Lineare Gleichungssysteme lösen
Summary
TLDRDieses Videotutorial führt durch die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Es erklärt, wie durch Addition und Subtraktion von Gleichungen sowie Multiplikation mit einer Zahl, Unbekannte eliminiert werden können. Das Ziel ist es, die Variablen schrittweise zu eliminieren, bis eine eindeutige Lösung für die verbleibende Variable gefunden ist. Das Video verdeutlicht auch, dass es Situationen geben kann, in denen das System keine eindeutige Lösung hat, wie bei Widersprüchen oder 'immer wahr'-Gleichungen, was zu unendlich vielen Lösungen führen kann.
Takeaways
- 📘 Lineare Gleichungssysteme (LGS) bestehen aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten.
- 🔢 Ein 3x3 LGS hat drei Gleichungen mit drei Unbekannten, aber LGS können auch mehr Gleichungen und Unbekannte haben.
- 📐 In LGS wird oft die Notation x_1, x_2, x_3 verwendet, um die Unbekannten zu kennzeichnen.
- ✍️ Um ein LGS zu lösen, müssen die Werte für alle Unbekannten bestimmt werden.
- 🔄 Man kann Gleichungen kombinieren, um Unbekannte zu eliminieren, indem man sie addiert oder subtrahiert.
- 🆚 Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl, um sie zu skalieren, ist eine gültige Methode im LGS-Lösungsprozess.
- 🚫 Wenn man zu einem Widerspruch kommt (z.B., 1 = 0), hat das LGS keine Lösung.
- ∞ Wenn eine Gleichung immer wahr ist (z.B., 1 = 1), kann das LGS unendlich viele Lösungen haben.
- 📉 Das Lösen von LGS kann durch schrittweise Elimination von Variablen in den Gleichungen erreicht werden, bis nur eine Variable übrig bleibt.
- 📚 Die Website bietet ausführliche Lösungswege für Mathematik-Abiturprüfungen, die helfen, das Verständnis zu vertiefen und das Abitur vorzubereiten.
Q & A
Was ist ein lineares Gleichungssystem (LGS)?
-Ein lineares Gleichungssystem besteht aus einer Anzahl von Gleichungen mit mehreren Unbekannten, zum Beispiel 1x3 Kreuz 3 Gleichungssystem hat dann drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
Wie wird ein Unbekannter in einem LGS dargestellt?
-In einem LGS werden die Unbekannten oft als x1, x2, x3 usw. dargestellt, um Verwechslungen mit anderen Variablen zu vermeiden, insbesondere wenn es mehr als drei Unbekannte gibt.
Was ist das Ziel beim Lösen eines linearen Gleichungssystems?
-Das Ziel beim Lösen eines LGS ist es, die Werte für alle Unbekannten zu bestimmen, indem man versucht, die Unbekannten schrittweise zu eliminieren, bis nur noch eine Variable in einer der Gleichungen steht.
Wie können zwei Gleichungen in einem LGS verwendet werden, um eine Unbekannte zu eliminieren?
-Zwei Gleichungen können durch Addition oder Subtraktion miteinander kombiniert werden, um eine Unbekannte zu eliminieren. Dies ähnelt dem schriftlichen Addieren, wobei die Unbekannten entsprechend addiert oder subtrahiert werden.
Was passiert, wenn man eine Gleichung mit einer Zahl multipliziert, die nicht gleich null ist?
-Man kann eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, um die Unbekannten zu eliminieren oder die Gleichung zu vereinfachen. Dabei bleibt die Multiplikation mit Null erlaubt, solange sie nicht zu einem Widerspruch führt.
Was ist eine mögliche Konsequenz, wenn man in einem LGS zu einem Widerspruch kommt?
-Wenn man in einem LGS zu einem Widerspruch kommt, zum Beispiel wenn eine Gleichung zu 'eins gleich null' führt, dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.
Was bedeutet es, wenn eine Gleichung im LGS 'immer stimmt', unabhängig von den Unbekannten?
-Wenn eine Gleichung im LGS 'immer stimmt', unabhängig von den Werten der Unbekannten, dann gibt es unendlich viele Lösungen für das Gleichungssystem.
