Demostración de la fórmula de Herón. Parte 1

Summary

El guión de este video educativo se enfoca en demostrar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo, utilizando solo las longitudes de sus lados. Comienza introduciendo una variable auxiliar 'x' para la distancia del vértice al pie de la altura, y luego aplica el teorema de Pitágoras en dos triángulos rectángulos. Tras resolver un sistema de ecuaciones, se encuentra la expresión para la altura 'H' en función de 'A', 'B' y 'C'. Finalmente, se simplifica para obtener una fórmula de área que solo depende de los lados del triángulo, comparando los resultados con un ejemplo concreto y confirmando la precisión de la fórmula obtenida.

Takeaways

• 📐 El script trata sobre cómo determinar el área de un triángulo dado sus lados A, B y C sin conocer la altura.
• 🚫 No se puede utilizar la fórmula clásica de área (base × altura / 2) debido a la falta de información sobre la altura.
• 📉 Se introduce una variable auxiliar 'x' para representar la distancia de un vértice al pie de la altura.
• 🔍 Se aplica el teorema de Pitágoras a dos triángulos rectángulos formados por la altura y los lados del triángulo.
• 🧩 Se establece un sistema de ecuaciones con dos variables (x y H) para encontrar la altura en términos de los lados del triángulo.
• ✂️ Se simplifica algebraicamente para despejar H y luego x, obteniendo una expresión para la altura H en función de A, B y C.
• 📈 Se utiliza la expresión de H para calcular el área del triángulo, derivando una fórmula que depende únicamente de A, B y C.
• 🔢 Se muestra que la fórmula obtenida es equivalente a la fórmula de Herón, aunque en una forma menos común.
• 📚 Se propone continuar con la simplificación algebraica en un próximo video para llegar a la fórmula de Herón más conocida.
• 📝 Se compara la nueva fórmula con un ejemplo del video anterior, utilizando los lados de 9, 11, 16 y 16, para verificar la consistencia y corrección de la fórmula.

Q & A

¿Qué fórmula clásica se menciona para encontrar el área de un triángulo?

La fórmula clásica mencionada para encontrar el área de un triángulo es: Área = 1/2 * base * altura.

¿Por qué no se puede utilizar la fórmula clásica de área en este problema?

No se puede utilizar la fórmula clásica porque, aunque se conoce la longitud de un lado como base, no se tiene información sobre la altura perpendicular a esta base.

¿Qué fórmula se propone utilizar en lugar de la fórmula clásica para calcular el área del triángulo?

Se propone utilizar la fórmula de Herón para calcular el área del triángulo, dado que se conocen las longitudes de los lados A, B y C.

¿Qué es el teorema de Pitágoras y cómo se relaciona con el problema?

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Se utiliza en el problema para relacionar la altura con las longitudes de los lados del triángulo.

¿Qué variable auxiliar se introduce para simplificar el problema?

Se introduce la variable auxiliar 'x', que representa la distancia de un vértice al pie de la altura.

¿Cómo se relaciona la variable 'x' con la longitud de la base 'c' y la altura 'H'?

La variable 'x' se relaciona con la base 'c' y la altura 'H' de la siguiente manera: si 'x' es la distancia del vértice al pie de la altura, entonces la longitud desde el pie de altura a ese vértice es 'c - x'.

¿Cómo se aplicó el teorema de Pitágoras para obtener una ecuación en términos de 'x' y 'H'?

Se aplicó el teorema de Pitágoras a los dos triángulos rectángulos formados por la altura, obteniendo dos ecuaciones: x^2 + H^2 = A^2 y (c - x)^2 + H^2 = B^2.

¿Cómo se simplificó la ecuación para encontrar el valor de 'x' en términos de A, B y C?

Se simplificó al eliminar H^2 de ambas ecuaciones, lo que llevó a una expresión que involucra A^2, B^2, C^2 y x, y luego se resolvió para encontrar x = (A^2 + C^2 - B^2) / (2C).

¿Cómo se encontró el valor de la altura 'H' en términos de A, B y C?

Se sustituyó el valor de 'x' en la ecuación de H^2 = A^2 - x^2, lo que resultó en H = sqrt(A^2 - (A^2 + C^2 - B^2)^2 / (4C^2)).

¿Cómo se relaciona el área del triángulo con la fórmula de Herón y la altura 'H' encontrada?

El área del triángulo se relaciona con la fórmula de Herón y la altura 'H' mediante la expresión: Área = 1/2 * base * H, donde 'base' es el lado C y 'H' es la altura perpendicular a este lado.

¿Cómo se verificó que la fórmula obtenida da el mismo resultado que la fórmula de Herón para un triángulo con lados 9, 11 y 16?

Se sustituyeron los valores de los lados en la fórmula obtenida y se calculó el área, resultando en 47.62375, el cual es igual al área obtenido con la fórmula de Herón, lo que confirma la validez de la fórmula.