Ecuaciones diferenciales | Introducción

Summary

Este script de video ofrece una introducción al curso de ecuaciones diferenciales, explicando qué son y cómo reconocerlas. Se mencionan las variables independientes y dependientes, y se enfatiza la importancia de las derivadas en su definición. El video también contrasta ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, y se menciona la necesidad de encontrar una función que satisfaga una ecuación diferencial en lugar de un valor específico. Se invita a los espectadores a ver más contenido del curso para comprender mejor cómo verificar soluciones y explorar diferentes tipos de soluciones.

Takeaways

• 😀 Un curso de ecuaciones diferenciales se presenta, enfocado en enseñar sobre este tipo de ecuaciones matemáticas.
• 🔍 La definición de una ecuación diferencial se centra en que es una ecuación que incluye derivadas de una o más funciones.
• 📚 Se menciona que las ecuaciones diferenciales son reconocidas por tener variables y derivadas dentro de la misma.
• 📝 Se da un ejemplo de cómo escribir funciones, usualmente con una letra como 'x' o 't', y cómo se representan sus derivadas.
• 👉 Se destaca que resolver una ecuación diferencial implica encontrar una función que satisfaga la ecuación, en lugar de un valor numérico como en ecuaciones algebraicas.
• 🧐 Se describe el proceso de verificar si una función es solución de una ecuación diferencial, a través de la sustitución y comparación.
• 📉 Se introduce la idea de las ecuaciones diferenciales ordinarias, las cuales involucran derivadas con respecto a una sola variable independiente.
• 📈 También se mencionan las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que incluyen derivadas parciales con respecto a múltiples variables independientes.
• 📚 Se enfatiza la importancia de entender las diferencias entre ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.
• 👨‍🏫 El guión invita a los espectadores a seguir aprendiendo sobre ecuaciones diferenciales a través de futuras lecciones y videos.
• 👋 El guión termina con un mensaje de despedida y animación a suscribirse, comentar, compartir y dar like al video.

Q & A

¿Qué es una ecuación diferencial y cómo se reconoce?

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función con sus derivadas. Se reconoce por tener una o más derivadas de una función dentro de la ecuación, generalmente escritas como 'f'(x)', 'f''(x)', etc., donde 'f' representa la función y 'x' es la variable independiente.

¿Cómo se diferencia una ecuación de una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial siempre incluirá derivadas de una función, mientras que una ecuación en general puede no tener derivadas. Por ejemplo, 5x = 7 es una ecuación, pero no es una ecuación diferencial porque no incluye derivadas.

¿Cuál es la diferencia entre las variables independientes y las variables dependientes en una ecuación diferencial?

Las variables independientes son las que no están definidas en términos de otras variables en la ecuación, como 'x' o 't'. Las variables dependientes, por otro lado, son funciones de las variables independientes y suelen aparecer junto con sus derivadas en la ecuación diferencial.

¿Cómo se escribe la derivada de una función en matemáticas?

La derivada de una función se escribe como la función seguida de una coma, por ejemplo, 'f(x)' se convierte en 'f'(x)' o 'dy/dx' si 'y' es la función dependiente y 'x' es la independiente.

¿Qué es una ecuación diferencial ordinaria y cómo se identifica?

Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que contiene derivadas con respecto a una sola variable independiente. Se identifica porque todas las derivadas en la ecuación son de la misma variable, como 'f'(x)', 'f''(x)', etc.

¿Qué son las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y cómo se diferencian de las ordinarias?

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales son aquellas que contienen derivadas parciales con respecto a más de una variable independiente. Se diferencian de las ecuaciones diferenciales ordinarias porque incluyen derivadas con respecto a múltiples variables, como '∂²z/∂x∂y'.

¿Cómo se resuelve una ecuación diferencial?

Para resolver una ecuación diferencial, se busca encontrar una función que satisfaga la ecuación. Esto implica reemplazar la función propuesta en la ecuación y verificar si las derivadas calculadas coinciden con las del lado derecho de la ecuación.

¿Cómo se verifica si una función es una solución de una ecuación diferencial?

Para verificar si una función es una solución de una ecuación diferencial, se calcula la derivada de la función y se compara con el lado derecho de la ecuación. Si ambas partes son iguales, entonces la función es una solución.

¿Cuáles son algunos ejemplos de variables independientes comunes en ecuaciones diferenciales?

Algunas variables independientes comunes en ecuaciones diferenciales incluyen 'x', 't', 'u', 'v', y 'y'. Estas variables generalmente representan el tiempo o una medida de longitud o distancia en diferentes contextos.

¿Por qué es importante la derivada en la resolución de ecuaciones diferenciales?

La derivada es crucial en la resolución de ecuaciones diferenciales porque describe cómo cambia una función con respecto a su variable independiente. Conocer las derivadas es esencial para encontrar la función que satisface la ecuación diferencial dada.

