6. Series (introducción y serie geometrica)
Summary
TLDREl guión del video ofrece una explicación detallada sobre las series y sucesiones matemáticas. Se comienza definiendo la sucesión como una lista de números reales en un orden específico y se muestra cómo, a partir de una sucesión, se genera una serie a través de sumas parciales. Se enfatiza la importancia de determinar si una serie es convergente o divergente y se presenta el concepto de la serie geométrica como un ejemplo de serie cuyo comportamiento de convergencia depende de la razón común 'r'. Se explica que una serie geométrica converge únicamente si el valor absoluto de 'r' es menor que 1, y se proporciona una fórmula para calcular la suma de la serie en caso de convergencia. El video también incluye demostraciones y ejemplos prácticos para ilustrar estos conceptos.
Takeaways
- 🔢 La autoridad básica de sucesiones y series se analiza en el video, destacando la importancia de entender sucesiones para generar series.
- 📈 Una sucesión infinita de números reales puede dar lugar a una serie a través de sumas parciales.
- 🌐 La representación de una serie se puede hacer mediante notación de sumatoria, donde la enésima suma parcial se denota como la suma de los términos desde el primer término hasta el término en.
- 📚 Se definen las series como convergentes o divergentes en función de si la sucesión de sus sumas parciales converge a un límite real o diverge.
- 📉 Para determinar si una serie es convergente, es necesario calcular el límite de sus sumas parciales y ver si converge a un número real.
- 📊 El comportamiento de las sumas parciales es crucial para determinar la convergencia de una serie, como se muestra en el ejemplo de la serie con términos que se comportan como \( \frac{12n}{3} + \frac{cn}{5} \).
- 📌 La convergencia de una serie geométrica depende del valor absoluto de su razón común; solo converge si es menor que 1.
- 📐 La suma de una serie geométrica convergente se calcula como \( \frac{a}{1 - r} \), donde \( a \) es el primer término y \( r \) es la razón común.
- 🚫 Si el valor absoluto de la razón común es mayor o igual a 1, la serie geométrica diverge y no tiene una suma definida.
- 📚 Se ofrecen ejemplos y demostraciones para entender la convergencia y divergencia de series geométricas, incluyendo casos límite como cuando la razón común es igual a 1.
- 🔍 Se enfatiza la necesidad de conocer el valor de la enésima suma parcial para calcular la suma total de una serie, aunque a menudo se requieren técnicas adicionales cuando esta expresión no es conocida.
Q & A
¿Qué es una sucesión y cómo se relaciona con una serie?
-Una sucesión es una lista de números reales escrita en un orden específico, como a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Una serie, por otro lado, es generada a partir de una sucesión tomando sumas parciales de sus términos, es decir, la suma de los elementos de la sucesión hasta un cierto punto.
¿Cómo se representa una serie matemáticamente?
-Una serie se representa matemáticamente utilizando la notación de sumatoria, que se denota como Sigma (∑). Por ejemplo, la serie de sumas parciales de una sucesión a_n sería ∑(a_k) desde k=1 hasta k=n.
¿Qué sucede si la sucesión de sumas parciales converge?
-Si la sucesión de sumas parciales converge, es decir, tiene un límite finito cuando n tiende a infinito, entonces decimos que la serie es convergente y el límite de la sucesión de sumas parciales es conocido como la suma de la serie.
¿Cómo se determina si una serie es convergente o divergente?
-Para determinar si una serie es convergente o divergente, se puede observar el comportamiento de sus sumas parciales. Si las sumas parciales tienden a un límite finito, la serie es convergente; si no, la serie es divergente.
¿Qué es una serie geométrica y cómo se define?
-Una serie geométrica es una serie que cumple con la forma a * (r^(n-1)), donde 'a' es el primer término y 'r' es la razón común entre los términos de la serie.
¿Cuáles son las condiciones para que una serie geométrica sea convergente?
-Una serie geométrica es convergente únicamente cuando el valor absoluto de la razón común 'r' es menor que 1. Si |r| ≥ 1, la serie diverge.
¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica convergente?
-La suma de una serie geométrica convergente se puede calcular fácilmente a través de la expresión a / (1 - r), donde 'a' es el primer término y 'r' es la razón común.
¿Qué sucede con la serie geométrica cuando la razón común 'r' es igual a 1?
-Cuando la razón común 'r' es igual a 1, la serie geométrica se vuelve divergente, ya que la suma de los términos no tiende a un límite finito, sino que sigue creciendo indefinidamente.
¿Por qué no siempre es sencillo encontrar la suma de una serie?
