Partial Derivatives (Part 1)

Summary

Ce script présente un cours sur les dérivées partielles et le calcul multivarié. L'intervenant explique comment différencier des fonctions de plusieurs variables en utilisant les dérivées partielles, en abordant des concepts comme la règle du produit, la règle de la chaîne, et les dérivées d'ordre supérieur. Des exemples pratiques sont fournis pour illustrer le processus de différenciation. Le cours souligne l'importance de comprendre comment traiter chaque variable indépendamment tout en maintenant les autres constantes, et se termine par une invitation à s'abonner à des ressources supplémentaires en ligne.

The video is abnormal, and we are working hard to fix it.
Please replace the link and try again.

Q & A

Qu'est-ce qu'une dérivée partielle ?

Une dérivée partielle est une dérivée d'une fonction multivariée par rapport à l'une de ses variables, en traitant les autres variables comme des constantes. Cela permet de comprendre comment la fonction varie par rapport à une variable spécifique tout en maintenant les autres constantes.

Comment différencier une fonction multivariée par rapport à une variable ?

Pour différencier une fonction multivariée par rapport à une variable, on applique la règle des dérivées partielles. Par exemple, pour une fonction f(x, y), la dérivée partielle par rapport à x est notée ∂f/∂x, et on considère y comme une constante.

Qu'est-ce que la règle de la chaîne dans le contexte des dérivées partielles ?

La règle de la chaîne dans les dérivées partielles permet de différencier une fonction composée. Si une fonction dépend d'une autre fonction qui dépend à son tour d'une variable, la dérivée partielle de la fonction initiale par rapport à cette variable est le produit de la dérivée de la fonction extérieure et de la dérivée de la fonction intérieure.

Quels sont les exemples de fonctions multivariées dans le script ?

Un exemple de fonction multivariée mentionnée dans le script est f(x, y) = x*y + x² + y². Le script montre comment différencier cette fonction par rapport à x et y.

Comment calculer la dérivée partielle de f(x, y) = x*y + x² + y² par rapport à x ?

Pour calculer la dérivée partielle de f(x, y) = x*y + x² + y² par rapport à x, on traite y comme une constante. La dérivée est ∂f/∂x = y + 2x.

Quelle est la dérivée partielle de f(x, y) = x*y + x² + y² par rapport à y ?

La dérivée partielle de f(x, y) = x*y + x² + y² par rapport à y est ∂f/∂y = x + 2y.

Que signifie la notation ∂²f/∂x² dans les dérivées partielles ?

La notation ∂²f/∂x² représente la dérivée seconde d'une fonction f par rapport à x. Cela mesure comment la pente de la fonction varie en fonction de x.

Quelle est la différence entre une dérivée partielle et une dérivée ordinaire ?

La différence principale est que la dérivée ordinaire concerne une fonction d'une seule variable, tandis que la dérivée partielle concerne une fonction de plusieurs variables, en différenciant par rapport à une variable tout en maintenant les autres constantes.

Que signifie le terme 'fonction composée' dans le contexte des dérivées partielles ?

Une fonction composée est une fonction dans laquelle une fonction est appliquée à une autre. Par exemple, si f(x) = cos(g(x)), la dérivée de f par rapport à x implique d'appliquer la règle de la chaîne pour différencier g(x) et cos.

Pourquoi est-il important de comprendre les dérivées partielles dans le calcul multivarié ?

Les dérivées partielles sont cruciales pour étudier comment une fonction multivariée réagit aux changements dans ses différentes variables. Elles sont largement utilisées dans des domaines comme l'optimisation, l'économie, la physique et l'ingénierie pour modéliser des phénomènes complexes.