FOURIER SERIES LECTURE 2 | STUDY OF FORMULAS OF FOURIER SERIES AND PERIODIC FUNCTION
Summary
TLDRThis educational video from the Akaademy YouTube channel focuses on the definition of periodic functions and the formula for Fourier series. The instructor explains the criteria for a function to be periodic, using the example of f(x) and its period T. They also cover the necessary conditions for a function to have a Fourier series, known as Dirichlet's conditions. The video then delves into the standard formula for Fourier series, explaining how to calculate the coefficients a_n and b_n. The instructor emphasizes the importance of understanding these concepts to solve problems involving Fourier series effectively.
Takeaways
- 😀 The video is part of a series on the topic of Fourier Series, specifically focusing on the definition of periodic functions and the formula for Fourier Series.
- 📚 The audience is expected to have a basic understanding of the previous lectures on the topic, including the definition of Fourier Series and its basic points.
- 🔢 A function f(x) is defined as periodic if f(x + T) = f(x) for every x in its domain, where T is a positive constant called the period.
- 🌐 The concept of the period T is crucial, and functions like sin(x) and cos(x) are given as examples of periodic functions with a period of 2π.
- 📐 The video emphasizes the importance of satisfying certain conditions, known as Dirichlet's conditions, for a function to have a Fourier Series.
- 🔑 Dirichlet's conditions include the function being single-valued, having a finite number of discontinuities, and a finite number of extrema within any period.
- 📘 The formula for the Fourier Series is provided, which includes terms for a0/2, and the sum of an and bn coefficients multiplied by cos(nπx/L) and sin(nπx/L) respectively.
- 🔍 The video explains how to find the coefficients an and bn through integration over the interval [c, c + 2L], where c and L are specific values related to the period.
- 📊 The script provides an example to illustrate how changes in the period affect the formula for the Fourier Series coefficients.
- 🎓 The video concludes by summarizing the key points covered, including the definition of periodic functions and the Fourier Series formula, and encourages the audience to note these down for future reference.
Q & A
What is the main topic of the video?
-The main topic of the video is the study of periodic functions and the Fourier series formula.
What is a periodic function?
-A periodic function is defined as a function f(x) that satisfies the condition f(x + T) = f(x) for some positive constant T, called the period.
What are the conditions for a function to be considered periodic?
-A function is considered periodic if it satisfies the condition f(x + T) = f(x) for all x in its domain, where T is a positive constant.
What is the period T in the context of the video?
-In the video, the period T is a positive constant that defines the repeating interval of a periodic function.
What are the Dirichlet conditions mentioned in the video?
-The Dirichlet conditions are three criteria that a function must satisfy to have a Fourier series. They include: 1) The function must be single-valued, 2) The function must have a finite number of discontinuities, and 3) The function must have a finite number of extrema in any interval.
What are the two important functions discussed in the video that are periodic?
-The two important periodic functions discussed are sin(x) and cos(x).
What is the standard formula for the Fourier series?
-The standard formula for the Fourier series of a function f(x) is given by f(x) = a0/2 + Σ[an * cos(nπx/L) + bn * sin(nπx/L)], where an and bn are the Fourier coefficients.
How are the Fourier coefficients an and bn calculated?
-The Fourier coefficients an and bn are calculated using integration over one period of the function. Specifically, an = (1/L) * ∫[f(x) * cos(nπx/L)] dx from 0 to L, and bn = (1/L) * ∫[f(x) * sin(nπx/L)] dx from 0 to L.
What is the significance of the lower and upper limits of integration in the Fourier coefficients formula?
-The lower and upper limits of integration in the Fourier coefficients formula represent one period of the function, which is crucial for calculating the coefficients accurately.
How does the period of a function affect the calculation of its Fourier series?
-The period of a function directly affects the calculation of its Fourier series because the coefficients an and bn are calculated over one period of the function, and the formula changes accordingly if the period is different from the standard 2π.
What is the next topic to be covered in the series after the Fourier series?
-The next topic to be covered in the series is even functions and odd functions.
Outlines
📚 Introduction to Periodic Functions and Fourier Series
This section welcomes viewers to the video, emphasizing the continuation of the study on Fourier series, specifically focusing on periodic functions. The video aims to explain the definition of periodic functions and introduce the Fourier series formula. It is highlighted that prior knowledge from earlier lectures is essential, particularly the definition and basics of Fourier series. The section explains that a function f(x) is periodic if it satisfies the condition f(x + nT) = f(x), where n is a positive integer, and T is a positive constant called the period. Examples of periodic functions like sin(x) and cos(x), both with period T = 2π, are given to illustrate the concept. The importance of these definitions in checking whether a function is periodic is underscored before moving on to the Fourier series formula.
