Solving Quadratic Inequalities

Summary

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Q & A

Comment résoudre une inégalité quadratique ?

Pour résoudre une inégalité quadratique, on suit les mêmes étapes que pour résoudre une équation quadratique. La première étape consiste à factoriser l'expression quadratique, puis on analyse les points où la fonction est égale à zéro, et enfin on détermine les intervalles où la fonction est inférieure ou supérieure à zéro selon l'inégalité donnée.

Pourquoi la factorisation est-elle souvent utilisée pour résoudre les inégalités quadratiques ?

La factorisation est utilisée parce qu'elle simplifie la résolution des inégalités quadratiques. Lorsque l'expression quadratique est factorisée, il devient plus facile de trouver les points où la fonction croise l'axe des x et d'analyser les intervalles qui satisfont l'inégalité.

Dans l'exemple de x^2 - 8x + 15 ≤ 0, quelles sont les solutions de l'équation associée ?

Dans l'exemple x^2 - 8x + 15 = 0, la factorisation donne (x - 5)(x - 3) = 0. Les solutions de l'équation sont x = -5 et x = 3.

Comment représenter graphiquement la solution d'une inégalité quadratique ?

Graphiquement, on représente l'inégalité en traçant la courbe de la fonction quadratique et en identifiant les zones où la fonction est au-dessus (pour '>') ou en dessous (pour '<') de l'axe des x. Les intervalles où la fonction est inférieure ou supérieure à zéro sont les solutions de l'inégalité.

Que signifie une inégalité quadratique de la forme '≤ 0' ?

Une inégalité quadratique de la forme '≤ 0' signifie que l'on cherche les valeurs de x pour lesquelles la courbe de la fonction est inférieure ou égale à zéro, c'est-à-dire les parties de la courbe qui se trouvent sous l'axe des x.

Que faire lorsque l'inégalité est de la forme '≥ 0' ?

Lorsque l'inégalité est de la forme '≥ 0', on recherche les intervalles où la courbe est au-dessus ou égale à zéro, c'est-à-dire les parties de la courbe qui sont au-dessus de l'axe des x.

Dans l'exemple de x^2 - 12x + 36 ≥ 0, quelles sont les valeurs de x pour lesquelles cette inégalité est vraie ?

Pour x^2 - 12x + 36 ≥ 0, on factorise l'expression en (x - 6)(x - 6) ≥ 0. La solution est x ≤ 6 ou x ≥ 6, ce qui signifie que x peut être égal ou plus grand que 6.

Quelles différences y a-t-il entre une inégalité '≤ 0' et une inégalité '< 0' ?

Une inégalité '≤ 0' inclut les points où la fonction est égale à zéro, tandis qu'une inégalité '< 0' exclut ces points, ne prenant en compte que les intervalles où la fonction est strictement inférieure à zéro.

Pourquoi utilise-t-on des inégalités strictes (comme '<' ou '>') dans certains cas ?

On utilise des inégalités strictes ('<' ou '>') lorsque l'on cherche uniquement les valeurs de x qui rendent la fonction strictement inférieure ou supérieure à zéro, sans inclure les points où la fonction touche zéro.

Comment savoir où une fonction quadratique est supérieure à zéro sur son graphe ?

Une fonction quadratique est supérieure à zéro là où la courbe est au-dessus de l'axe des x. En général, cela correspond aux intervalles situés à l'extérieur des racines de la fonction, c'est-à-dire aux parties où la courbe est 'au-dessus' du niveau du sol (l'axe des x).