What is Integration? 3 Ways to Interpret Integrals

Summary

この動画スクリプトでは、積分を誤った理解を持っているという主張を行います。学生たちは積分を曲線下の面積、反導関数、または微量を足し合わせることの3つの意味の1つと捉えがちですが、実際には微量を足し合わせることの概念が実世界の問題解決に役立ちます。動画では、弓の引き力や太陽光発電、バスケットボールの走行距離など、実例を通じて積分を理解する方法を説明し、積分における誤った理解を修正し、実用的なスキルを身につけることができるよう導きます。

Takeaways

• 📚 積分を誤解しているという主張の根拠は、微積分から卒業した学生たちの認識についての研究に基づいています。
• 🧠 学生たちは積分を3つの意味として概念化しています：曲線下の面積を見つけること、関数の反導関数を求めること、そして微量を加算すること。
• 🔢 研究によると、曲線下の面積や反導関数だけを考え的学生は、積分が必要とする実際の問題を解決する際に苦労します。
• 🌟 成功した学生は、微量を加算するという積分の概念を理解しており、新しい状況で積分が使える場合を認識し、問題解決に役立てています。
• 📈 積分を正しく理解するためには、微量を加算するという考え方が必要です。これは、初年度の微積分で、数量を掛け算によって計算することを意味します。
• 🏹 弓の例では、弓を引くにつれてエネルギーが増加し、全体的なエネルギーを計算する方法が説明されています。
• 🌞 太陽光発電パネルの例では、パネルが太陽を追いかけるトラッカーに設置されている場合と、屋上に平らに設置されている場合のエネルギー獲得の違いが考慮されています。
• 🏀 バスケットボールの例では、快攻時にサイドに走るよりも直接走った方が有利であるかどうかを検討しています。
• 📊 積分の3つの問題状況は、調整して単純な掛け算問題に変形でき、それらを用いて各問題を解決する戦略を形成できます。
• 🔧 積分においては、短い時間間隔または距離間隔をたくさんの小さな区間に分割し、各区間に関連する数量を計算し、それらを足して総額を求めます。
• 📝 積分を理解するためのこの動画は、積分を面積として考えることの代わりに、微量を加算するというより強力な方法を提供しています。

Q & A

学生が積分をどのように誤解しているのか説明してください。

多くの学生は、積分を曲線下の面積を見つけること、または関数の反微分を求ることと考えます。しかし、実際には、積分は微量を加算することを表しており、これが実世界の問題解決に役立ちます。

積分を正しく理解するために、どのような3つの問題を例に挙げられましたか？

1) 弓を引くときのエネルギー計算、2) ソーラーパネルの設置方法によるエネルギーの変化、3) バスケットボールの快攻における走行距離の比較です。

弓の例で示されたデータは何を表しているのですか？

そのデータは、弓を引くにつれ1.5インチ（約0.3メートル）ごとに必要な力（lbs）を表しており、合計18インチの引っ張りの中で12つの区間で力の値を測定しています。

弓のエネルギーを計算する際、どのような手順を取りましたか？

まず、弓を引くことによってエネルギーを計算する区間を小分けにし、それぞれの区間に適用される力を平均値で見積もります。次に、それぞれの区間に適用される力を距離で掛けてエネルギーを計算し、すべての区間のエネルギーを合計します。

実世界の問題において、積分を正しく認識し、適切な積分を設定するためには、どのような考え方が重要ですか？

積分を微量の加算として考えることが重要です。これにより、新しい状況で積分が使用可能であるかどうかを認識し、適切な積分を設定することができます。

積分記号が示す処理は何ですか？

積分記号は、状況を非常に小さく均等な区間に分割し（微分dxやdtと表される）、各区間の関数の値をその区間の幅と掛けて計算し、それらをすべて足し合わせることを意味しています。積分記号は「summa」を表す「s」の伸ばしで、レイニッツによって選ばれました。

教科書ではなぜ面積の概念で積分を説明するのですか？

面積の概念で積分を説明することで、抽象的な積分を理解しやすくなります。例えば、弓の設計者は弓の力の曲線下の面積を用いて理想的な弓の特性を考慮します。

弓の例で、実際のデータを使って得られたエネルギーの見積もりと、モデルを使って得られた見積もりはどの程度一致していますか？

実際のデータを使った見積もりでは10.425 foot-lbsのエネルギーが必要であったのに対し、モデルを使って計算した見積もりでは10.3275 foot-lbsが必要であるため、非常に近い見積もりとなっています。

