Déterminer le signe d'une fonction du 2nd degré donnée sous sa forme factorisée - Première

Summary

Dans cette vidéo, l'auteur explique comment étudier le signe d'une fonction polynomial du second degré sous sa forme factorisée. On comprend que le signe change aux racines du polynôme, qui sont les points où la fonction s'annule. En développant la fonction, on observe qu'elle est bien du second degré, avec un terme en x². Les racines sont trouvées en résolvant les équations x - 4 = 0 et x + 6 = 0, ce qui donne x = 4 et x = -6. La forme factorisée permet de visualiser où la fonction change de signe. Le coefficient ಠdétermine l'orientation de la parabole : positif pour une cuvette, négatif pour une colline. Ici, le coefficient est négatif, indiquant une parabole orientée vers le bas. Ainsi, la fonction est négative pour x < -6, positive pour -6 < x < 4, et à nouveau négative pour x > 4. Un tableau de signe résume ces informations, montrant les valeurs prises par la fonction en fonction de l'intervalle de x.

Takeaways

• 📚 La vidéo explique comment étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré sous sa forme factorisée.
• 🔍 Lorsqu'une fonction est sous forme factorisée, il est facile de trouver ses racines, qui sont les points où la fonction s'annule.
• 📈 Les racines sont importants car elles indiquent où la fonction change de signe, ce qui est crucial pour l'étude du signe de la fonction.
• ✅ La fonction donnée est composée de facteurs, ce qui confirme qu'il s'agit d'une fonction du second degré.
• 🤔 La forme factorisée permet de déterminer les points où la fonction change de signe sans avoir besoin de développer l'expression.
• 🧮 En résolvant les équations x - 4 = 0 et x + 6 = 0, on trouve les deux racines de la fonction.
• 📉 La fonction est nulle en x = -4 et x = 6, ce qui signifie que la courbe de la fonction intersectera l'axe des abscisses en ces points.
• 📈 Le coefficient du terme en x² détermine l'orientation de la parabole, qui est vers le haut si le coefficient est positif et vers le bas si négatif.
• 📊 La parabole représentant la fonction f a ses branches qui tournent vers le bas car le coefficient du terme en x² est négatif.
• 🔢 Entre -6 et 4, la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses, donc la fonction vaut des valeurs positives.
• 📋 Le tableau de signe résume les valeurs prises par la fonction en fonction de x, montrant où elle est positive ou négative.

Q & A

Quelle forme de polynôme permet de facilement retrouver les racines et le signe de la fonction ?

La forme factorisée permet de facilement retrouver les racines du polynôme et le signe de la fonction, car on peut directement observer les facteurs et les valeurs pour lesquelles la fonction s'annule.

Comment déterminer si une fonction polynôme du second degré est une parabole qui a ses branches tournant vers le haut ou vers le bas ?

Le coefficient du terme en x² détermine la direction des branches de la parabole. Si ce coefficient est positif, les branches tournent vers le haut, et si c'est négatif, elles tournent vers le bas.

Quels sont les points où la fonction s'annule dans le script donné ?

La fonction s'annule aux points x = -6 et x = 4, car ces valeurs sont les racines du polynôme.

Comment la forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré nous aide-t-elle à comprendre le changement de signe de la fonction ?

La forme factorisée nous montre les points où la fonction peut s'annuler, ce qui correspond aux changements de signe. En développant la fonction, on obtiendrait un terme du second degré (x²), ce qui nous indique que la fonction est du second degré et nous permet de déterminer les changements de signe.

Quelle est la valeur de la fonction f(x) pour x < -6 ?

Pour x < -6, la branche de la parabole est en dessous de l'axe des abscisses, donc la fonction f(x) prend des valeurs négatives.

Quelle est la valeur de la fonction f(x) entre -6 et 4 ?

Entre -6 et 4, la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses, donc la fonction f(x) prend des valeurs positives.

Quelle est la valeur de la fonction f(x) pour x > 4 ?

Pour x > 4, la branche de la parabole est à nouveau en dessous de l'axe des abscisses, donc la fonction f(x) prend des valeurs négatives.

Comment le coefficient a du polynôme affecte-t-il la forme de la parabole représentative de la fonction ?

Le coefficient a détermine si la parabole est en forme de cuvette (si a est positif) ou de colline (si a est négatif), ce qui affecte la direction dans laquelle les branches de la parabole tournent.

Quels sont les deux termes qui permettent de déterminer les racines du polynôme dans le script ?

Les deux termes sont (x - 4) et (x + 6), et en les égalant à zéro, on détermine les racines du polynôme comme étant x = 4 et x = -6.

Comment le tableau de signe peut-il être utilisé pour résumer les valeurs prises par la fonction f en fonction de x ?

Le tableau de signe indique les intervalles de x pour lesquels la fonction prend des valeurs positives ou négatives, en se basant sur les points où la fonction s'annule et la forme de la parabole.

Quelle est la forme générale d'une fonction polynôme du second degré ?

La forme générale d'une fonction polynôme du second degré est ax² + bx + c, où a, b, et c sont des constantes et a ≠ 0.

Comment le signe de la fonction f(x) change-t-il en fonction des valeurs de x ?

Le signe de la fonction f(x) change aux points où la fonction s'annule (x = -6 et x = 4) et est déterminé par la forme de la parabole (cuvette ou colline) et la position des branches par rapport à l'axe des abscisses.