📝 Dirichlet’s Conditions for Fourier Series
This paragraph delves into Dirichlet's conditions, which a function must satisfy to form a Fourier series. Three main conditions are outlined: 1) The function must be defined in the interval c ≤ x ≤ c + 2L, making it periodic with a period of 2L. 2) The function must have a finite number of discontinuities within this interval. 3) The function must have a finite number of maxima and minima within the interval. These conditions are crucial for determining if a Fourier series can be developed for a given function. If a function meets these conditions, it can be analyzed using the Fourier series, making these criteria foundational in understanding the mathematical formulation.
📏 Standard Formula of Fourier Series
This section presents the standard Fourier series formula, which is used when a function satisfies Dirichlet’s conditions. The formula is given as: f(x) = a0 / 2 + Σ [an cos(nπx / L) + bn sin(nπx / L)]. The coefficients a0, an, and bn are known as Fourier coefficients, which need to be calculated for each specific problem using their respective formulas. The process involves integrating over defined intervals, adjusting constants according to the given period, and modifying the limits based on whether the function period is 2π, π, or any other interval. The paragraph emphasizes that understanding the standard formula and the coefficient formulas is essential to solving problems involving Fourier series, setting the stage for more complex examples to be tackled in future videos.
Mindmap
Keywords
💡Periodic Function
💡Fourier Series
💡Coefficients
💡Integration
💡Period
💡Trigonometric Functions
💡Dirichlet Conditions
💡Convergence
💡Extrema
💡Discontinuities
💡Interval
Highlights
Introduction to the topic of the video: Studying the definition of periodic functions and the formula for Fourier series.
Emphasis on the importance of understanding the basics from previous lectures to comprehend today's lecture.
Definition of a periodic function: A function f(x) is periodic if f(x + T) = f(x) for all x in its domain.
Explanation of the period T: T is a positive constant, referred to as the period of the function.
Introduction to the concept of fundamental period and how it relates to the period T.
Examples of periodic functions: sin(x) and cos(x) with a period of 2π.
Explanation of the Dirichlet conditions that a function must satisfy to have a Fourier series.
First Dirichlet condition: The function must be single-valued.
Second Dirichlet condition: The function must have a finite number of discontinuities in any given interval.
Third Dirichlet condition: The function must have a finite number of maxima and minima in any given interval.
Formula for Fourier series: Summation of terms involving sines and cosines with coefficients a_n and b_n.
Explanation of how to find the Fourier coefficients a_n and b_n using integration.
Formula for a_0, the constant term in the Fourier series.
Formula for a_n, the coefficient for cosine terms in the Fourier series.
Formula for b_n, the coefficient for sine terms in the Fourier series.
Note on the importance of understanding the limits of integration when calculating coefficients.
Example illustrating how changes in the period affect the formulas for a_n and b_n.
Summary of the video's content: Definition of periodic functions and the formula for Fourier series.
Anticipation of future lectures focusing on even functions and odd functions.