このビデオスクリプトにおいて、積分を正しく理解するための最も重要なポイントは何ですか？

積分を正しく理解するための最も重要なポイントは、積分を微量を加算することを表すという考え方を持つことです。これにより、実世界の問題を認識し、適切な積分を設定することができます。

このスクリプトで提案された積分の考え方はどのようにして実世界の問題に適用されるのですか？

このスクリプトで提案された積分の考え方は、実世界の問題を小さく分割し、それぞれの小さく chop up た部分で簡単に計算可能なものにすることで適用されます。そして、これらの計算結果を加算して、全体の解決策を得ることができます。

このビデオスクリプトでは、どのような方法で弓の力を測定しましたか？

弓を引くことで必要な力を測定し、1.5インチごとに力の値を平均値で見積もりました。そして、距離の測定を英尺に変換して、足くのlbをエネルギー単位として使用しました。

このビデオスクリプトでは、積分を計算する際に反微分を求める方法と、数値積分計算器を使用する方法のどちらがより正確であると言えますか？

どちらの方法も正確な答えを得るために是用いられますが、このビデオスクリプトでは、実際のデータに基づく近似解答を得るために、数値積分計算器を使用する方法が提案されています。

Outlines

00:00

📚 誤った積分概念の修正

この段落では、多くの学生が誤った積分概念を学んでいるという主張を説明しています。積分を曲線下の面積、反導関数、または微量を足し合わせる行為とのみ捉えがちですが、実際には実世界の問題解決において、微量を足し合わせるという考え方が重要であることが指摘されています。この視点で積分を理解し、初めて実用的な問題解決が可能になると述べています。また、この方法が CALC I での例えを通じて説明されており、その応用方法が詳細に解説されています。

05:03

🔍 積分の核心プロセスとその近似解

この段落では、積分の核心プロセスである微小な区間での近似とその近似解の計算方法について説明されています。実際のデータに基づく積分問題の場合、完全な解を得ることができないため、近似値を使用することが重要です。このプロセスを通じて、弓の引き力とエネルギーの例を用いて、積分を近似する方法が詳細に解説されています。また、多項式曲線フィットと積分符号の意味についても触れられています。

10:04

🏹 弓の例による積分の視覚化と面積の考え方

最後の段落では、弓の例を通じて積分を視覚化し、面積に基づく積分の考え方について説明されています。弓の設計における力の曲線下の面積を用いた理論と、実世界の問題解決における面積考え方の利点と欠点を比較しています。また、積分問題を認識し、積分式を設定するための「切る、掛ける、足す」というプロセスの重要性が強調されています。

Keywords

💡integration

積分とは、関数の面積を求めるための微積分の一種であり、本動画の中心的な概念です。学生たちは通常、積分を曲線下の面積、関数の反導関数、または微量を加算するプロセスと認識しています。しかし、実際には、微量を加算するという考え方が、新しい状況で積分が使えるかどうかを認識し、問題を解決する際に役立ちます。動画では、弓の引き力や太陽光発電パネルのエネルギー、バスケットボールのプレイなどの実例を通じて、積分を微量の加算として捉え、実世界の問題解決に役立てる方法を説明しています。

💡antiderivative

反導関数は、与えられた関数の導関数の逆演算によって得られる関数であり、積分を求める際に重要な役割を果たします。動画では、学生たちが反導関数を理解することの難しさと、その理解が実世界の問題解決において必ずしも役立つわけではないことが指摘されています。また、データに基づく実世界の問題では、反導関数を求ること自体ができない場合もあるという事実も述べられています。

💡real-world problems

実世界の問題とは、日常生活や工業、科学などの分野で直面する具体的な問題を指します。これらの問題は、理論的な数学的知識を応用して解決することが求められることが多く、本動画では、積分を用いて実世界の問題をどのように解決するかが示されています。特に、積分を微量の加算として捉えることで、問題の認識や積分问题的設定が容易になることが強調されています。

💡quantities

量とは、数学や物理学において、計算や測定の対象となる基本的な概念です。動画では、エネルギーや距離などの量を積分する際に、それらを微量として扱って計算することが重要です。微量を加算することで、積分のプロセスを理解し、実世界の問題を解決するための戦略を立てることができます。

