20 Estacionariedad y Ergodicidad
Summary
TLDREl script del video ofrece una introducción a los conceptos y propiedades de procesos aleatorios, enfocándose en la variable aleatoria y su función de probabilidad. Se discuten las propiedades de estacionalidad y ciclicity, explicando cómo estas afectan el comportamiento estadístico de las señales. Se mencionan las diferencias entre estacionalidad estricta y amplia, así como la importancia de la autocorrelación y la correlación cruzada en el análisis de señales. Finalmente, se tocan temas como la potencia de señales estacionarias y su representación a través de la densidad espectral de potencia, culminando con una breve mención de la ortogonalidad y la independencia de señales aleatorias.
Takeaways
- 📘 La estacionalidad y la ergodicidad son dos propiedades importantes de los procesos aleatorios.
- 📊 Una señal aleatoria es estacionaria si su comportamiento estadístico no cambia a lo largo del tiempo.
- 🕒 Existen diversos tipos de estacionalidad, incluyendo estacionalidad en sentido estricto y amplio.
- 📈 Una señal aleatoria es estacionaria en sentido amplio si su media es constante y su autocorrelación solo depende de la diferencia de tiempo.
- 🔄 La cicloestacionalidad implica que el comportamiento estadístico de una señal varía de manera periódica con el tiempo.
- ⚖️ Una señal es ergódica si sus promedios temporales coinciden con sus promedios de conjunto.
- 🧮 La autocorrelación de una señal estacionaria cumple ciertas propiedades matemáticas, como ser una función par y positiva.
- 📊 La densidad espectral de potencia de una señal aleatoria estacionaria se obtiene mediante la transformada de Fourier de su autocorrelación.
- 📝 La independencia y la correlación son conceptos clave para describir las relaciones estadísticas entre señales aleatorias.
- 💡 La potencia de una señal aleatoria estacionaria se puede calcular y es un parámetro importante en las comunicaciones.
Q & A
¿Qué son los procesos aleatorios y cómo se describen?
-Los procesos aleatorios son aquellos que involucran aleatoriedad en su comportamiento. Se describen a través de conceptos como la variable aleatoria, función de probabilidad, momentos iniciales como la esperanza matemática y la varianza.
¿Qué propiedades describen los procesos aleatorios en el script?
-El script menciona la estacionalidad y la equidad como propiedades que describen los procesos aleatorios. También se habla de la redundancia y cómo estas propiedades pueden ser utilizadas para describir los procesos.
¿Qué es la estacionalidad en el contexto de señales aleatorias?
-La estacionalidad es una propiedad de las señales aleatorias que indica que su comportamiento estadístico no cambia a lo largo del tiempo. Existen varios tipos de estacionalidad, y una señal es considerada estacionaria si su función de densidad de probabilidad conjunta se mantiene constante.
¿Cómo se define la estacionalidad estricta en señales aleatorias?
-Una señal aleatoria es estacionaria en sentido estricto si la función de densidad de probabilidad conjunta de cualquier subconjunto de variables aleatorias se mantiene constante a lo largo del tiempo.
¿Cuáles son las condiciones para que una señal aleatoria sea considerada estacionaria en sentido amplio?
-Una señal aleatoria es estacionaria en sentido amplio si cumple con dos condiciones: 1) Es estacionaria respecto a la media, es decir, la media es constante para todo valor de tiempo. 2) Es estacionaria respecto a la auto-correlación, que solo depende de la diferencia entre los dos instantes de tiempo.
¿Qué es la auto-correlación y cómo se relaciona con la estacionalidad?
-La auto-correlación es una medida de cómo una señal se relaciona con su versión desplazada en el tiempo. Es un concepto clave para determinar si una señal es estacionaria, ya que para ser estacionaria, la auto-correlación solo debe depender de la diferencia entre los instantes de tiempo y no de los instantes mismos.
¿Qué es la cicloidal estacionalidad y cómo se define?
-La cicloidal estacionalidad es cuando el comportamiento estadístico de una señal aleatoria varía con el tiempo de manera periódica. Una señal es considerada cicloidal estacionaria si su media y auto-correlación se repiten cada cierto período de tiempo.
