Ecuaciones diferenciales Homogéneas | Ejemplo 1

Matemáticas profe Alex

11 Oct 201917:43

Summary

TLDREste video imparte un curso sobre ecuaciones diferenciales, centrado en la resolución de una ecuación diferencial homogénea. El presentador explica con detalle los pasos necesarios para reconocer y resolver dichas ecuaciones, incluyendo el cambio de variable y la separación de variables. Se utiliza un ejemplo práctico para guiar al espectador a través del proceso de solución, desde la identificación de la ecuación como homogénea hasta la integración y reemplazo de variables para obtener la solución final. El video es una herramienta valiosa para aquellos que buscan comprender mejor este tipo de ecuaciones matemáticas.

Takeaways

😀 Este video forma parte de un curso sobre ecuaciones diferenciales y se enfoca en resolver un ejemplo de ecuación diferencial homogénea.
📝 Se recomienda ver el video de introducción antes de este para comprender qué es una ecuación diferencial homogénea y cómo reconocerla.
📐 Los dos primeros pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea son escribir la ecuación en la forma correcta y verificar si es homogénea.
🔍 Para saber si una ecuación es homogénea, se debe verificar si las funciones que acompañan a los diferenciales tienen el mismo grado.
🔄 El tercer paso es realizar un cambio de variable, usualmente cambiando 'y' por 'u' o 'x' por 'v', para simplificar la ecuación.
📚 Se elige el cambio de variable que resulte más fácil, generalmente basándose en la complejidad de las funciones presentes en la ecuación.
✏️ Al realizar el cambio de variable, se deben reemplazar todas las ocurrencias de la variable cambiada y sus diferenciales en la ecuación.
📉 Una vez que se ha cambiado la variable, se resuelve la ecuación diferencial por separación de variables, lo que implica agrupar y simplificar términos.
🧮 Al separar variables, se integran los términos correspondientes para encontrar la solución de la ecuación diferencial.
🔙 El quinto paso es volver a la variable inicial, reemplazando 'u' por 'y' sobre 'x' para obtener la solución en términos de las variables originales.
📑 Al final, se despeja la variable dependiente ('y') para obtener la solución de la ecuación diferencial en forma explícita.

Q & A

¿Qué es una ecuación diferencial homogénea?
-Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación diferencial en la que las funciones que acompañan a los diferenciales son homogéneas del mismo grado.
¿Cómo se identifica si una ecuación diferencial es homogénea?
-Para identificar si una ecuación diferencial es homogénea, se verifica que ambas funciones que acompañan a los diferenciales sean homogéneas del mismo grado.
¿Cuáles son los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea?
-Los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea son: escribir la ecuación en la forma adecuada, verificar que sea homogénea, hacer un cambio de variable, resolver por separación de variables y volver a la variable inicial.
¿Qué es un cambio de variable en el contexto de ecuaciones diferenciales?
-Un cambio de variable es una técnica utilizada para simplificar la ecuación diferencial, donde se reemplaza una variable por otra para facilitar la resolución de la ecuación.
¿Por qué se elige cambiar la variable 'y' por 'u' en el ejemplo del video?
-Se elige cambiar la variable 'y' por 'u' porque la función que la acompaña es más simple y facilita la resolución de la ecuación diferencial.
¿Cómo se realiza la derivada del cambio de variable 'y' a 'u' en la ecuación diferencial?
-Para realizar la derivada del cambio de variable 'y' a 'u', se aplica la regla de la derivada de una multiplicación, donde se multiplica la variable 'x' por la derivada de 'u' respecto a 'y' más 'u' por la derivada de 'x'.
¿Qué significa 'separación de variables' en el contexto de ecuaciones diferenciales?
-La separación de variables es un método para resolver ecuaciones diferenciales en el que se alinean todas las instancias de una variable en un lado de la ecuación y las demás en el otro lado, facilitando la integración.
¿Qué operaciones se realizan una vez que se han separado las variables en una ecuación diferencial?
-Una vez que se han separado las variables, se realizan las integraciones de los términos a ambos lados de la ecuación para encontrar la solución.
¿Cómo se reintroduce la variable original después de realizar la integración en la ecuación diferencial?
-Después de realizar la integración, se reemplaza la variable 'u' por su equivalente en términos de 'y', utilizando la relación establecida en el cambio de variable inicial.
¿Qué significa 'despejar la variable dependiente' en la solución de una ecuación diferencial?
-Despejar la variable dependiente significa isolar una de las variables en un lado de la ecuación para expresarla en función de las demás variables y la constante de integración.