💡multiplication

乗算は、数学の基本的な演算の一つであり、二つの数を掛け合わせることで、新たな数（積）を得ることができます。動画では、微小な区間に分割し、それぞれの区間に含まれるエネルギーを計算するために、力と距離を乗算するプロセスが重要です。この方法は、微積分の基礎的な考え方としても用いられ、積分における乗算と加算のプロセスが強調されています。

💡intervals

区間とは、数学において、連続する数値の集合を指す概念です。動画では、積分において、関数の値がほぼ一定である短期間の区間に問題を分割し、それぞれの区間に関連する微量を計算するために区間が使われます。この方法は、積分の過程を理解し、実世界の問題を解決するための戦略を立てることに役立ちます。

💡force

力は、物体に加わる作用を表す物理量です。動画では、弓を引く際の力、太陽光発電パネルのエネルギー生成など、積分の問題で力の概念が取り上げられています。力は、エネルギーの計算や物体の動きを理解するために重要な役割を果たします。

💡energy

エネルギーは、物理学において、物体が変化や運動を引き起こす能力を表す概念です。動画では、弓の引き力によるエネルギー、太陽光発電パネルのエネルギー効率など、積分問題を解決するためにエネルギーの概念が使われています。エネルギーは、問題の設定や解決に必要な重要な量であり、積分を通じて計算されることがあります。

💡solar panels

太陽光発電パネルは、太陽光をelectricityに変換する装置です。動画では、太陽光発電パネルの設置方法や、太陽光発電パネルが太陽を追いかけるトラッカーに設置されている場合のエネルギー効率について説明されています。これらの例は、積分を使って実世界の問題を解決する方法を示しています。

💡basketball

バスケットボールは、チームスポーツの一種で、この動画では、バスケットボールのプレイにおいて積分的概念がどのように適用されるかを説明しています。具体的には、プレイヤーがコート上で走る際の距離や、ディフェンダーを回避する戦略などについて、積分を用いて分析されています。

💡approximation

近似は、正確な値を求めることができない場合に、その値を推定するプロセスです。動画では、データの測定による誤差や、実際の物理現象を完全に再現できない場合など、積分計算において近似が必要な場面が説明されています。近似を使うことで、実世界の問題に対する解を求めることができます。

Highlights

Students often misunderstand integration, focusing on finding areas under curves or antiderivatives, which can hinder their ability to solve real-world problems.

Integration can also be conceptualized as adding up tiny-bits of a quantity, a perspective that is beneficial for tackling real-world applications.

The traditional calculus education may not equip students with the tools to recognize when integration can be applied in novel situations.

Students who view integration as adding up quantities are more likely to succeed in solving complex problems involving integration.

The video aims to help viewers understand integration as a powerful tool for problem-solving by focusing on the concept of adding up small quantities.

Three problem situations are presented to illustrate the concept of integration: energy stored in a bow, energy output from solar panels, and distances run in basketball.

These problem situations are simplified to multiplication problems, demonstrating how integration can be approached with basic math concepts.

The弓 (bow) example is used to demonstrate how to break down a complex situation into small intervals for easier calculation.

Data from a toy compound bow is used to calculate the force required to pull the string back at different intervals.

The process of integration involves chopping up a situation into small intervals, calculating the quantity within each interval by multiplication, and summing these quantities for the total value.

The concept of integration is deeply rooted in multiplication and summation, which is reflected in the structure of integral notation.

Integration can be approximated using numerical methods, such as fitting a model to data points and calculating the total energy based on that model.

The fundamental theorem of calculus can be used for integration when a function is continuous and an antiderivative can be found.

While thinking of integration as areas can be helpful in some contexts, it is not as effective for recognizing and setting up integration problems in real-world scenarios.

The video encourages viewers to adopt a new perspective on integration that can help them identify and solve problems in their everyday lives.

The bow example is used to show how the process of integration can be quantitatively understood by breaking up the distance into small pulls and calculating the energy for each.

Integration as a concept is not just about areas but is a versatile tool for problem-solving that involves the process of chop, multiply, and add.

Transcripts

You learned integration wrong. That's quite a claim, so let me clarify what we mean by it.

Our claim is based on studies of former calculus students that analyzed what students think

integration means. Students tend to conceptualize integration to have one of three meanings:

Integration is finding an area under a curve, integration is finding an antiderivative of

a function, and integration is adding up tiny-bits of a quantity.