Transcripts
[संगीत]
हेलो एवरीवन अकादमी युटुब चैनल में आप सभी
का स्वागत है आज के वीडियो में 4 एयर
सीरीज यह यूनिट को हम आगे बढ़ाएंगे और आज
हम इसमें पीरियोडिक फंक्शन का डेफिनेशन और
4 एयर सीरीज का फॉर्मूला स्टडी करेंगे तो
देखिए आज हमें जो कुछ भी स्टडी करना है वो
हमने यहां पे लिख के रखा है चलो अब इसको
वन बाय वन स्टडी करते हैं लेकिन इसके लिए
आपको इसके पहले के लेक्चर में हमने जो
बेसिकली थे वो आपको पता होना चाहिए आईटी
मिंस आपको 4 एयर सीरीज का डेफिनेशन पता
होना चाहिए और उसके बेसिक प्वाइंट्स
क्योंकि वो अगर आपको पता है तो आज का
लेक्चर आपको जल्दी समझ में आएगा तो इसके
पहले का वो वीडियो आप जरूर देखिए उसका
लिंक हमने आज के वीडियो डिस्क्रिप्शन में
दे दिया है ठीक है तो चलो यहां पे आज हमें
सबसे पहले पीरियोडिक फंक्शन का डेफिनेशन
स्टडी करना है तो क्या होता है पीरियोडिक
फंक्शन तो यहां पे उसके लिए एक हम फंक्शन
मां लेते हैं एफ ऑफ एक्स तो हमने यहां पे
लिखा है देखो अब फंक्शन एफ ऑफ एक्स इसे तू
बी प्रायोडिक यानी कोई फंक्शन एफ ऑफ एक्स
पीरियोडिक कब हो सकता है तो उसके लिए
कंडीशन दी है आईएफ एफ ऑफ एक्स प्लस एन टी
इक्वल तू एफ ऑफ एक्स देखो अगर ये कंडीशन
कोई फंक्शन सेटिस्फाइड कर लेट है तो वो जो
फंक्शन है वो पीरियोडिक फंक्शन कहलाता है
अब यहां पे एन का मतलब क्या होता है तो
यहां लिखा है वेयर एन इसे डी वैल्यू डेट
इस वन तू थ्री अप तू इंफिनिटी और यहां पे
जो तीली का है टी का क्या मतलब है सो यहां
लिखा है टी इसे एन पॉजिटिव कांस्टेंट टी
क्या है एक पॉजिटिव कांस्टेंट है जिसको आप
कहेंगे पीरियड देखो यहां पे लिखा है विच
इसे कॉल्ड आगे पीरियड टी को क्या कहेंगे
टी इस डी पॉजिटिव कांस्टेंट और आईटी इसे
कॉल्ड आगे पीरियड ठीक है जैसे तो जाहिर सी
बात है यहां पे हमने प्रायोडिक फंक्शन का
डेफिनेशन स्टडी कर लिए कोई फंक्शन आपको बस
ये ध्यान में रखना है की कोई भी फंक्शन तब
तक पीरियोडिक नहीं हो सकता जब तक वो ये
कंडीशन सेटिस्फाइड ना करता हो ठीक है तो
ये कंडीशन है कोई भी फंक्शन पीरियोडिक है
की नहीं वो चेक करने के लिए और यहां पे
ऐसे दो फंक्शन के बड़े में आपको बता देते
हैं पहले ही जो पीरियोडिक फंक्शन है जो की
है सन एक्स और कस एक्स देखो यहां पे
स्टेटमेंट में क्या लिखा है ये काफी
इंपॉर्टेंट स्टेटमेंट है देखो ये
स्टेटमेंट सन एक्स और कस एक्स आर
पीरियोडिक फंक्शन देखो सिक्स और कस एक्स
ये जो दो फंक्शन है ये पीरियोडिक फंक्शन
है लेकिन ये कॉन्सेप्ट टाइम इंटरवल के लिए
है विद पीरियड टी = 2 पी आईटी मेंस आते टी
= 2 पी ये सन एक्स और कस एक्स ये कंडीशन
सेटिस्फाइड करती है और आप फिर ऐसे में
उसको पीरियोडिक फंक्शन का सकते हैं तो
ध्यान में रखना ही एक बार की सन एक्स और
कस एक्स क्या है दे आर डी पीरियोडिक
फंक्शन विद पीरियड टी = 2pi ठीक है अब
देखो इसके बाद हम आपको 4 एयर सीरीज के
फार्मूले के बड़े में बताते हैं की 4 एयर
सीरीज का फॉर्मूला क्या होता है चलो यहां
पे उसके लिए देखो हमने क्या लिखा है लेट
एफ ऑफ एक्स बी एन सिंगल वैल्यूड फंक्शन