¿Cómo se define la periodicidad en señales aleatorias estacionarias?
-Una señal aleatoria estacionaria es periódica si toda su aleatoriedad está presente en cualquiera de sus realizaciones. Esto significa que una realización es representativa de todas las demás, y los promedios temporales de cualquiera de sus realizaciones coinciden con sus promedios de conjunto.
¿Qué es la potencia de una señal aleatoria estacionaria y cómo se calcula?
-La potencia de una señal aleatoria estacionaria es una medida de su intensidad y se define como la esperanza matemática de la señal elevada al cuadrado. Se calcula a través de la auto-correlación en el intervalo cero o simplemente como la varianza de la señal.
¿Qué es la densidad espectral de potencia y cómo se relaciona con la auto-correlación?
-La densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la auto-correlación de una señal aleatoria estacionaria. Muestra cómo se distribuye la potencia de la señal a lo largo de las frecuencias y es fundamental para el análisis de señales en ingeniería de comunicaciones.
¿Cómo se calcula la potencia total de una señal aleatoria estacionaria?
-La potencia total de una señal aleatoria estacionaria se calcula integrando su densidad espectral de potencia en todo el rango de frecuencias. Esto da una medida de la energía total de la señal.
Outlines
📚 Introducción a Procesos Aleatorios y Estacionalidad
Este primer párrafo introduce el tema de los procesos aleatorios y sus propiedades. Se menciona que los procesos aleatorios pueden describirse a través de conceptos como la estacionalidad y la equidad. La estacionalidad se define como la no variación del comportamiento estadístico de una señal aleatoria a lo largo del tiempo. Se presentan dos tipos de estacionalidad: estricta y amplia, y se explica que en el caso estricto, la función de densidad de probabilidad conjunta permanece constante, mientras que en el caso amplio, se cumplen condiciones adicionales como la estacionariedad de la media y la auto-correlación que solo depende de la diferencia entre los instantes de tiempo.
🔄 Características de las Señales Estacionarias y Cíclicas
El segundo párrafo profundiza en las características de las señales estacionarias y cíclicas. Se describen las condiciones que debe cumplir una señal para ser considerada cíclica en sentido amplio, como la periodicidad de la media y la auto-correlación. También se introduce el concepto de periodicidad en el que toda la aleatoriedad de una señal está presente en cualquiera de sus realizaciones, lo que permite representar la señal con una sola realización.
🔗 Relaciones Estadísticas entre Señales Aleatorias
Este apartado examina las relaciones estadísticas entre señales aleatorias, como la independencia y la correlación. Se definen dos señales como independientes si cualquier variable de una señal es independiente de cualquier variable de la otra. Por otro lado, se analizan las condiciones para que las señales sean correlacionadas. Además, se introduce el concepto de ortogonalidad, que ocurre cuando el producto de las señales es nula, y se menciona el ejemplo de las funciones seno y coseno como señales ortogonales.
🌐 Potencia y Densidad Espectral de Potencia de Señales Estacionarias
El último párrafo se enfoca en la potencia y la densidad espectral de potencia de las señales estacionarias. Se define la potencia de una señal estacionaria como la esperanza matemática de la señal al cuadrado y se explica cómo se relaciona con la varianza. Se introduce el teorema de Wiener-Khinchin, que establece que la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la auto-correlación. Se discuten las propiedades de la densidad espectral, como su naturaleza real, positiva y la forma en que se puede integrar para obtener la potencia en un intervalo de frecuencias específico.
Mindmap
Keywords
💡Procesos aleatorios
💡Variable aleatoria
💡Momentos matemáticos
💡Estacionalidad
💡Equidispersión
💡Cicloestacionalidad
💡Periódico
💡Autocorrelación
💡Correlación cruzada
💡Potencia de una señal
💡Densidad espectral de potencia
Highlights
El video presenta conceptos y propiedades de procesos aleatorios y variables aleatorias.
Se define la variable aleatoria y su función de probabilidad.
Introducción a momentos y conceptos de esperanza matemática y varianza en procesos aleatorios.
Descripción de los procesos aleatorios a través de la redundancia, estacionalidad y estacionariedad.