Outlines

00:00

😀 Introducción a las ecuaciones diferenciales

El primer párrafo introduce el curso de ecuaciones diferenciales y comienza explicando lo que es una ecuación diferencial. Se menciona que una ecuación diferencial es una expresión matemática que relaciona una función con sus derivadas. Se destaca que estas ecuaciones suelen incluir variables como x, t, u, v, y que las derivadas se representan con una letra sobrescrita y una coma. Además, se ofrece un ejemplo de cómo se reconoce una ecuación diferencial y cómo se diferencia de una ecuación común.

05:00

😉 Reconociendo y resolviendo ecuaciones diferenciales

Este párrafo continúa la explicación sobre ecuaciones diferenciales y cómo reconocerlas. Se presentan ejemplos de ecuaciones para ilustrar cuáles son y cuáles no son ecuaciones diferenciales. Además, se discute la idea de resolver una ecuación diferencial, lo cual implica encontrar una función que satisfaga la ecuación en lugar de encontrar un valor específico para una variable. Se utiliza un ejemplo para demostrar cómo verificar si una función es una solución a una ecuación diferencial, y se menciona que se profundizará en el proceso de verificación en un video subsiguiente.

10:02

🎓 Clasificación de ecuaciones diferenciales

El tercer párrafo se enfoca en la clasificación de las ecuaciones diferenciales. Se diferencia entre ecuaciones diferenciales ordinarias, que contienen derivadas con respecto a una sola variable independiente, y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que incluyen derivadas parciales con respecto a más de una variable independiente. Se proporcionan ejemplos de ambos tipos de ecuaciones y se invita al espectador a ver el siguiente video para aprender cómo verificar soluciones de ecuaciones diferenciales y para obtener más información sobre diferentes tipos de soluciones.

Keywords

💡Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una expresión matemática que involucra una o más funciones y sus derivadas. Es central en el tema del video, ya que se discute cómo reconocer y resolver estas ecuaciones. Por ejemplo, el guion menciona que una ecuación diferencial puede incluir la primera, segunda o derivadas de orden superior de una función con respecto a una variable.

💡Variable dependiente

En el contexto de las ecuaciones diferenciales, la variable dependiente es la función que se está analizando, a diferencia de la variable independiente, que suele ser el dominio sobre el cual se define la función. En el guion, se utiliza el ejemplo de 'f(x)' para ilustrar una variable dependiente.

💡Variable independiente

La variable independiente es la que se utiliza para definir la función en una ecuación diferencial, y generalmente se representa con letras como 'x', 't', 'u', 'v', entre otras. En el script, se menciona que las variables independientes son clave en la formulación de ecuaciones diferenciales.

💡Derivada

La derivada es un concepto fundamental en el cálculo y se refiere al cambio ratero de una función con respecto a su variable independiente. En el video, la derivada es esencial para la identificación de una ecuación diferencial, como se muestra en ejemplos donde se buscan derivadas de funciones.

💡Función

Una función es una relación matemática que asocia cada valor de una variable (variable independiente) con un valor único de otra variable (variable dependiente). En el guion, las funciones son el eje central en torno a las ecuaciones diferenciales, donde se discute cómo se relacionan con sus derivadas.

💡Ecuación

Una ecuación es una expresión que iguala dos expresiones algebraicas, donde se busca encontrar el valor de una o más variables para satisfacer la igualdad. En el video, se destaca la importancia de las ecuaciones en el contexto de las ecuaciones diferenciales, donde se resuelven para encontrar funciones en lugar de valores numéricos.

💡Resolución de ecuaciones

La resolución de ecuaciones implica encontrar el valor o valores que cumplen con la condición de igualdad en la ecuación. En el caso de las ecuaciones diferenciales, se busca una función que satisfaga la ecuación en lugar de un valor numérico específico.

💡Ecuación diferencial ordinaria

Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que contiene derivadas con respecto a una sola variable independiente. Es mencionada en el guion como el tipo de ecuaciones diferenciales que se abordan en la primera parte del curso.

💡Ecuación diferencial en derivadas parciales

Esta es una ecuación que involucra derivadas parciales, es decir, derivadas con respecto a más de una variable independiente. En el script, se da un ejemplo de cómo se representan estas ecuaciones y se distinguen de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

💡Solución de ecuaciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que, cuando se reemplaza en la ecuación, la hace verdadera. El guion describe cómo verificar si una función es una solución correcta a una ecuación diferencial, a través del proceso de reemplazo y comparación.

Highlights

Bienvenida al curso de ecuaciones diferenciales.

Definición de una ecuación diferencial y su reconocimiento.

Importancia de las variables y derivadas en las ecuaciones diferenciales.

Ejemplo de cómo no todas las ecuaciones son diferenciales.

Funciones y sus representaciones comunes en matemáticas.

Explicación de la equivalencia entre notación de funciones y variables.

Introducción a las derivadas y su representación algebraica.

Cómo identificar una ecuación diferencial por la presencia de derivadas.

Diferenciación entre ecuaciones de primer grado y ecuaciones diferenciales.

Proceso de resolver una ecuación diferencial en comparación con ecuaciones sencillas.

Ejemplo práctico de cómo verificar si una función es solución de una ecuación diferencial.