-No siempre es sencillo encontrar la suma de una serie porque a menudo no se conoce una expresión general para calcular la enésima suma parcial, y se requieren técnicas adicionales para determinar si la serie es convergente o divergente.
¿Cuál es el objetivo de aprender técnicas para analizar series?
-El objetivo de aprender técnicas para analizar series es para poder determinar si una serie es convergente o divergente, incluso cuando no se conoce la expresión general para calcular las sumas parciales.
Outlines
📚 Introducción a las series y sucesiones
El primer párrafo introduce el concepto de series y sucesiones en matemáticas. Se describe una sucesión infinita de números reales y cómo a partir de ella se generan series a través de sumas parciales. Se ejemplifica con la serie de调和级数, donde las sumas parciales s1, s2, s3, ..., sn se representan como la suma de 1/k desde 1 hasta n. Se menciona que el interés principal en las series es determinar si son convergentes o divergentes y cómo calcular su suma total si es convergente, como se muestra con el ejemplo de la serie de 12n^2/(3n^5), cuyo límite converge a 2/3.
🔍 Análisis de la convergencia de series
El segundo párrafo se enfoca en la importancia de conocer si una serie es convergente o divergente. Se sugiere que para calcular la suma de una serie, es necesario conocer la expresión general de sus sumas parciales, lo cual a menudo no es sencillo de obtener. Se introducen técnicas para determinar la convergencia sin conocer esta expresión. Además, se menciona que se analizarán técnicas conocidas para series que convergen o divergen fácilmente, como punto de partida para métodos más avanzados.
📐 Serie geométrica y su convergencia
El tercer párrafo explora la serie geométrica, una serie donde cada término es un múltiplo de la razón común 'r' del término anterior. Se describe que esta serie converge únicamente si el valor absoluto de 'r' es menor que 1. Se proporciona una fórmula para calcular la suma de una serie geométrica convergente (a / (1 - r)), y se explica que si el valor absoluto de 'r' es mayor o igual a 1, la serie diverge. Se incluyen demostraciones y ejemplos para ilustrar cómo calcular la suma parcial y el límite cuando n tiende a infinito para determinar la convergencia.
Mindmap
Keywords
💡Sucesión
💡Series
💡Sumas parciales
💡Convergencia
💡Divergencia
💡Geométrica
💡Razón común
💡Suma de la serie
💡Límite
💡Potencia
Highlights
Se define la serie como una sucesión generada a partir de los términos de otra sucesión.
Se introduce el concepto de sumas parciales y su representación matemática.
Se explica cómo se determina si una serie es convergente o divergente.
Se presenta la fórmula para calcular la suma de una serie en caso de convergencia.
Se describe el comportamiento de las sumas parciales y su relación con la convergencia de la serie.
Se calcula el límite de una suma parcial para determinar la convergencia de una serie.
Se introduce la serie geométrica y sus características.
Se establece la condición de convergencia para la serie geométrica.
Se muestra cómo calcular la suma de una serie geométrica convergente.
Se analiza el caso particular de la serie geométrica con razón común igual a 1.
Se demuestra que la serie geométrica diverge cuando la razón común es igual a 1.
Se explica el proceso para determinar si una serie geométrica es convergente o divergente.
Se presenta la demostración matemática de la convergencia de la serie geométrica.
Se discuten las implicaciones de la razón común en la convergencia de la serie geométrica.
Se describe el cálculo del límite para determinar la convergencia de una serie geométrica.
Se establece que la serie geométrica converge únicamente si el valor absoluto de la razón común es menor que 1.
Se concluye que la suma de la serie geométrica se calcula como a sobre 1 - r, donde r es la razón común.
Se enfatiza la importancia de conocer el valor absoluto de la razón común para determinar la convergencia de una serie geométrica.