La estacionalidad estricta y su definición en términos de la función de densidad de probabilidad conjunta.
Condiciones para que una señal aleatoria sea considerada estacionaria en sentido amplio.
La auto-correlación y su importancia en la determinación de la estacionariedad.
Expresión práctica de la auto-correlación para señales discretas y continuas.
Condiciones matemáticas para la correlación cruzada en señales estacionarias.
Propiedades de la función de auto-correlación en señales estacionarias.
Definición de ciclo estacionariedad y sus condiciones de cumplimiento.
La periodicidad en señales estacionarias y su representación analítica.
Concepto de ergodicidad y sus implicaciones en el análisis de señales estacionarias.
Relaciones estadísticas entre señales: independencia y correlación.
Importancia de la ortogonalidad en el análisis de señales aleatorias.
La potencia de una señal estacionaria y su cálculo a través de la esperanza matemática.
Teorema de Wiener-Khinchin y su relación con la densidad espectral de potencia.
Propiedades de la densidad espectral de potencia y su aplicación en el análisis de señales.
El cálculo de la potencia total de una señal a través de la integración de su densidad espectral.
Sesión de ejercicios planeada para el siguiente video para clarificar los conceptos presentados.
Transcripts
hola buenas tardes compañeros buen día
compañeros
en este vídeo vamos a ver una serie de
conceptos propiedades que presentan
algunos procesos aleatorios así como
cuando vi se vio variable aleatoria que
se tenía la función necesidad de
probabilidad y que para describir esta
teníamos los momentos iniciales como era
la esperanza matemática la varianza etc
en los procesos aleatorios igual tenemos
algunas maneras de describir
estos procesos como era la redundancia y
es mediante dos conceptos o propiedades
gestión la estacionalidad y el body
cidad y ahorita vamos a ver ellos ya
después en un vídeo posterior haremos
ejemplos hoy está van a ser todos
conceptos después hacemos unos
ejercicios para saber si queda un
poquito más claro ok
empecemos
con esto esta sola llamada
estacionalidad y equidad la
estacionalidad y la árbol y zidane son
dos propiedades que pueden cumplir las
señales aleatorias no necesariamente
todas las señales aleatorias cumplen con
estas dos propiedades sin embargo las
ciudades comunicaciones se ha probado se
ha demostrado que si cumplen con este
podemos por lo tanto describirlas a
partir de estas dos propiedades bueno
qué es cada una de ellas empecemos con
estacionalidad una señal aleatoria es
estacionaria si su comportamiento
estadístico no cambia a lo largo del
tiempo
existen diversos tipos de estacionalidad
una señal aleatoria xd se considera
estacionaria en sentido estricto si la
fp la función de densidad de
probabilidad conjunta de cualquier
subconjunto de variables aleatorias se
mantiene a lo largo del tiempo es decir
la función de necesidad de probabilidad
de todas las variables en diferentes
instantes de tiempo es igual en un
instante de tiempo
cau después de ese decir si lo medí
primeramente el tiempo 1 2 3 de los
mismos después de estar de tiempo 1 pero
más tarde hasta hoy asistió antes y si
son iguales estas funciones decisorias
de probabilidad puedo decir que me
señala aleatoria se considera
estacionaria en sentido estricto no
siempre es así pero vamos a tener otros
grados de estacionalidad lo que ahorita
vamos a ir viendo
una señal aleatoria x dt s considerada
estacionaria en sentido amplio si cumple
las dos condiciones siguientes 1 que es
estacionaria respecto a la media es
decir la media es estacionaria es
constante perdón para todo valor de
tiempo
no importa en qué instante de tiempo yo
mira la media la esperanza su valor va a
ser exactamente el mismo ok
el segundo es estacionaria respecto a la
auto correlación es decir la auto
correlación solo depende de la
diferencia entre los dos instantes de
tiempo es decir a esa señal también
bastante tiempo t1 y t2 que es la
diferencia entre t1 y t2 que vaya
marcado y si esto se cumple entonces mi
señal puedo decir que es estacionaria en
sentido amplio entonces es estacionada
en sentido amplio si la media es
constante para todos y su auto
correlación solo depende de la
diferencia entre los dos instantes de
tiempo involucrados en los cuales esté