Wie kann man die ersten und zweiten Gleichungen in dem gegebenen Beispiel kombinieren?
-Man kann die ersten und zweiten Gleichungen durch Addition kombinieren, um eine neue Gleichung zu erhalten, in der die Variable x2 eliminiert ist. Dies hilft, die Komplexität des Systems zu reduzieren.
Was ist der Vorteil, wenn man eine Variable in einem LGS eliminiert?
-Der Vorteil der Eliminierung einer Variablen in einem LGS ist, dass es einfacher wird, die verbleibenden Unbekannten zu bestimmen, da man dann nur noch mit weniger Variablen in den verbleibenden Gleichungen rechnen muss.
Wie kann man die Lösung für x1 im gegebenen LGS-Beispiel finden?
-Man kann die Lösung für x1 finden, indem man die vierte und sechste Gleichung kombiniert, um eine Gleichung zu erhalten, die nur x1 enthält, und dann nach x1 auflöst.
Outlines
🧮 Lösung von linearen Gleichungssystemen
In diesem Paragraphen wird die Lösung von linearen Gleichungssystemen erläutert. Ein lineares Gleichungssystem (LG) besteht aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Das Beispiel zeigt ein 3x3-System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Die Unbekannten werden als x1, x2, x3 bezeichnet, um Verwechslungen mit anderen Variablen zu vermeiden. Um das System zu lösen, werden die Gleichungen durch Addition und Subtraktion miteinander kombiniert, um die Unbekannten zu eliminieren. Die erste und zweite Gleichung werden addiert, um eine neue Gleichung zu erhalten, in der die Variable x2 verschwindet. Durch Multiplikation der dritten Gleichung mit einer Zahl wird eine neue Gleichung erhalten, die ebenfalls x2 eliminiert. Durch Subtraktion dieser beiden neuen Gleichungen wird eine Gleichung mit nur x1 und x3 erhalten. Durch weitere Umformungen und Einsetzungen werden schließlich die Werte für x1, x2 und x3 bestimmt.
🔍 Besonderheiten bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen
Dieser Paragraph behandelt besondere Fälle bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen. Es wird erklärt, dass nicht immer eine eindeutige Lösung vorliegt. Wenn während des Lösens ein Widerspruch auftritt, wie z.B. eine Gleichung, die immer null ist oder eine, die immer wahr ist (z.B. 1=1), dann hat das System entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Die Wichtigkeit der sorgfältigen Prüfung der Gleichungen und der Schritte bei der Lösung wird betont. Zusätzlich wird auf die Ressourcen für das Mathematik-Abitur in Straßburg hingewiesen, die original und ausführlich sind, um ein tiefes Verständnis zu ermöglichen, und auf die Möglichkeit verwiesen, sich selbst mit einem Link zu testen.
Mindmap
Keywords
💡Lineare Gleichungssysteme
💡Unbekannte
💡Eliminationsmethode
💡Multiplizieren mit einer Zahl
💡Subtrahieren von Gleichungen
💡Variable eliminieren
💡Widerspruch
💡Unendlich viele Lösungen
💡Strassburg Mathe Abi
💡Lernhefte
Highlights
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus einer Anzahl von Gleichungen mit mehreren Unbekannten.
Ein 3x3-Gleichungssystem hat drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
Bei mehr als drei Unbekannten wird oft statt X, Y, Z die Schreibweise X1, X2, X3 verwendet.
Um ein Gleichungssystem zu lösen, müssen die Werte für alle Unbekannten gefunden werden.
Zwei Gleichungen können miteinander addiert oder subtrahiert werden, um eine neue Gleichung zu erhalten.
Beispiel eines 3x3-Gleichungssystems mit Gleichungen 3x1 + 2x2 - x3 = 1, 2x1 - 2x2 + 4x3 = -2, -x1 + 0.5x2 - x3 = 0.
Die erste und zweite Gleichung können addiert werden, um x2 zu eliminieren.
Die dritte Gleichung kann mit einer Zahl multipliziert werden, um x2 in der ersten Gleichung zu eliminieren.