सेटिस्फाइंग डी कंडीशन विच इस नॉन आज डी
रिचलेट्स कंडीशन आज बिलो देखो यहां पे कोई
भी फंक्शन जो सिंगल वैल्यूड फंक्शन होता
है वो फंक्शन जब तक दी रिचलेट्स कंडीशन जब
तक सेटिस्फाइड नहीं करेगा तब तक फोरिअर
सीरीज नहीं बना सकते हैं कंडीशन यहां पर
तीन आई है देखो कंडीशन नंबर वन तू थ्री
हमने यहां पे लिख के रखा है और ये जो
कंडीशन है इसको कहते हैं डायेक्लेट्स
कंडीशन ठीक है तो देखो देखो कंडीशन नंबर
वन क्या लिखा है एफसी इसे डिफाइन इन डी
इंटरवल सी <= एक्स <= सी + 2l देखो यहां
पे टाइम इंटरवल दिया है इसको क्या कहते
हैं इसको कहते हैं टाइम इंटरवल ठीक है
इसका उसे करके आप जो आप जो है यहां पे
लोअर लिमिट अपर लिमिट पता कर सकते हैं तो
ये देखो ये है लोअर लिमिट और ये है अपर
लिमिट इसको इंटरवल कहते हैं टाइम इंटरवल
बोलो या ओनली इंटरवल बोलो एक ही बात है
ठीक है तो एफसी इसे डिफाइन इन डी इंटरवल
सी <= एक्स <= c+2l और ये फंक्शन
पीरियोडिक होगा विद एन पीरियड डेट इस तू ल
ठीक है यहां पे और चाहिए था हमने यहां और
लिखना भूल गए तो यहां पे हम लिख लेते हैं
और ठीक है
डिफाइन इन डी इंटरवल ये इंटरवल दिया है और
आईटी पीरियोडिक विथ पीरियड तू ल तो यह
होगी पहले कंडीशन यह पहले कंडीशन कोई भी
फंक्शन सेटिस्फाइड करना चाहिए चलो अब
देखते हैं सेकंड कंडीशन क्या है तो सेकंड
कंडीशन में लिखा है एफ ऑफ एक्स हज फाइनल
नंबर ऑफ दिस कंटीन्यूअस कोई भी एफ ऑफ एक्स
जो है उसमें फाइनाइट नंबर ऑफ दिस
कंटिन्यूटी होना चाहिए इन डी इंटरवल देखो
इंटरवल बिल्कुल से है यही इंटरवल में कोई
भी फंक्शन में अगर फिनट नंबर ऑफ दिस
कंटिन्यूटी है तो ऐसे में वो फंक्शन को आप
पीरियोडिक फंक्शन ऐसा का सकते हैं और फिर
आप उसका आसानी से 4 एयर सीरीज तैयार यहां
पे कर सकते हैं तो ये हो गया सेकंड कंडीशन
अब ये जो नंबर ऑफ दिस कंटिन्यूटी है इसका
क्या मतलब है तो इसको भी हम आगे फार्मूले
के थ्रू आपको बताएंगे जब हम फोरिअर सीरीज
का फॉर्मूला थोड़ी डर में स्टडी करेंगे एक
और कंडीशन है कंडीशन नंबर थ्री देखो
कंडीशन नंबर थ्री क्या है वो भी इसी तरह
की कंडीशन है कंडीशन में लिखा है एफ ऑफ
एक्स हेज डी मोस्ट फाइंड नंबर ऑफ मैक्सिमम
और मिनीमा वो एफ ऑफ एक्स में ठीक है एफ ऑफ
इसमें मोस्ट नंबर मोस्ट फिनिटी नंबर देखो
क्या लिखा है मोस्ट फाइनल आते नंबर ऑफ
मैक्सिमम और मिनीमा होना चाहिए अगर ये
कंडीशन सेटिस्फाइड होगी तो ही पर्टिकुलर
जिवन फंक्शन का आप 4 एयर सीरीज बना सकते
हैं तो ये जो तीन जो कंडीशन है ये तीन
कंडीशंस को क्या कहते हैं ये तीनों
कंडीशनस को डीरचलेट्स कंडीशन कहते हैं ये
कंडीशंस अगर कोई फंक्शन सेटिस्फाइड कर लेट
है तो फिर आप वो फंक्शन का आसानी से 4 एयर
सीरीज बना सकते हैं अच्छा ये तो हमने बता
दिए अब देखो यहां पे क्या लिखा है दें आते
एवरी पॉइंट ऑफ कंटिन्यूटी अब ऐसे में आप
एफ ऑफ एक्स जो आप सीरीज बनोगे अगर कोई भी
फंक्शन ये तीनों कंडीशन सेटिस्फाइड कर लेट
है तो अब आपको सीरीज तैयार करना है 4 एयर
सीरीज तैयार करना है तो 4 एयर सीरीज जो आप
तैयार करोगे उसका फॉर्मूला क्या रहेगा तो
देखो ये है 4 एयर सीरीज का फॉर्मूला ये जो