haciendo la medición web queramos
entonces para la auto correlación esta
fórmula que creamos aquí este tal es
igual a la diferencia entre los dos
instantes de tiempo la forma práctica de
expresar la auto correlación en estas
condiciones es de esta manera la auto
correlación
una diferencia de estantes de tiempos
igual a la esperanza matemática de la
señal en un instante de tiempo estado y
en ese instante de tiempo es decir la
multiplicación donde esta señal más un
es esa misma señal recorrido instante de
tiempo allá eso le sacó la esperanza
matemática y eso lo va a dar la auto
correlación de dos señales con eso voy a
tener la medida de si puedo se podrá
decir o no si esta señal es
estacionaria en sentido amplio ok en el
caso de que las tenga señales discretas
la estacionaria edad en la auto
correlación implica no dos instantes de
tiempo sino dos momentos n1 y n2 así lo
describimos hemos estado escribiendo
para señor discretas donde la auto
correlación es n1 n2 es igual al valor
bueno el valor n lo vamos a escribir
como el valor de net para todo n1 y n2
donde n es la diferencia entre los
estantes los estantes n1 y n2 y la
expresión práctica es igual vean que es
la misma expresión simplemente está
cambiando el lugar hablar de te hablo de
instantes en este caso acá y en lugar de
hablar de pe valores de n ok
pero la misma ya sea para señales
discretas o continuas ok dos señales
aleatorias se considerarán conjuntamente
estacionarias en sentido amplio si ambas
son estacionarias en sentido amplio y su
correlación cruzada sólo depende de la
diferencia de instantes de tiempo
aquí estoy hablando de dos señales de
salteras y estás hablando la misma señal
bueno para que esto está matemáticamente
lo que hago decir lo que está aquí
matemáticamente es esta la auto
correlación de la señal x bien en
instantes del tiempo t1 y t2 es igual a
la autocuración de los instantes de los
el intervalo de tiempo sería de 2 menos
que 1 o visto de otra manera donde el
tau simplemente es la diferencia de 2
menos de 1 que como tengo aquí en estas
condiciones la correlación cruzada se
puede expresar como viene de esta manera
la correlación que hay entre dos señales
diferentes en el tec que es igual a la
esperanza matemática de la señal en un
instante de tiempo t y por la señal x en
el instante tiempo t desplazada un valor
ko así sacó la correlación cruzada entre
dos señales diferentes lo que para
señales discretas igual se tienen los
siguientes conjuntos dos señales
discretas conjuntamente estacionarias la
correlación cruzada cumple esto que
tenemos aquí simplemente la correlación
de distantes n1 y n2 es igual a la
diferencia bueno en la correlación que
hay de la diferencia de bastantes n1 y
n2 que siendo n igualdad menos n 12
en estas condiciones la correlación
cruzada se puede expresar crean que es
de la misma manera que para constantes
en lugar de en
sn en lugar de tocar en lugar de ska y
es exactamente la misma simplemente
señales continuas y señales discretas ok
la función de alta correlación de
señales estacionarias cumple con las
siguientes propiedades esta propiedad
que el argumento de la correlación en el
que instante tau donde el intervalo tau
es igual a la menos correlación en el
mes instante top no quiere decir que es
una propiedad par o bueno segunda
propiedad que el valor absoluto de la
señal de correlación en el intervalo
total es menor igual a la correlación
que voy a estar en el instante de tiempo
cero o cuando este valor cuando está el
intervalo es igual a cero la auto
correlación se obtiene cuando este mayor
el punto mayor es cuando este valor cae
lado es igual a cero porque 3 la
transformada de fourier de la señal de
auto correlación es real par y positiva
ok para la correlación cruzada se cumple
que la correlación de x directa es igual
a la correlación de jake y x igual a
menos está de la misma propiedad de aquí
arriba ahora bien es bueno vamos a ver
ahora gomas
un grado menor que la excepcionalidad en
sentido amplio es la ciclo
estacionalidad hemos visto crecer dos
grandes nacionalidad vamos a ver el
tercero que es la ciclo estacionalidad
una señal aleatoria es ciclo
estacionaria cuando su comportamiento
estadístico varía con el tiempo de
manera periódica es decir la señal puede
variar pero se va a estar repitiendo