Transcripts
[Música]
en vídeos anteriores estuvimos
analizando la autoridad básica de sus
sesiones comentábamos al principio que
era de interés empezar a definir el
concepto de una serie pero que
empezábamos con la parte de sucesiones
porque a partir de los términos de una
sucesión se va a generar lo que llamamos
una serie suponga tú tienes a esta
sucesión una lista de números reales
escrita en un orden específico a-1 a-2
a-3 a n y así sucesivamente
esta es una sucesión infinita
sí a partir de ella tú tomas sumas
parciales vas a dar lugar a otra
sucesión por ejemplo el término ese 1 de
esa nueva sucesión pasaría a ser el
término a 1s 2 pasaría a ser la suma de
a uno con dos s tres a uno más a dos más
a 3s cuatro a uno más a dos más a tres
nasa cuatro etcétera etcétera y de forma
general cuando tú hables de la enésima
parcial pues significará sumar desde el
término a uno hasta el término a en esto
apoyándote de la anotación de sumatoria
lo podrías representar también como la
sumatoria de acá igual a una está n del
término acá a esta nueva sucesión de
sumas parciales es a la que tú denominas
una serie las series usualmente se
suelen representar a través de estas
representaciones donde nosotros
usualmente vamos a trabajar con esta de
acá por ejemplo si tú tienes la serie de
n igual a una infinito de 1 sobre n esta
es una serie que representa a la
sucesión de sumas parciales
s1 s2 y s3 sn etcétera etcétera donde la
enésima suma parcial pasaría a ser la
sumatoria de acá igual a uno hasta n de
1 sobre k con esto tú estás dando
entender que voy a sumar del término 1
sobre 1 hasta el término 1 sobre n
ahora bien de las series nos interesa
conocer cuando éstas van a ser
convergentes o divergentes en qué
momento se que una serie va a ser
convergente bueno lo podrían saber de la
siguiente forma imaginen que tú tienes a
esta serie con términos a1 a2 a3
etcétera etcétera y que su enésima suma
parcial es la que tú obtienes de sumar
desde el término 1 hasta el término n lo
que sí estamos representando como la
sumatoria de igual a una c n del término
ahí
si la sucesión de sus más parciales
convergen y el límite de esta enésima
parcial existe y es igual a algún número
real es diremos que la serie es
convergente y de hecho este número que
tú calculas va a conocerse como la suma
de la serie en caso contrario si la
sucesión de sumas parcial del divergen
pues en consecuencia en la serie también
será divergente por ejemplo tenemos aquí
esta serie y su con que después de que
tú ya calcula este varias sumas
parciales pues notas que la enésima
parcial tiene el comportamiento que
observas acá 12 n sobre 3 cn 5
este es el comportamiento que tiene
y esta es la situación de acuerdo a lo
que acabamos de comentar yo debería
poder calcular qué pasa con el límite de
esta enésima parcial y de encontrar
algún valor como número real
significaría que ese resultado es lo que
llamamos la suma de la serie voy a
calcular entonces el límite a 12 n sobre
3 cn 5 de lo que ya vimos en vídeos
anteriores divides entre el término de
la potencia más grande que es n y
obtendrás 2 sobre 3 más 5 sobre n
calcula el límite cuando n tiende a
infinito y el resultado será dos tercios
este número que tú observas acá va a
conocerse como la suma de la serie ahora
nota algo importante para que yo pudiese
calcular esto fue necesario que
conociera el valor de esa enésima
parcial en otras palabras pues algún
término que me represente de forma
general cómo voy a calcular
a la suma como tal sin embargo esto
usualmente no es sencillo esta expresión
muchas veces no se conoce y al no
conocerse pues es necesario determinar o
tener otros métodos para poder saber si
la serie va a ser convergente o no para
que nosotros demos lugar a toda esa pues
ese conjunto de técnicas que vamos a
estar analizando va a ser necesario
primero que conozcamos algunos tipos de
serie que ya se conoce fácilmente si
convergen o divergen para que
posteriormente en los otros métodos tú
puedas hacer uso de estas series y en
base a ellas puedas determinar aunque no
conozcas precisamente este término si la
serie va a ser convergente o divergente
vamos a ver la primera serie que es a la
que llamamos la serie geométrica la
serie geométrica va a ser aquella que
cumpla con la forma a poner a la n-1
donde si tú calculas algunos términos
pues esto pasaría a ser
en iguala 1 1 menos 100 todo número
elevado a la 0 es 1 por hacer
más segundo término a poner a la 2 menos
uno que es una guerrera uno es el
siguiente término obtenemos tres menos
uno se hace dos y esto pasa a ser
apodere cuadrada y así sucesivamente
esta serie en particular únicamente va a
ser convergente cuando el valor absoluto
de r a la que vamos a denominar razón
común es una cantidad menor a 1 y si es
convergente existirá a su suma y la suma
se podrá calcular fácilmente a través de
esta expresión como el cociente de a
sobre 1 - r caso contrario que el valor
absoluto de la razón común sea mayor o
igual a 1 en automático la serie
divergen
y no existe una suma que calcular vamos
a revisar la demostración de esta parte
