Integración por sustitución | Ejemplo 16 | Seno cuadrado por coseno

Summary

この動画では、積分の置換法による解法について解説しています。具体的には、三角関数を含む積分問題を解きながら、置換法の手順を説明しています。まず、積分式を簡略化し、適切な置換を行うことで、計算をシンプルにし、最終的な答えを求めます。また、練習問題を通して、視聴者が積分の理解を深めることができるようになっています。

Takeaways

• 😀 この動画では、積分の代入法を用いた問題の解法を学びます。
• 😀 まず、問題で与えられた式の “seno^2(x)” を展開することで、式を簡略化します。
• 😀 “seno^2(x)” を “seno(x) * seno(x)” と書き換え、代入をしやすくします。
• 😀 代入法の基本的なアイデアは、代入する前に式の中の項の導関数が一致していることを確認することです。
• 😀 この場合、sin(x) の導関数は cos(x) であり、それが外にある cos(x) dx と一致します。
• 😀 代入後、sin(x) を y に置き換え、簡単な積分に変換します。
• 😀 積分を解く際、積分の計算方法として、通常の公式を使って結果を得ることができます。
• 😀 結果として得られた積分は簡単に解け、最終的に積分の答えを得ることができます。
• 😀 問題解決後、同様の問題を練習できるよう、別の問題を提示しています。
• 😀 代入法の重要なポイントは、式の中で必要な導関数が一致することを確認し、適切に代入を行うことです。

Q & A

この動画ではどのような数学的手法を使っているのですか？

この動画では、積分を解くために代入法（sustitución）を使用しています。具体的には、三角関数を含む積分を代入法で解く方法が説明されています。

代入法を使う理由は何ですか？

代入法は、積分に含まれる関数を簡単にするために使用されます。特に、関数内の式がその微分と一致する場合に有効で、積分をより簡単に解けるようにします。

「sin^2(x)」はどのように書き換えられますか？

「sin^2(x)」は、長い形で「sin(x) * sin(x)」と書き換えることができます。また、代入法ではこれを「y」に置き換えることもできます。

代入法の際にどのような微分を使用していますか？

代入法では、関数の微分を使用して式を簡略化します。たとえば、「sin(x)」の微分は「cos(x)」であり、この微分が外部の式に一致する場合に代入が可能です。

積分の結果にどのような形で定数が追加されるのですか？

積分の結果には、常に積分定数（C）が追加されます。これにより、一般解が得られます。

この積分の解法ではどのように最終結果を記述しますか？

最終結果は、代入を戻して元の変数で表します。例えば、「sin(x)」の代入後、結果は「sin^3(x)/3 + C」という形になります。

動画で示された別の積分問題の解法の手順はどうなっていますか？

別の積分問題では、cosenoの微分を使用して「seno(t) dt」を代入し、最終的に積分を解いて結果を得ます。ここでも定数Cを加え、最終的に「coseno(t)^4 / 4 + C」となります。

代入法の積分で気を付けるべきポイントは何ですか？

代入法を使う際に気を付けるべきポイントは、微分する際に式に合った変数を選ぶことです。また、代入後に元の変数に戻すことを忘れずに行うことが重要です。

「coseno(t)」の微分はどのように扱われますか？

「coseno(t)」の微分は「-seno(t)」です。この微分を使用して代入を行い、最終的な積分式を簡単にします。

動画の最後に提示された練習問題はどう解けばよいですか？

練習問題も代入法を使用して解きます。「coseno(t)」の微分を用いて代入し、式を簡単にして積分を解きます。結果には積分定数Cを加えます。