se acercan a la raíz deseada con cada iteración.
📐 Análisis Geométrico del Método de Newton-Raphson
En el segundo párrafo, se profundiza en el análisis geométrico del método, donde se define la primera iteración con un punto inicial 'x'. Se describe el proceso de trazado de líneas verticales y tangentes para encontrar la intersección con el eje X, que representa la siguiente iteración. Se enfatiza la importancia de la pendiente de la recta tangente, que es igual a la derivada de la función evaluada en el punto actual. Se establece la fórmula para la recta tangente y se explica cómo se utiliza para encontrar la siguiente aproximación a la raíz. Se resalta la precisión necesaria para que el proceso converja rápidamente, dependiendo del punto inicial seleccionado.
🧮 Formulación Matemática del Método de Newton-Raphson
El tercer párrafo se centra en la formulación matemática del método. Se detalla el proceso de encontrar la ecuación de la recta tangente a partir de la derivada de la función y las coordenadas del punto actual. Se introduce la fórmula general para la recta tangente y se explica cómo se utiliza para determinar la siguiente iteración. Se despeja la ecuación para encontrar la nueva aproximación 'x' al valor de la raíz. Se resalta la iteración como un proceso incremental que se repite para acercarse al valor real de la raíz de la función, utilizando la fórmula obtenida.
Mindmap
Keywords
💡Método numérico de Newton
💡Iterativo
💡Aproximación geométrica
💡Pendiente
💡Derivada
💡Recta tangente
💡Intersección
💡Ecuación
💡Converger
💡Valor inicial
Highlights
El método numérico de Newton-Raphson se utiliza para encontrar raíces de una función.
Es un método iterativo que aproxima progresivamente a la respuesta deseada.
Se inicia seleccionando un valor para la primera iteración.
El proceso se ejemplifica gráficamente con una función y luego se analiza matemáticamente.
Se traza una línea vertical desde el punto de inicio y se encuentra su intersección con la función.
Se dibuja una recta tangente a la función en el punto de intersección.
La intersección de la recta tangente con el eje X es el siguiente punto de iteración.
El proceso se repite, aproximando cada vez más al valor de la raíz buscada.
La velocidad de convergencia depende del valor inicial de las iteraciones.
Se analiza gráficamente cómo las iteraciones se aproximan rápidamente a la raíz.
Se pasa al análisis matemático para automatizar el proceso.
Se define la ecuación de la recta tangente utilizando la pendiente y el punto de la función.
La pendiente de la recta tangente es la derivada de la función evaluada en el punto actual.
Se resuelve la intersección de la recta tangente con el eje X para encontrar el siguiente punto de iteración.
Se obtiene una fórmula iterativa para aproximar la raíz de la función.
La fórmula iterativa es x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n).
Se enfatiza la importancia de elegir un valor inicial cercano a la raíz para una rápida convergencia.
El método de Newton-Raphson es una herramienta poderosa para resolver ecuaciones numéricamente.
Transcripts
vamos a analizar el método numérico de
newton rap song que se utiliza para
encontrar raíces de una función
este método es un método iterativo lo
cual nos indica que vamos a ir
aproximándonos a la respuesta que
deseamos poco a poco
en este caso ejemplificar hemos primero
de manera gráfica con esta función que
tenemos aquí pintada negro y después
vamos a pasar al análisis que nos
permite encontrar una expresión para
automatizar el proceso para llegar a la
respuesta empezamos el método de newton
upson es un método es un método
interactivo donde nosotros vamos a
seleccionar el valor con el que estas
iteraciones van a empezar en este caso
yo es la primera iteración lo tengo aquí
como un punto el cual puede tomar
cualquier valor que yo desee no la
intención aquí es aproximarnos de manera
geométrica como lo van a ver a esta
coordenada que es la raíz de la función
el proceso es el siguiente teniendo este
punto como punto de partida vamos a
trazar una línea vertical
y encontrar la intersección de esta
línea con la función una vez que hemos
logrado encontrar ese punto vamos a
trazar una línea una línea una recta
tangente a la función que pase por esta
coordenada en este caso es la pequeña
línea que se está pintando aquí con de
color verde tema lo que sigue es
encontramos ahora la intersección de
esta recta con el eje x este punto que
se está marcando aquí va a ser mi
siguiente iteración justamente vamos a
ocultar esta recta antes lo vamos a
necesitar vamos a ocultar también esta
otra y enfoquémonos en esta nueva
coordenada
vamos a volver a repetir el proceso
vamos a trazar una línea vertical que
pase por este punto vamos a encontrar la
intersección de esta línea vertical con
la función
ahí está es el puntito que se acaba de
marcar y trazamos una recta tangente a
la función que pase por esta coordenada
de nueva cuenta se alcanza a marcar con
este color con este color verde tenue
mostrándonos el valor de nuestra
siguiente iteración quiero que veas cómo
nos vamos aproximando poco a poco al
valor que nosotros deseamos encontrar
que es esta raíz que vamos a ocultar
otra vez esta línea también esta otra
recta enfoquémonos ahora en este puntito
y repitamos el proceso trazamos una
línea vertical y encontramos la
intersección de esta línea con esta
función de nueva cuenta trazamos ahora
la recta tangente a la función en esta
coordenada
de esta manera
encontramos ahora esta intersección que
la vamos a marcar
vamos a ocultar otra vez esta línea más
que nada para que no se nos satura aquí
en el área de trabajo de rectas y
repetimos el proceso ahora tomando como
referencia este punto trazamos una línea
vertical esta línea vertical va a tener
una intersección con la función la cual
nos permite encontrar la ecuación de una