pensamos en la siguiente situación que
pasaría por ejemplo si eres igual a un
si eres igual a 1 tu serie va a tomar
esta forma a por 1 a la enee menos 1 que
es lo que va a suceder bueno que cuando
tú empiezas a calcular términos va a
pasar que como la base es 1 no importa
qué potencia lbs se uno siempre va a ser
como resultado 1 por hacer
o sea que el primer término de la serie
sería y el segundo sería a tercero
y así sucesivamente hacia el infinito en
otras palabras la enésima suma parcial
pasaría a ser n
ahora sitúa esta expresión le calcularse
el límite cuando n tiende a infinito
esto en automático se va a ir también
hacia infinito y ya que va hacia
infinito o bien también podría ir a su
infinito negativo dependiendo del valor
que tenga a significaría que esta serie
es divergente así que para el valor de r
igual a 1 la serie divergen pensemos
ahora en otra situación por ejemplo qué
pasa si eres distinta de uno bueno si
eres distinta de uno la enésima suma
parcial vendría a ser sumar el término a
más a por r más a por erre cuadrada y
así sucesivamente hasta que llegas al
enésimo término que sería a por r a la n
menos 1 recuerda que lo que tú vas hacer
es calcular el límite a la enésima suma
parcial pero para hacerlo porque quieres
conocer un término que te la represente
lo que tú conoces es la suma de todos
estos pero no hay un término como tal
que me diga cuál es el resultado de
cualquier suma parcial por lo que
entonces voy a intentar generar la en el
caso anterior si la pudiste generar es n
veces a pero veamos qué pasa ahora voy a
multiplicar ambos lados por r y voy a
obtener r por s n igual a a por r massa
por erre cuadrada más a por r cúbica y
así sucesivamente hasta que llegó aa por
ere ya que n 11 se restarían y quedaría
únicamente potencias en ya tienes este
par de expresiones voy a restar la
enésima sima parcial menos el producto
de ere con enésima suma parcial que va a
pasar si tú restas estos términos pues
si observas este término y ese término
se van a cancelar es se conoce también
este y el que tengas aquí arriba igual y
va a pasar lo mismo con todos los
términos a excepción de dos que serán
éste
y este de aquí o sea que entonces tu
resta te daría como resultado a menos a
por ere a la n lo que te interesa es la
enésima parcial factor isa y obtendrás
que el cn multiplica a 1 - r y que es
igual a a menos a por r alain pase ese
término a dividir y tu enésima suma
parcial se podrá representar como a
menos a por el real a n sobre 1 - r a
esto es a lo que le vas a calcular el
límite para decidir si la serie
convergió dibert aplicó entonces límite
cuando n tiende a infinito de todo este
término a menos a por era la n sobre 1
menos ser propiedades de los límites
esto se puede separar así como el límite
cuando n tiende a infinito de a sobre 1
- r - el límite cuando n tiende a
infinito de a por rr a la n sobre 1 - r
ahora observa esta parte ya que n es la
que tiende a infinito esté terminada k
es una constante por lo que el límite de
una constante es la misma constante y
qué pasa con el que tienes aquí lo voy a
reescribir de la siguiente manera ya que
a y 1 sobre son constantes pues según
propiedades de los límites se pueden
sacar fuera de ese límite y generar
entonces a sobre 1 - r por el límite
cuando n tiende a infinito de r a la n
evidentemente muchas posibilidades para
este límite pero ya de vídeos anteriores
habíamos mencionado la existencia de
este término y recordando lo que tengo
aquí arriba esta expresión únicamente
iba a ser convergente cuando r fuese una
cantidad menor a 1 y mayor a menos uno o
bien erre fuese igual a 1
respectivamente obtendrías como
resultado 0 y 1 claro que para el caso
de er igual a una tuya lo analiza este y
sería divergente por lo que tu única
posibilidad es ésta de acá
para que este término sea convergente y
de hecho obtengas como resultado un cero
es necesario que r es una cantidad menor
a uno y mayor a menos uno o recordando
un poquito lo que vimos en diferencial
eso también se puede escribir como el
valor absoluto de r menor a 1 jose que
si eres está dentro de este conjunto de
valores significa que este límite existe
y equivale a 0 perdida que es 0 por
cualquier cantidad de 0 todo ese término
desaparece y finalmente el resultado
será a sobre 1 - r quiere decir entonces
que la enésima parcial fue convergente
pero sólo converge bajo el caso
de que el valor absoluto de la razón sea
menor a 1 y si es el caso pues decíamos
que la enésima parcial se puede calcular
así como a sobre 1 menos ser por eso es
que ya de forma directa para la serie
geométrica sólo nos vamos a fijar en qué
pasa con el valor absoluto de la razón y
si es convergente pues ya en automático
puedes calcular la suma de la serie de
esta manera vamos a denotar lo de esta
forma también la suma de la serie según
lo que ya comentamos antes se va a
denotar de esta forma como a sobre 1
menos ser por ese vídeo es todo en el
siguiente vamos a analizar algunos
ejemplos
utilizando la serie geométrica
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