171. Laplace Transform hyperbolic sine, using definition of sinh

Summary

En este video, se explica cómo calcular la transformada de Laplace del seno hiperbólico de at utilizando la definición del seno hiperbólico y las propiedades de las transformadas vistas en videos anteriores. Se demuestra paso a paso cómo obtener la expresión final, simplificando fracciones y utilizando las transformadas de exponenciales. Al final, se presenta un ejemplo práctico con a = 3. Además, se invita a los espectadores a calcular la transformada del coseno hiperbólico y se les anima a interactuar con el contenido mediante likes, suscripciones y comentarios.

Takeaways

• 😀 Se explica cómo calcular la transformada de Laplace del seno hiperbólico de at.
• 😀 Se utiliza la definición del seno hiperbólico, que es (e^x - e^(-x))/2.
• 😀 La fórmula se aplica específicamente para el caso de at, resultando en (e^(at) - e^(-at))/2.
• 😀 Se utiliza la propiedad de que las constantes pueden ser sacadas fuera de la transformada, lo que simplifica el cálculo.
• 😀 La transformada de Laplace de una resta de exponenciales se calcula por separado para cada término.
• 😀 Se hace uso de una fórmula previa para la transformada de e^(at), que es 1/(s - a).
• 😀 Para e^(-at), la transformada es 1/(s + a).
• 😀 Se simplifica la resta de fracciones multiplicando cruzado, resultando en (s + a) - (s - a).
• 😀 El resultado de la resta de fracciones es 2a en el numerador y s^2 - a^2 en el denominador.
• 😀 Finalmente, se obtiene la fórmula de la transformada de Laplace del seno hiperbólico de at: 2a / (s^2 - a^2).
• 😀 Se muestra un ejemplo práctico de cómo calcular la transformada de seno hiperbólico de 3t, con el resultado 3 / (s^2 - 9).

Q & A

¿Qué es la transformada de Laplace del seno hiperbólico de at?

La transformada de Laplace del seno hiperbólico de at es igual a a / (s² - a²), donde 'a' es un valor constante.

¿Cuál es la definición del seno hiperbólico de X?

El seno hiperbólico de X se define como (e^x - e^(-x)) / 2.

¿Cómo se obtiene la transformada de Laplace del seno hiperbólico?

Se utiliza la definición del seno hiperbólico, reemplazando X por 'at', y luego se calcula la transformada de Laplace de cada término exponencial por separado, sumando y restando sus transformadas.

¿Qué propiedad se aplica para sacar el 2 del denominador en la transformada de Laplace?

Se aplica la propiedad de que una constante puede ser extraída de la transformada de Laplace, y en este caso, como está en el denominador, se convierte en 1/2.

¿Cómo se calcula la transformada de Laplace de una resta de exponenciales?

Se calcula la transformada de Laplace de cada exponencial por separado, utilizando la fórmula transformada de e^(at) = 1 / (s - a) y la transformada de e^(-at) = 1 / (s + a), luego se resta ambas transformadas.

¿Cuál es la fórmula para la transformada de Laplace de e^(at)?

La fórmula es 1 / (s - a).

¿Cómo se simplifican los resultados al restar las fracciones en la transformada de Laplace?

Se realiza una resta cruzada multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. El resultado en el numerador es 2a y en el denominador se obtiene una diferencia de cuadrados, s² - a².

¿Por qué se cancela el término 's' en el numerador después de realizar la resta de fracciones?

Porque al hacer la resta, los términos 's' se cancelan entre sí, dejando solo el término 2a en el numerador.

¿Cómo se obtiene la fórmula final para la transformada de Laplace del seno hiperbólico?

La fórmula final se obtiene simplificando la expresión resultante después de la resta de fracciones, y cancelando el factor 2 que aparece en el numerador y denominador, lo que deja a / (s² - a²) como la fórmula final.

¿Cómo se calcula la transformada de Laplace del seno hiperbólico de 3t?

Se sustituye 'a' por 3 en la fórmula final de la transformada de Laplace, obteniendo 3 / (s² - 9).