recta tangente listo donde el cruce de
esta recta de esta recta nueva que acabo
de que acabo de trazar se va aproximando
al valor de la raíz que en este caso es
un 5 se va aproximando poco a poco
nosotros podríamos continuar haciendo
más y más iteraciones hasta llegar
justamente a que el valor de la raíz se
aproxima a 5 que es el valor real
cuáles son las iteraciones que se están
efectuando este puntito este puntito
este puntito este puntito estos tres que
están en rojo y por último este verde
serían las iteraciones que se están
generando quiero que observes como si yo
cambio
observa presta atención a los puntos que
están sobre el eje x voy a ocultar este
y voy a ocultar este otro quiero que
observes como si yo hacer q
el valor inicial de las iteraciones las
siguientes iteraciones justamente se
aproximan cada vez más rápido
a la raíz que deseamos encontrar y
entonces eso nos habla de que para que
pueda converger rápido nuestro
procedimiento el valor inicial debe de
ser lo más cercano posible a la raíz
y analizado esto ya el aspecto gráfico
el aspecto geométrico vamos ahora a
pasar al lado matemático entonces aquí
les estoy mostrando otra vez nuestra
función esta línea que está en blanco es
la función f x y este puntito que estoy
marcando aquí sería nuestra primera
iteración vamos a definirla por ahora
como x bien entonces aquí
esto es xy recuerden que en el proceso
lo que hacíamos era trazar una línea
vertical que pasara justamente por este
punto después ubicábamos la intersección
de esta línea con la función
mientras estábamos por aquí una recta
tangente entonces vamos aquí a marcar
esa recta tangente más o menos quedaría
a preguntar me queda volver a dibujar
más o menos quedaría de esta forma ahora
aquí nos interesa analizar cuáles son
las coordenadas que están involucradas
imagina que este valor o este este punto
en lugar de ser xy es un 5 aunque la
coordenada que estaría de la que
estaríamos hablando acá sería 5 coma la
función evaluada justamente en 5
esta función pues aparece de este lado
si el valor de xy fueron 9 entonces
estaríamos hablando de que aquí sería 9
la función evaluada en 9
en este caso no es un número lo tenemos
aquí como esta variable por lo que
podemos
hay que concluir que esa coordenadas
sería xy
como la función evaluada en
xy ahí está ahora la recta que atrás sea
aquí es de color de color verde no es
cualquier recta es una recta tangente
están gente a la función en esta
coordenada vamos a encontrar ahora la
ecuación justamente de esa recta
vamos a aprovechar ahí un poquito lo que
lo que conocemos de geometría analítica
para definir que la ecuación de una
recta se encuentra con esta expresión
que menos se primen guarda la pendiente
de x-men os x prima
y listo
exprima x1 y 1 vendría siendo una
coordenada por la que pasa la función o
la recta en este caso y m sería la
pendiente de la recta
nuestro punto o nuestra coordenada x 1 y
1 sería esto entonces esto es nuestro
punto x 1 coma
la pregunta cuál es la pendiente la
pendiente debido a que esta recta es
tangente a la función la pendiente sería
la derivada importante
la pendiente es la derivada de la
función evaluada justamente en x
ya tenemos que es la pendiente ya
tenemos las coordenadas x 1 y 1 vamos a
sustituir las en nuestra ecuación de la
recta tendríamos de menos 10 prima
entonces observa esto sería x1x prima
esto sería mi prima entonces menos
de x iguala el valor de la pendiente que
en este caso es la derivada evaluada en
xy efe prima de xy que multiplica a x
menos en lugar de eso no sería x
esta es la ecuación de esta recta de la
recta que tenemos aquí marcada en verde
y así la queremos poner un poquito más
bonito pues podremos escribirla como f
prima de xy que multiplica a x menos xy
más la función evaluada
xy ahora recordando lo que hacíamos un
poquito acá
una vez que encontrábamos la recta
tangente encontrábamos la intersección
de esa recta con el eje x que entonces
en esta parte sabemos que esta
coordenada es justamente la intersección
que yo deseo encontrar de estas
coordenadas dejando nada más lo voy a
apuntar acá
las líneas de esta coordenada yo sé
que el valor de iu es cero y nada más
faltaría saber
el valor de la equis para este punto
como vamos a hallarlo bueno nosotros
observando la ecuación de la recta que
se obtuvo en esta parte
acabamos de definir que debe de valer
cero pues vamos a poner aquí sustituir
el cero igual a efe prima de x y por x
menos xy más la función evaluada en xy
que es lo que queremos encontrar cuál es
el valor de esta x ésta es
lo que queremos encontrar y por ende lo
que vamos a despejar haciendo el despeje
pertinente encontraríamos lo siguiente
vamos a tener aquí menos
efe
xy observen que no iba a ser necesario
por ahí despejar por ahí igual a efe
prima de xy que multiplica a x - x y
ahora vamos a acomodar esto como - efe
xy
/ efe prima
de x si esto es igual a x menos xy y ya
por último vamos a ponerlo ya por último
nos quedaría que x os-9 presencial de
ese nuevo puntos en la intersección es
igual a xy menos el caso aquí semana
pasando menos la función de evaluada en
xy / efe prima
de x si esta x no simplemente es una
equis ok es la siguiente iteración si
esta era la primera iteración x igual a
1 entonces este puntito sería x2 si esta
era la segunda iteración sería en la
tercera la tercera iteración si esta era
la quinta iteración estaríamos hablando
de que este punto es la sexta iteración
si este punto es la ie sin alteración
entonces esta coordenada sería la décima
más una iteración entonces aquí marcamos
x y más uno es igual a la expresión que
tenemos acá y es justamente esta
expresión o esta ecuación la que nos
permite ir encontrando de manera gradual
el valor aproximado de manera gradual al
valor de la raíz de nuestra función
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