Es entsteht eine neue Gleichung, die nur x1 und x3 enthält.
Es wird eine Methode beschrieben, um x3 aus den verbleibenden Gleichungen zu eliminieren.
Es wird gezeigt, wie man x1 bestimmt, indem man die gefundenen Werte in die vorherigen Gleichungen einfügt.
Die letzte unbekannte, x2, wird durch Einsetzen von x1 in die Gleichungen bestimmt.
Es wird erklärt, dass nicht immer eine eindeutige Lösung vorhanden ist und es kann zu Widersprüchen kommen.
Bei einem Widerspruch wie 1=0 hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Bei einer immer wahren Aussage wie 1=1 kann es unendlich viele Lösungen geben.
Das Ziel beim Lösen von Gleichungssystemen ist es, die Unbekannten nach und nach zu eliminieren, bis nur eine Variable in einer Gleichung übrig bleibt.
Es wird auf eine Ressource hingewiesen, die original ABI-Prüfungsaufgaben aus verschiedenen Bundesländern bietet.
Die Ressource enthält ausführliche Lösungswege, die helfen, alles zu verstehen und keine anderen Lernhefte mehr benötigen.
Es wird ein Angebot gemacht, um die Ressource selbst auszuprobieren, indem man auf einen Link klickt.
Transcripts
lineare gleichungen systeme sind ja ganz
nett aber wie löst man die denn bitte
wir machen das heute mal gemeinsam an
einem beispiel mit drei gleichungen und
drei unbekannten
[Musik]
ein lineares gleichung systemen kurz lg
es besteht immer aus einer anzahl von
gleichungen mit mehreren unbekannten
1 3 kreuz drei gleich und system hat
drei gleichungen mit drei unbekannten
das geht natürlich auch mit vier fünf
oder noch mehr nämlich
m3 kreuz drei gleichung system sieht
dann zum beispiel so aus 3 x iks plus 2
x y - einmal set ist gleich 12 mal x2 x
y plus 4 x z ist gleich minus zwei und
minus plus 0,5 x y z ist gleich null
statt xy und z schreibt man für die
unbekannten auch x1 x2 x3 das macht man
besonders dann wenn es mehr als drei
unbekannte gibt schließlich will man
nicht das ganze alphabet benutzen
einfacher ist es eine kleine zahl an das
ixs zu schreiben um jetzt das lineare
gleichungen system zu lösen müsst ihr
die werte für alle diese unbekannten
rausfinden hier ist ein beispiel für ein
3 kreuz drei gleichung system die erste
gleichung ist 3x 1+2 x2 - x3 gleich 1
die zweite lautet 2x 1 - 2x 2 plus 4 x3
gleich - 2 und die dritte lautet - x1
plus 0,5 x2 - x3 gleich null um das
gleiche system zu lösen müsst ihr die
unbekannten x1 x2 und x3 bestimmen dazu
dürft ihr zb einfach zwei gleichungen
miteinander agieren machen wir das mal
und rechnen die erste und zweite
gleichung zusammen das geht jetzt wie
beim schriftlichen addieren nur dass
hier noch xc drinstehen 3x 1+2 x1 sind
fünf x1 denn drei äpfel plus zwei äpfel
sind ja fünf äpfel 2x2 plusminus 2x2 ist
das gleiche als würdet ihr 2x2 - 2x2
rechnen und das ist 02 birnen zwei
birnen sind ja 0 damit gibt es schon mal
kein x2 mehr das ist super hilfreich wie
er gleich sehen werden rechnen wir noch
zu ende - x3 +4 x3 sind 3x3 denn bei -
x3 könnt ihr euch ja eine 1 davor
schreiben und vergesst nicht die rechte
seite der gleichung zu addieren 1
plus/minus 2 ist gleich 1 - 2 und somit
- 1 es ist also eine neue gleichung
entstanden 5x einsplus 3x3 gleich - 1
wir nennen die mal gleichungen 4 da das
x2 jetzt verschwunden ist wäre es am
besten wenn wir auch mit der dritten
gleichung das x2 irgendwie weg bekäme
wenn ihr euch die erste und die dritte
gleichung anschaut dann stehen da nicht