Now we can think about integration as all of these, but research shows that students

who only think of integration as finding areas under curves or finding antiderivatives really

struggle to solve real-world problems where integration is required. But which students

did succeed in solving these same problems? The students that could think of integration

as adding up tiny-bits of a quantity. So why do we claim you learned integration

wrong? Well because most students leave calculus with one of the first two conceptions, areas

under curves or anti-derivatives. And, to be fair, these are the conceptions mostly emphasized

in calculus classes. But this leaves the vast majority of students without the tools to

recognize when integration could be used in a novel situation, and even if they do recognize

the use of integration, they still get stumped trying to set up the appropriate functional

or numerical integral to solve the problem. So this is what I mean by "you learned integration

wrong." You probably don't think about integration in a way that actually makes it useful for

real world problem solving. This video will help you understand integration

in this more powerful way, adding up tiny bits of a quantity. For first year calculus,

the quantities are all calculated with multiplication, so we use these examples in our video.

This video is a bit longer than our other videos but we hope you find it worth it.

Here are three different problem situations to illustrate integration:

1) When I pull back my bow to shoot an arrow, it gets harder and harder to pull, so how much

total energy do I put into the bow if I pull it all the way back?

2) How much more energy could I get from solar panels if I put them on solar trackers instead

of laying them flat on a roof? 3) In basketball, my coach would tell me to

run wide on the fast break, but wouldn't it be better if I ran straight down the court

instead? Doesn't going wide give my defender more time to beat me down the court and set-up defenses?

Since I play near the basket, I need to know how much farther I run going from

basket to basket out wide, versus in a straight line.

These 3 problem situations are almost 6th grade math problems, what I mean by that,

is that we could adjust each of these problems slightly and end up just doing multiplication.

In reality the force to pull a bow back increases the farther back I pull. But if the force

was constant, like lifting a book from the floor to a table, then calculating the energy

would just be a multiplication problem. The force times the distance.

Our solar panel is stagnant. But if the solar panel moved to always face the sun, assuming

a sunny day, then the power generated is almost constant, so I can multiply the power rating

of the solar panel by the amount of time it's in the sun.

If I always ran at the same angle relative to my basketball defender, rather than along

this arc like I would in reality, then it's easy to find out how much further I run compared

to my defender. I just multiply his distance by a certain ratio

We can build on these simple cases to develop a strategy for solving each of these problems.

Chop up each situation into a lot of small intervals, where the problems are quite close

to the multiplication problems described above, do the multiplication in each of these small

intervals to calculate the quantity we're interested in (in these cases energy or distance),

then add up the values from each small piece to get a total amount.

The idea is that for a short interval in time, or distance, the difference between the function

value at the beginning of the interval and the end of the interval is so small the effect

on the final answer is negligible so we can treat them as constant and just use multiplication

The force of pulling the bow doesn't change much from one millimeter to the next. The power

generated from the solar panel doesn't change much from one minute to another. The ratio

of my distance to my defenders distance is about the same from any point and a point

one centimeter further down the court. So for each situation, we can break it up

into a lot of small intervals, do the multiplication to calculate the amount in each interval,

and then add up the amounts from each interval.

Let's dive deeper in my bow example. Here is data from a toy compound bow I bought at

a garage sale to use in demonstrations in my college math classes.

I calculated the force, in lbs, it took to hold the string back every 1.5 inches of the

pull, which is a total of 18 inches. I have 12 intervals, so 13 positions where I collected

force values. I am going to use the average value of each

end point of the interval to estimate the average lbs of force to pull the string on

that interval. I will convert the distance measurements to feet, so I end up with foot-lbs

as the energy unit. Within each 1.5 inch interval, or 1/8th of

a foot, I can calculate the energy to pull back the bow by multiplying the average force

times the distance. Then I can calculate the total amount of energy by adding up the energy

expended in each of the intervals. I got a value of 10.425 foot-lbs. So enough to hurt

someone... well not that bad. More like dropping a 1

lb weight from a height of 10 ft on someone's foot.

This process we just went through is integration at. its. heart. We first: Chopped up a situation

where there isn't a constant relationship between quantities, so that within each interval

it is approximately constant. Second: we calculated the quantity we are trying to find within

each interval by multiplying, and 3) added up the quantity in each piece for the total value.

