Teorema de Lagrange o del valor medio

Summary

Este video explica el Teorema de Lagrange o del valor medio. Se destacan dos condiciones necesarias: la función debe ser continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). El teorema afirma que existe un punto c en el intervalo abierto donde la pendiente de la tangente es igual a la pendiente de la recta secante que conecta los extremos del intervalo. Se ilustra el teorema con un ejemplo usando la función f(x) = x², demostrando que la tangente en un punto es paralela a la recta y = 2x.

Takeaways

• 😀 El teorema de Lagrange, también llamado teorema del valor medio, tiene dos condiciones importantes: la función debe ser continua en un intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto.
• 📏 La función no puede ser derivable en los extremos del intervalo cerrado porque en esos puntos la tangente no está bien definida.
• 🧮 El teorema de Lagrange establece que, si se cumplen las condiciones, existe un punto c en el intervalo abierto tal que la derivada en c es igual a la pendiente de la recta que une los extremos del intervalo.
• 🔄 El teorema se puede visualizar como encontrar un punto donde la tangente a la curva es paralela a la recta que une los extremos del intervalo.
• 🎨 En un ejemplo gráfico, se muestra una función continua y derivable con un intervalo [a, b], y se encuentra un punto c donde la tangente es paralela a la recta que conecta f(a) y f(b).
• ⚖️ Un ejemplo práctico es demostrar que existe un punto en la función f(x) = x^2 tal que la tangente en ese punto es paralela a la recta y = 2x.
• 💡 Este teorema generaliza el teorema de Rolle, donde la tangente en lugar de ser paralela a cualquier recta es paralela al eje x.
• 📐 En el ejemplo, se demuestra que la función f(x) = x^2 cumple las condiciones de continuidad y derivabilidad en el intervalo cerrado [0, 2].
• 🧮 Se halla que el valor de c en este ejemplo es 1, y por tanto el punto donde la tangente es paralela a la recta y = 2x es (1, 1).
• 📊 El resultado final muestra que la recta tangente en el punto (1, 1) es paralela a la recta y = 2x, confirmando el teorema de Lagrange.

Q & A

¿Cuáles son las dos condiciones que exige el teorema de Lagrange?

El teorema de Lagrange exige que la función sea continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).

¿Por qué una función no puede ser derivable en los extremos de un intervalo?

Una función no puede ser derivable en los extremos de un intervalo porque en esos puntos hay infinitas tangentes posibles, lo que impide calcular una única tangente en dichos extremos.

¿Qué nos dice el teorema de Lagrange?

El teorema de Lagrange establece que si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un punto c en (a, b) tal que la derivada en ese punto f'(c) es igual a la pendiente de la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

¿Cómo se representa gráficamente el teorema de Lagrange?

Gráficamente, se traza la recta que une los puntos extremos (a, f(a)) y (b, f(b)), y se busca un punto c dentro del intervalo (a, b) donde la tangente a la curva sea paralela a dicha recta.

¿En qué se diferencia el teorema de Lagrange del teorema de Rolle?

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, donde además de las condiciones de continuidad y derivabilidad, se requiere que f(a) = f(b), lo que implica que la tangente en el punto c será horizontal (paralela al eje x).

¿Cuál es el objetivo del ejemplo con la función f(x) = x² y la recta y = 2x?

El objetivo es demostrar que existe un punto c en la función f(x) = x² donde la tangente es paralela a la recta y = 2x, aplicando el teorema de Lagrange.

¿Cómo se determina el punto c en el ejemplo de la función f(x) = x²?

Para determinar el punto c, se iguala la derivada de la función f'(x) = 2x con la pendiente de la recta (que es 2), lo que resulta en c = 1.

¿Cuál es el valor de la coordenada y en el punto donde la tangente es paralela a la recta y = 2x?

El valor de la coordenada y se obtiene evaluando la función en c = 1, lo que da f(1) = 1² = 1. Por lo tanto, el punto es (1, 1).

¿Qué representa geométricamente el punto c en el ejemplo?

El punto c representa el lugar en la curva donde la tangente es paralela a la recta dada (y = 2x), lo que confirma la aplicación del teorema de Lagrange.

¿Por qué se cumple que f(x) = x² es continua y derivable en todo R?

La función f(x) = x² es un polinomio, y todos los polinomios son continuos y derivables en todo el conjunto de los números reales R.