cada cierto instante de tiempo que es el
periodo ok
una señal aleatoria se considera ciclo
estacionaria en sentido amplio si
cumplen las siguientes dos condiciones
cuáles son las cinco estacionaria
respecto a la media es decir la media
del conjunto de es una función periódica
ente de periodo de cero es decir la
media se repite cada cierto instante
tercero se vean aquí de manera
matemática la esperanza matemática de
una señal en un instante de tiempo de
más de cero es igual a la esperanza
matemática que su tubo no es instante de
t
si se va a estar repitiendo cada cierto
período 25 estacionaria en la auto
correlación con periodo de cero es decir
la toca relación igual se va a estar
repitiendo aquí está acusado de manera
matemática la correlación de constantes
de ti más te iguala taun taun es igual a
la auto correlación que es inherente más
un período más temas un período tercero
bien que es lo mismo es decir estos
valores se van a ir repitiendo cada
cierto valor de cero y entonces si eso
se cumple yo puedo decir que mixta señal
el ciclo estacionaria ok en sentido
amplio vamos a ver otro concepto 10
periodicidad una señal aleatoria
estacionaria es periódica si toda su
aleatoriedad está presente en cualquiera
de sus realizaciones es decir si una
realización que quedamos que dar una
realización un resultado del experimento
aleatorio si una realización es
representativa de todas las demás es
decir con una realización ya puedo
representar
toma los valores y de todos los demás
analíticamente la señalada historia x dt
es ser góticas y los promedios
temporales de cualquiera de sus
realizaciones xy dt coinciden con sus
promedios de conjunto así de simple
matemáticamente la argot y cidad sólo
puede cumplirse en señales estacionarias
existen distintos tipos de algo
licitadas y como vimos distintos tiempos
de estacionalidad también existen
distintos tipos de herbicida ok bueno
vamos a ver
una señal es ser gótica en la media si
la media
temporal de cualquier realización
coincide con la media del conjunto es
decir yo saco la media y en cualquier
instante tiempo me va a dar el mismo
valor de la media que hay para todo
valor rey donde este valor que tenemos
aquí indica por medio temporal de la
realización xy dtp cuyo valor se calcula
de esta manera una fórmula que ya hemos
visto bueno va se nos ha repetido ya
varias veces el límite de conducta
dt fernando town que tiende a infinito
aumente la integral de promedios ante
medios en este caso la realización xy
better diferencial de una señal es
erótica en la auto correlación si la
autocorrección temporal de cualquier
realización coincide con la auto
correlación del conjunto es decir de
manera matemática viene dado de esta
manera es decir la realización
temporal de cualquier adicción coincide
con la auto correlación del conjunto que
es esta donde este valor el auto
correlación temporal
fedex de ti y el auto correlación
temporal de la realización xy
la auto correlación temporal xy dt de la
realización xlt se calcula de esta
enfermedad pero la vida se parece mucho
nos quedan
muchas fórmulas que ya hemos visto xy de
todo es igual aquí si en este tiempo
está o más esa misma señal desplazada un
instante de tiempo ya un límite de
cuando que tiene infinitos aumentados de
medios de medios de esa señal
multiplicada por esa señal desplazado un
valor por un diferencial y vamos a ver
los par de conceptos que son relaciones
estadísticas entre señales independencia
dos señales aleatorias xy que son
independientes entre sí si cualquier
variable de x es independiente de
cualquier variable de iu y correlación
dos señales aleatorias x de billete
sónico relacionadas entre sí si
cualquier variable x dt y cualquier
variable dgt
los cánticos relacionadas entre sí
matemáticamente o analíticamente es esto
la esperanza matemática de la
multiplicación de las señales x y t en
los estantes de 12 es igual a la
esperanza matemática primero cálculo la
esperanza matemática crearle una señal
luego la alerta y lograr es multiplicó
es decir esto tengo usted igual si las
señales son y correlacionada la
expresión anterior se simplifica
simplemente a esto la correlación de
equidad es igual a la media al producto
de las medias de cada una de las señales
otro concepto muy importante quizás