You may have noticed, we didn't write down an integral sign, though

we could have. We didn't find an anti-derivative. We actually don't have a function to even

find the anti-derivative of. But that's the case in a lot of real world integration problems

when we are working with data. Now you may be thinking that my answer is

not exact. Well, I would say you are correct, but in this case, no one could be exact.

We could certainly have used a lot more measurements on smaller intervals to be more accurate with our data,

but at some point there will be more error in trying to pull the string with the scale

and hold it exactly at the right distance, or in the truncated digits of the scale, than

in the mathematical calculations. We could use some assumptions to get around

some of the physical limitations of taking measurements, but the assumptions don't mean

that we are still going to get the exact answer. For example, we could fit a model to the values

I measured earlier. Here is a 4th degree polynomial fit to our points, where the distance the

bow is pulled in feet is on the x-axis and the force in lbs on the y-axis. It seems to

fit quite well (with an r-squared of over .98 for those interested).

So we could calculate the total energy assuming that the force to pull the bow at any point

is the value given by the function. This gets us around the measurement issues, but of course,

our model won't fit the real-world phenomenon, exactly, so we are still just approximating,

but for different reasons than before. If you have taken calculus before, you might

be more comfortable setting up and calculating the energy based on this model with a function.

But the thinking to set up the integral is still the same as before.

But, first, let's connect this idea of multiplication and summation to the integral notation you

may be familiar with. The structure of integral notation actually

suggests the multiplication and summation processes central to integration. We chop

up the situation into arbitrarily small intervals of equal width called the differential, often

labeled dx or dt. Then we multiply the function value on the interval with the width of the

interval, and finally add it all up. The integral sign is actually an elongated

s, chosen by Leibniz to symbolize "summa" which means total or sum.

It's interesting how once we know what each piece of the integration notation represents, how

easy it is to see that the core concept of integration is this process of multiplication

and summation. And yet this conception's not emphasized and often overlooked in so

many calculus classes. Let's get back to the bow example. So in order to quantitatively understand this

situation we'll chop up the distance into a bunch of small pulls. How much energy is

any one of the pulls? It is the force you feel times the distance you pull.

Since we have a function that can tell us the force at any value, we can then pick extremely

small intervals, infinitesimally small intervals, so the differential, dx, is the length of

each interval. What are all of the values for which we accumulated energy? Well, our

pull goes from zero feet to 1.5 feet, so that is the interval we are integrating over. And

finally, adding up all of those products that we could calculate over that interval and

we get our final answer. Since we have a function that connects a force

at any point on the pull, we could use a spreadsheet to do the calculations. Or use any one of the

many online numerical integration calculators, where people have programmed computers to

do it for us. This is also one of the special cases where

we could use the fundamental theorem of calculus. Since our function is continuous on our interval

of integration, and we can find an antiderivative, then we can use an antiderivative to make

the calculation. Why does this antidifferentiation technique

work? That's beyond the scope of this video. But perhaps we'll address it in another video

in the future. Comment below if you'd like to learn more on why antidifferentiation works!

Whether using the Fundamental Theorem of Calculus or using an integration calculator, with this model we get an estimated

force of 10.3275, quite close to our first estimate with 12 sub-intervals.

Now let's talk about integrals as areas. It is true that each of the 3 integration situations

can be connected to a problem about areas. The problem is that thinking about areas doesn't

help to recognize any of those problems as an integration problem in the first place.

But thinking about integration as the chop, multiply, and Add process, helps with both recognizing an integration

problem and setting up the integrand. Perhaps the problem that is closest to being

made sense of as an area in an authentic way, true to the science of the situation, is the

one we did with the bow, at least once we had a function to model the force.

There are times when thinking about integrals as areas is helpful. Engineers that design

compound bows use the area under the force curve of the bow to reason about the properties

of an ideal bow. And since any integration problem can be thought

of as an area problem, then areas can help us visually understand properties of integrals,

and strategies for approximating integrals. I think this is one reason why textbooks emphasize

the area conception so much, because it is helpful in making sense of abstract integrals.

Thinking about integration as areas unfortunately is not very helpful at the front end of real-world

problems where we need to recognize the problem as an integration problem and set up the correct integral.

So we hope now you can start to see integration

in a new way, if you haven't been thinking of it this way before. If you can develop

this way of thinking, you might find, like I have, that you start to notice integration

problems all around you.

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