Outlines

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📘 Introducción al Curso de Ecuaciones Diferenciales

El presentador comienza el curso de ecuaciones diferenciales con una introducción amistosa, asegurándose de que los estudiantes estén bienvenidos y motivados. Se menciona que se abordará un ejemplo de solución de una ecuación diferencial homogénea. Se hace una breve referencia a un video de introducción previo, recomendando verlo para comprender mejor los conceptos básicos. El presentador explica los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea, destacando que ya se ha cumplido el primer paso al tener la ecuación en la forma adecuada para verificar si es homogénea.

05:02

🔍 Verificación de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Se profundiza en el proceso de verificar si una ecuación diferencial es homogénea, examinando si las funciones que acompañan a los diferenciales tienen el mismo grado. Se explica que ambas funciones en el ejemplo proporcionado son de primer grado, lo que hace que la ecuación sea homogénea. Se da una recomendación sobre cómo elegir la función más simple para realizar el cambio de variable, sugiriendo que se elija la que resulte más fácil de manejar en el proceso de resolución.

10:02

🔄 Proceso de Cambio de Variable en Ecuaciones Diferenciales

El presentador guía a los estudiantes a través del tercer paso del proceso de resolución de ecuaciones diferenciales, que es el cambio de variable. Se describe cómo reemplazar la variable 'y' por una nueva variable 'u', y cómo calcular la derivada de esta nueva variable. Se detalla el proceso de reemplazo en la ecuación diferencial original, cambiando todas las instancias de 'y' por 'u' y ajustando los términos para reflejar esta nueva variable. Se enfatiza la importancia de este paso para poder resolver la ecuación por separación de variables.

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🧩 Solución de Ecuaciones Diferenciales por Separación de Variables

Se explica el cuarto paso, que consiste en resolver la ecuación diferencial por separación de variables. Se detallan las operaciones que se realizan para separar los términos con 'du' de los términos con 'dx', facilitando la integración de ambos lados de la ecuación. Se menciona la importancia de factorizar y simplificar los términos antes de integrar, y se da un ejemplo de cómo se realizan estas operaciones. Finalmente, se resuelve la ecuación diferencial obtenida y se prepara para reemplazar la variable 'u' por 'y' en el paso siguiente.

🔚 Reemplazo de Variables y Despeje de la Variable Dependiente

Se describe el último paso del proceso de resolución de la ecuación diferencial, que es reemplazar la variable 'u' por 'y' y despejar la variable dependiente 'y'. Se muestra cómo se realiza el reemplazo y cómo se obtiene la solución final de la ecuación diferencial en términos de 'x' y 'y'. Se enfatiza la importancia de despejar la variable dependiente para obtener la solución en una forma explícita. El presentador concluye la lección invitando a los estudiantes a explorar más sobre el tema y a suscribirse, comentar, compartir y dar like al vídeo.

Mindmap

Keywords

💡Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son una clase de ecuaciones matemáticas que involucran derivadas. En el video, se utilizan para modelar situaciones donde las cantidades cambian con el tiempo o con otras variables. El video trata sobre cómo resolver una ecuación diferencial homogénea, que es un tipo específico de ecuación diferencial.