evita no vamos a hablar tanto en eso
descreo toca otros cursos que es
ortogonalidad dos señales aleatorias x y
son ortogonales entre sí si cualquier
variable de x dt es ortogonal a
cualquier variable de jeannette
analíticamente es decir la esperanza
matemática de la señal x
el producto de la señal esperanza
matemática multiplicada por la esperanza
matemática de la señal x2 es igual a
cero si la señal son estacionarias la
expresión anterior
a esto que tengo aquí un ejemplo que
estoy seguro que son las señales de
funciones senos y cosenos del seno y
cosenos son ortogonales entre sí sin
trataban de hacer esto en una tarea
ponga una función que ésta sea una
función y otra función concentración
matemática y tiene que darles a ok
potencia y densidad espectral de
potencia a fin de cuentas algo que nos
interesa aquí es sacar la potencia de
esa señal de las señales aleatorias la
propiedad de estacionalidad hace que las
señales aleatorias sean señales de
potencia gracias a esta propiedad que
nosotros podemos obtener la potencia de
dichas señales y dicha señal es
estacionaria yo no puedo calcular su
potencia que a fin de cuentas a mí como
ingeniero comunicaciones es lo que me
interesa es uno de los parámetros
importantes a mediana de señal es su
potencia la potencia de una ciudad el
actor ya estacionaria xp se define como
se ve aquí la potencia es igual a la
esperanza matemática de la señal elevada
al cuadrado que es igual a la media
elevada al cuadrado o es igual a la
correlación en el intervalo cero la
potencia de la componente continua
obviamente sabemos que la potencia puede
estar dada por una señal de cdc de una
señal de corriente alterna para la dsl
para obtenerla simplemente le saco la
esperanza matemática
señal x de la llevó al cuadrado o
simplemente la esperanza matemática y
luego la llevó al 4 vean que no son lo
mismo que bueno y la potencia matemática
del componente alterna es simplemente la
misma que tenía aquí arriba ahora sí la
saqué tengo mi señal elevado al cuadrado
o sea con su planta de matemática menos
la esperanza matemática de
les sacó la espada matemática y la elevó
al cuadrado como bien pues simplemente
es las resta de aquí bueno ésta se puede
llegar a esta conclusión que esto
simplemente es también otra forma de
expresarla sería la varianza
la densidad espectral de potencia de una
señal aleatoria estacionaria es la
transformada de fourier de la auto
correlación y esto se le conoce como el
teorema perdón por la pronunciación
winner give in china donde la intensidad
espectral de potencia es el xf es igual
a la transformada de fourier de la señal
de auto correlación cuya expresión
general puede estar partir la definición
de lo que es la transformada por la
función por su multiplicación de esta
señal que la definición de la
transformada fría ok y estas las
cantidades espectral tiene las
siguientes propiedades si la densidad
espectral es una función para el perdón
la señal especial es una función para
real y positiva siempre va a ocurrir eso
la potencia de una enseñar en un
intervalo de frecuencias se obtiene
integrando su densidad espectral en el
correspondiente esteban es decir aquí
puede obtener yo la densidad de espectar
para todo el intervalo de frecuencias
pero sea lo mejor a mí nada más me
interesa un cierto intervalo un cierto
ancho de banda pues puedo hacer tenerlo
simplemente integrando
de estos dos intervalos y con eso ya
obtener la densidad respecto de esos
valores es que simplemente esta
expresión reducida que tengo y aquí la
pone las potencias para el intervalo de
f1 a f2 es igual a dos veces de segundo
a ceros de la densidad espectral de
potencia ok donde el factor 2 se debe a
la bilateralidad y simetría de la
densidad respecto ok no se les olvide
este factor nos como consecuencia de la
propiedad 2 la potencia total de una
señal se obtiene integrando su densidad
espectral de potencia en todas las
frecuencias es decir la potencia facial
es igual a la necesidad especial
muy enteradas de menos infinito a
infinito al momento por este vídeo
fueron puros conceptos en el siguiente
vídeo vamos a hacer unos ejercicios algo
extensos los planos que con esto queda
un poco más claro estos conceptos que
acabamos de ver conceptos propiedades
dos procesos sanatorios
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