हमने ब्लू कलर के पेन से यहां पे लिखा है
ये है 4 एयर सीरीज का फॉर्मूला ये
स्टैंडर्ड फॉर्मूला है और इसके नीचे हमने
लिखा है आईटी इसे कॉल्ड डी फोर एयर सीरीज
क्या लिखा है फार्मूले में तो हम पढ़ेंगे
एफ ऑफ एक्स = a0 / 2 ठीक है दें यहां पर
है सबमिशन ऑफ एन इक्वल तू वन अप तू
इंफिनिटी यानी एन का वैल्यू वन से स्टार्ट
होगा 1 2 3 4 अप तू इंफिनिटी जाएगा और
देखो ब्रैकेट के अंदर क्या लिखा है
ब्रैकेट के अंदर है फर्स्ट टर्म क्या है
एन कस ऑफ nπ एक्स/एल + सेकंड टर्म है बी
एन साइन ऑफ nπ एक्स / ल तो ये हमने जो
फॉर्मूला लिखा है ये है 4 एयर सीरीज का
फॉर्मूला इसमें जो आगे जीरो लिखा है एन
लिखा है बी लिखा है इसका क्या मतलब है सो
आगे जीरो ए और बी को 4 एयर कॉएफिशिएंट्स
ऐसा कहा जाता है और ये जीरो ए एन बी एन
कोई भी प्रॉब्लम में दिया नहीं होता है
इसको आपको फाइंड आउट करना पड़ता है और ये
फाइंड आउट करने के लिए भी इसका एक स्पेशल
फॉर्मूला आता है चलो हम आपको अब इस जीरो ए
और बी का फॉर्मूला भी बता देते हैं फिलहाल
ये बोर्ड पे हमने इतना लिखा है उम्मीद
करते हैं की ये सब आपको समझ में आया होगा
और अब हम आपको जीरो एन बी का फॉर्मूला
बताता है लेकिन एक और बात है एक और बात ये
है की फोरिअर सीरीज का ये जो फॉर्मूला है
ये फॉर्मूला कब कब आपको यूज रहेगा यानी
उसके लिए इंपॉर्टेंट नोट क्या है चलो वो
भी हम आपको बता देते हैं तो ये देखिए हमने
यहां पे फॉमरूलेज लिख लिए हैं तो ये है
फोरिअर सीरीज का फॉर्मूला जो इसके पहले
हमने जो नीचे लिखे थे ना वही फॉर्मूला ये
है डेट इसे 4 एयर सीरीज का हर फॉर्मूला
सभी कंडीशंस अगर सेटिस्फाइड है तो ये 4
एयर सीरीज एफ ऑफ एक्स का फॉर्मूला यहां पे
बंता है और इसमें हमने आपको कहा था की इस
जीरो ए और बी क्या है सो दे आर डी डेट इस
4 एयर कोई फिश और इनको फाइंड आउट करने के
लिए भी फॉर्मूला होता है तो ये देखिए ये
a0 फाइंड आउट करने के लिए फॉर्मूला ये ए
एन और ये बी फाइंड आउट करने के लिए
फॉर्मूला क्या लिखा है फॉर्मूला में इस
जीरो इक्वल तू वन बाय ल डेट इस इंटरवल आ
दें इंटीग्रेशन फ्रॉम सी तू सी + 2l एफ ऑफ
एक्स डीएस ये हो गया ये जीरो का फॉर्मूला
ए और में क्या लिखा है 1 / ल इंटीग्रेशन
अगेन फ्रॉम सी तू सी प्लस 12 ये लोअर
लिमिट ये अपर लिमिट ठीक है दें एफ ऑफ एक्स
* एक्स / ल * डीएस ठीक है और बी के
फार्मूले में भी अगर आप चेक करेंगे बी के
फार्मूले और एन थर्मल में बस एक चेंज है
यहां पे कस है और यहां पे साइन है ठीक है
सन एन / एक्स / ल और इंटीग्रेशन है विद
रिस्पेक्ट तू एक्स तो ये है डेट इस 4 एयर
कोइफिशिएंट्स फाइंड आउट करने के यहां पे
फार्मूले ये सभी फॉर्मूला आपको पता होना
चाहिए एन सबसे पहले तो फोरिअर सीरीज का
फॉर्मूला जो की स्टैंडर्ड फॉर्मूला है दें
a0 ए एन बी एन का फॉर्मूला आगे आने वाले
दोनों में जो हम प्रॉब्लम्स कर करने वाले
हैं उसमें ये फार्मूले से अगर आपको पता है
तो आप कोई भी प्रॉब्लम आसानी से सॉल्व कर
सकते हैं ठीक है और अब चलो एक दो चीज कुछ
और स्टडी करते हैं तो जैसे की आप यहां पे
देख देख सकते हैं जो इंटीग्रेशन है उसका