so wunderschön zwei und minus zwei davor
aber ihr könnt gleichungen einfach mit
einer zahl um gleich null multiplizieren
wenn ihr die dritte gleichung mit vier
multipliziert dann steht vor dem x2 auch
eine 2 wie in der ersten gleichung es
entsteht also die neue gleichung 5 - 4x
1+2 x2 - 4x drei gleich null und jetzt
könnt ihr beispielsweise von der ersten
gleichung die fünfte abziehen
3x
14 x17 x1 2x2 - 2x2 ist 0 das haben wir
ja extra so gemacht damit x2
verschwindet - x3 -4 x3 ist dann 3x3 und
10 bleibt 1 ihr erhaltet also eine
sechste gleichung 7x einsplus 3x3 gleich
1 trotzdem habt ihr noch keinen wert
bestimmt was ihr aber habt sind die
gleichungen 4 und 6 die jetzt nur noch
x1 und x3 enthalten dort könnt ihr auch
versuchen eine unbekannte
rauszuschmeißen hier bietet sich x3 an
bei den beiden gleichungen bereits eine
3 davor steht rechnet also die vierte
gleichung - die sechste gleichung also
5x 1 -7 x1 gleich - 2x 13 x3 - 3x3 ist
ja gerade null und minus 1 - 1 ist - 2
ihr habt eine siebte gleichung - 2x 1
gleich -2 und die könnt ihr sie nach x1
umformen einfach durch - 2 rechnen und
ihr erhaltet x1 gleich
krass die erste unbekannte ist bestimmt
damit könnt ihr nun auch die anderen
unbekannten bestimmen einfach in eine
der vorherigen gleichungen einsetzen und
wieder um formen nehmen wir mal die
gleichung 4 dort sind ja nur die
unbekannten x1 und x3 drin naja und x1
haben wir gerade bestimmt also einsetzen
5 x 1 ist 5 also lautet die gleichung 5+
3x3 gleich - 1 jetzt auf beiden seiten 5
abziehen und durch drei teilen mx3
gleich - 22 von drei unbekannten
geschafft fehlt nur noch x2 also einfach
wieder einsetzen wenn ihr die erste
gleichung nehmt dann steht da dreimal
1+2 x2 - - zwei gleich 1 bzw
fünf plus zwei x2 gleich eins auf beiden
seiten 5 abziehen und durch zwei teilen
so erhaltet ihr auch den letzten wert
nämlich x2 gleich - 28 und nicht immer
kommt eine eindeutige lösung haus wenn
ihr an irgendeinem punkt zu einem
widerspruch kommt zum beispiel eins
gleich null dann besitzt das gleiche
system keine lösung und wenn ihr eine
gleichung erhaltet die immer stimmt egal
was ihr für die unbekannten einsetzt zum
beispiel eins gleich eins dann gibt es
sogar unendlich viele lösungen jetzt
noch mal das wichtigste zusammengefasst
ein lineares gleichung system besteht
aus einer anzahl von gleichungen mit
verschiedenen unbekannten
zum beispiel 1 3 kreuz drei gleich ums
system das hat dann drei gleichungen mit
drei unbekannten
zum lösen des gleichung systems müsst
ihr die werte für die unbekannten
bestimmen dazu könnt ihr neue
gleichungen aus den bereits gegebenen
konstruieren ihr dürft zwei gleichungen
miteinander agieren oder voneinander
subtrahieren auch dürfte eine gleichung
mit einer zahl um gleich null
multiplizieren ziel ist es nach und nach
die unbekannten zu eliminieren bis ihr
nur noch eine variable in einer der
gleichungen stehen habt von der bestimmt
er den wert und setzt den in einer der
anderen gleichungen ein um so die
nächste unbekannte zu bestimmen und so
weiter es kann auch fälle geben in denen
ihr keine eindeutige lösung bekommt dann
steht in irgend einer zeile ein
widerspruch wie einst gleich null oder
eine immer ware aus wie einst gleich 1
bei einem widerspruch hat das gleiche
system keine lösung und bei einer immer
waren aussage hat es sogar unendlich
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