💡Ecuación diferencial homogénea

Una ecuación diferencial homogénea es una que se puede escribir en la forma \( y' + p(x)y = 0 \), donde \( p(x) \) es una función de \( x \). En el video, se explica que para resolverla, se siguen unos pasos específicos, y se enfatiza en que ambas funciones que acompañan a los diferenciales deben ser homogéneas del mismo grado.

💡Cambio de variable

El cambio de variable es una técnica utilizada para simplificar ecuaciones o expresiones. En el contexto del video, se realiza un cambio de variable para transformar la ecuación diferencial en una más manejable. Se elige cambiar \( y \) por \( u \), lo que permite separar las variables en la ecuación.

💡Separación de variables

La separación de variables es un método para resolver ecuaciones diferenciales en las que se aíslan los términos que contienen la variable derivada en un lado de la ecuación y los términos que contienen la otra variable en el otro lado. En el video, se utiliza esta técnica para integrar y encontrar la solución de la ecuación diferencial.

💡Función homogénea

Una función homogénea es una que se mantiene constante su forma bajo escalado de variables, es decir, si todas las variables se multiplican por una constante, la función se multiplica por una constante. En el video, se verifica que ambas funciones en la ecuación diferencial son homogéneas del mismo grado para asegurar que la ecuación es homogénea.

💡Grado de una función

El grado de una función en un contexto de ecuaciones diferenciales generalmente se refiere a la máxima potencia de la variable en la función. Se menciona en el video para determinar si una función es homogénea y, por ende, si la ecuación diferencial es homogénea.

💡Integración

La integración es el proceso de encontrar una función de la cual la derivada es otra dada. En el video, se realiza la integración para resolver la ecuación diferencial una vez que las variables han sido separadas, lo que resulta en la función que describe la solución.

💡Constante de integración

La constante de integración aparece al integrar una función, ya que la integración es una operación que no es única a menos que se especifique una condición inicial. En el video, se añade una constante de integración al final de la integración para representar la solución general de la ecuación diferencial.

💡Despejar la variable dependiente

Despejar la variable dependiente significa aislarla en un lado de la ecuación para expresarla en términos de la variable independiente. En el video, después de obtener la solución en forma implícita, se despeja la variable \( y \) para obtener la solución en una forma más explícita.

💡Logaritmo natural

El logaritmo natural es el logaritmo de una cantidad con la base e (la constante matemática aproximadamente igual a 2.71828). En el video, se obtiene el logaritmo natural de \( x \) al integrar una de las partes de la ecuación diferencial, lo que es parte de la solución a la ecuación.

Highlights

Bienvenida al curso de ecuaciones diferenciales.

Explicación detallada del primer ejemplo de solución de una ecuación diferencial homogénea.

Importancia de revisar el vídeo de introducción para comprender conceptos básicos.

Reconocimiento de una ecuación diferencial homogénea a través de su forma algebraica.

Ejemplo de ecuación diferencial homogénea ya escrita en la forma adecuada para su análisis.

Verificación de que la ecuación es homogénea a través de la identificación de grados en las funciones.

Estrategia para elegir el cambio de variable más conveniente en ecuaciones diferenciales.

Cambio de variable para facilitar la resolución de la ecuación diferencial.

Uso de la derivada para transformar la ecuación diferencial en términos de la nueva variable.

Eliminación de la nueva variable para simplificar la ecuación diferencial.

Resolución de la ecuación diferencial por separación de variables.

Multiplicación de términos y factorización para preparar la integración.

Integración de términos para obtener la solución de la ecuación diferencial.

Reemplazo de la variable auxiliar por la original para obtener la solución en términos originales.

Despeje de la variable dependiente para obtener la solución en forma explícita.

Conclusión de la solución de la ecuación diferencial y su representación en forma implícita y explícita.

Invitación a explorar más sobre ecuaciones diferenciales a través del curso completo y otros recursos.

Agradecimientos y despedida del presentador.