लोअर लिमिट दिया है अपर लिमिट दिया है तो
जो लोअर लिमिट है वो सी है जनरली ज्यादातर
प्रॉब्लम में जो सी का वैल्यू है वो या तो
जीरो होता है या तो - ल होता है ठीक है
जीरो या फिर माइंस ल यानी इंटरवल ठीक है
और जो अपर लिमिट है अपर लिमिट डेट इस एन
जो है अगर मां लो यहां पे चलो एक एग्जांपल
आपको दे देते हैं अगर मां लो ये जो एफ ऑफ
एक्स है अगर मां लो ये एफ ऑफ एक्स का
पीरियड अगर तू उपाय
इसका मतलब ऐसे में ल का वैल्यू पी हो
जाएगा ऐसे में यहां पर चेंज क्या-क्या हो
गए तो ल का वैल्यू अगर बाय हो गया तो यहां
पे जहां-जहां पर ल लिखा है जहां जहां पे ल
लिखा है वहां-वहां पे पी ए जाएगा देखो
यहां पे π आएगा चलो आपको लिख के ही बता
देते हैं की यहां पे ल का वैल्यू अगर पे
हो तो क्या यहां पे फॉर्मूला बंता है
लेकिन उसके पहले ये स्टैंडर्ड फॉर्मूला है
ये आप अपने नोटबुक में लिख के रखो ठीक है
एक एग्जांपल आपको दे रहा है की ये जिवन
पीरियड के लिए आगे जीरो ए और बी क्या
रहेगा तो हमने जैसा कहा ल की वैल्यू पी
रहेगी अगर एफ ऑफ एक्स का पीरियड अगर 2π है
तो ऐसे में देखो यहां पे पी ए जाएगा ठीक
है जहां-जहां पर ल है वहां वहां पे पे ए
जाएगा यहां पे पाया ए जाएगा ठीक है ये हो
गया और उसके बाद देखो ये जो फॉर्मूला है
यहां पे भी यहां पे पी ए जाएगा देखो यहां
पे ये पाया ए जाएगा यहां पे भी ये पे ए
जाएगा इस तरह से ठीक है अब यहां पे पाया
आने से क्या होगा यहां पे पी आने से होगा
की यह ऊपर का पे और नीचे का पे ये कैंसिल
हो जाएगा देखो यहां पे भी और इससे क्या
होगा कस एनएक्स बस इतना रहेगा यहां पे भी
सन एनएक्स इतना रहेगा ठीक है और इस तरह का
चेंज यहां पे अगर हम करें तो यहां पे जहां
ल है वहां पे हम ले लेंगे यहां पे भी हम
पीले ले लेंगे देखो इस तरह से और यहां पे
ल के जगह ये पी ए जाएगा ठीक है ये देखो ये
चेंज हम करेंगे टाइम पीरियड जो है वो जो
पीरियड है वो दिया राहत है वो इस के
अकॉर्डिंग आपको सॉल्व करना है इसका मतलब
इंटरवल दिया राहत है तो ये देखो ये हमने
जहां जहां पर ल था वहां पर पी करें तो ये
कट गया ये कट गया ये काटा ये काटा तो यहां
पे क्या हो जाएगा कस ऑफ एनएक्स ऐसा और
यहां पे बैक जाएगा साइन ऑफ एनएक्स तो इस
तरह के चेंज करते हुए आपको जो है सॉल्व
करना है ये एक एग्जांपल दिया आपको ठीक है
हर पीरियड हर जो प्रॉब्लम रहेगा उसमें जो
पीरियड है वो तू पर रहेगा ऐसा जरूरी नहीं
है कहानी पे रहेगा कहानी तू पे कहानी π/2
कुछ भी हो सकता है तो जो पीरियड दिए
रहेंगे इस के अकॉर्डिंग आपको सॉल्व करना
है तो फाइनली आज के वीडियो में जो हमें
स्टडी करना था डेट इसे एन पीरियोडिक
फंक्शन का डेफिनेशन और 4 एयर सीरीज का
फॉर्मूला तो ये आज हमने स्टडी कर लिए
उम्मीद करते हैं की सभी प्वाइंट्स आपको
समझ में ए गए होंगे और फॉर्मूला भी आपने
अपने नोटबुक में लिख के रखा होगा आज की
वीडियो में फिलहाल इतना ही इसके अगले
वीडियो में हम एवं फंक्शन और ओड फंक्शन के
बड़े में स्टडी करने वाले हैं तो मिलते
हैं नेक्स्ट लेक्चर में थैंक यू वेरी मैच
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