[UT#26] Construction des polynômes interpolateurs de Lagrange

Summary

Dans cette vidéo, l'intervenant présente la méthode des polynômes interpolateurs de Lagrange, une technique pour trouver un polynôme qui passe par un ensemble donné de points distincts. En partant de l'exemple de plusieurs points, il explique comment construire des polynômes de Lagrange élémentaires qui, combinés, permettent de réaliser l'interpolation. L'objectif est d'obtenir une fonction polynomiale qui satisfait les conditions d'interpolation sans avoir besoin de résoudre un système d'équations complexe. La méthode est présentée comme une solution générale et pratique, valable pour un nombre quelconque de points.

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Q & A

Qu'est-ce que l'interpolation de Lagrange ?

L'interpolation de Lagrange est une méthode mathématique qui permet de trouver un polynôme qui passe exactement par un ensemble donné de points dans un plan. Ce polynôme est déterminé de manière à ce que, pour chaque point, la valeur du polynôme corresponde à l'ordonnée du point.

Quel est l'objectif principal de l'interpolation de Lagrange ?

L'objectif principal de l'interpolation de Lagrange est de déterminer une fonction polynomiale qui passe par un ensemble de points donnés, c'est-à-dire une fonction f telle que f(a_i) = y_i pour tous les points (a_i, y_i).

Comment déterminer le degré du polynôme d'interpolation de Lagrange ?

Le degré du polynôme d'interpolation est au plus n-1, où n est le nombre de points. Par exemple, pour deux points, le polynôme est de degré 1, et pour trois points, il est de degré 2. Cependant, si certains points sont alignés, le degré peut être inférieur.

Qu'est-ce qu'un polynôme de Lagrange élémentaire ?

Un polynôme de Lagrange élémentaire est un polynôme construit pour chaque point d'interpolation. Il est conçu pour être égal à 1 au point d'interpolation associé et égal à 0 pour tous les autres points.

Comment les polynômes de Lagrange sont-ils combinés pour obtenir le polynôme d'interpolation ?

Les polynômes de Lagrange sont combinés linéairement, où chaque polynôme L_i est multiplié par l'ordonnée y_i de son point d'interpolation. La somme de ces produits donne le polynôme d'interpolation final.

Pourquoi les polynômes de Lagrange sont-ils appelés 'spécialistes' ?

Les polynômes de Lagrange sont appelés 'spécialistes' parce qu'ils sont conçus pour contribuer uniquement à la valeur du polynôme en leur point d'interpolation spécifique. Chaque polynôme 'spécialiste' est égal à 1 au point correspondant et égal à 0 aux autres points.

Pourquoi l'intervalle des abscisses doit-il être composé de points distincts ?

Les abscisses doivent être distinctes pour éviter les divisions par zéro lors de la construction des polynômes de Lagrange. Si deux abscisses sont égales, cela rendrait impossible la définition des polynômes de Lagrange qui respectent les propriétés requises.

Quel est l'avantage principal de l'interpolation de Lagrange par rapport à d'autres méthodes ?

L'avantage principal de l'interpolation de Lagrange est qu'elle fournit une formule générale pour interpoler n'importe quel ensemble de points sans avoir à résoudre un système d'équations. Cela rend la méthode particulièrement pratique pour des ensembles de points arbitraires.

Peut-on utiliser l'interpolation de Lagrange pour des systèmes ayant plus de trois points ?

Oui, l'interpolation de Lagrange peut être utilisée pour tout nombre de points d'interpolation. Le polynôme résultant aura un degré au plus égal à n-1, où n est le nombre de points.

Qu'est-ce qui se passe si les points d'interpolation sont alignés ?

Si les points sont alignés, le degré du polynôme peut être inférieur à celui attendu selon le nombre de points. Par exemple, trois points alignés pourraient être interpolés par une droite, donc un polynôme de degré 1 au lieu de 2.