Concepto de ecuación diferencial ordinaria y sus características.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Diferencia entre derivadas parciales y totales en ecuaciones diferenciales.

Invitación a los espectadores a seguir el curso para un aprendizaje más profundo.

Espera de que los espectadores tengan éxito en tareas o evaluaciones relacionadas con el tema.

Transcripts

qué tal amigos espero que estén muy bien

bienvenidos al curso de ecuaciones

diferenciales y ahora veremos una

pequeña introducción a este curso

i

i

[Música]

y obviamente lo primero de lo que

tenemos que hablar en este curso pues es

de que es una ecuación diferencial que

es lo primero que tenemos que ir

reconociendo una ecuación diferencial

obviamente primero que todo es una

ecuación acordémonos que una ecuación es

una expresión en la que hay un igual por

ejemplo si tenemos 5x igual a 7 esto es

una ecuación no es una ecuación

diferencial pero es una ecuación porque

porque todas las ecuaciones tienen el

signo igual y tienen variables o sea

tienen letras al igual que la ecuación

diferencial entonces es una ecuación que

relaciona una función o sea dentro de

esa ecuación diferencial bueno ésta no

es diferencial pero dentro de la

ecuación diferencial vamos a encontrar

funciones que la función es la variable

dependiente además vamos a encontrar su

variable o sea las letras ya les voy a

hacer un ejemplo o variables porque

acordémonos que se puede trabajar con

una o varias variables que son las

variables independientes y además lo más

clave de todo es que obviamente en la

ecuación diferencial tenemos que

encontrar sus derivadas

es la clave para reconocer más que todo

una ecuación diferencial que vamos a

encontrar en algún lado derivadas

vamos a verlo aquí con ejemplos entonces

ya sabemos que una ecuación diferencial

relaciona la función con la variable y

con las derivadas como se reconocen las

funciones en matemáticas pues la forma

más típica de escribir una función es

así

efe de equis o fdp cuando trabajamos

generalmente con el tiempo o efe de

alguna letra generalmente las más usadas

son la x la t la uv y la v o sea

encontraríamos f

efe dv o también puede cambiar la letra

no por ejemplo puede ser otra función la

función g de x xi pero generalmente lo

más usado es esto además acordémonos que

fx es lo mismo que decir que si entonces

si ustedes se encuentran en una función

fx igual a algo ustedes pueden

fácilmente borrar fx y en lugar de fx

escribir y no hay problema porque pues

obviamente esto es igual no entonces

se reconoce una función cuáles son las

variables como miren que aquí dice fx

pues aquí nos está diciendo que la

variable va a hacer la letra x o por

ejemplo aquí nos dice efe dt esto quiere

decir que la variable en esa función va

a ser la letra t aquí como dice gx tiene

la misma variable la variable x y

generalmente cuando encontramos la letra

i generalmente lo más probable en 99% de

las veces está con la variable x aunque

podemos encontrarla con otras variables

generalmente de vuelvo a decirles cuando

encontramos las es la equis pero ustedes

pueden encontrar también otras letras lo

más probable es que sea la equis ahora

también vamos a encontrar sus derivadas

entonces como se escribiría la derivada

de esta función acordémonos que se

escribe esta misma función pero con una

comida en la parte superior

esta es la derivada de esa función

obviamente aquí escribiríamos efe dt

pero derivada lo mismo aquí que derivada

con una comida o la aie cuando derivamos

las acordémonos

y derivada otra forma de describir la

derivada por ejemplo fx es lo mismo que

si escribimos derivada de y con respecto

a x sí o esto es lo mismo no como fx es

lo mismo que y entonces también al igual

la derivada de fx o la derivada de ella

es lo mismo que si decimos derivada de y

con respecto a x entonces si en una

función encontramos o más bien si en una

ecuación encontramos todas estas

características ya sabemos que nos

enfrentamos a una ecuación diferencial

lo más la forma más fácil de verla es

que en algún lugar va a aparecer esto la

derivada si si no aparece la derivada

obviamente también puede aparecer la

segunda derivada a la tercera o la

cuarta derivada por ejemplo puede

aparecer en algún lugar de la ecuación

la segunda derivada o por ejemplo la

tercera derivada que se designa con tres

comillas no en la definición de ecuación

diferencial generalmente los libros la

dan

de esta forma así es una ecuación en la

que vamos a encontrar las variables las

funciones y cualquier derivada en la

primera derivada o la segunda derivada o

tercera o cuarta o quinta hasta

cualquier tipo de derivada la derivada n

si esto es una n

y ahora vamos a ver algunas ecuaciones

para que aprendamos a reconocer cuáles

son y cuáles no son ecuaciones

diferenciales como les decía lo más

básico para saber qué es una ecuación

diferencial pues primero es ver que sea

ecuación o sea que esté el signo igual

todas estas son ecuaciones porque tienen

el signo igual y obviamente además

tienen letras pero además deben

encontrarse en algún lado de la ecuación

alguna forma de escribir la derivada

entonces esta es una ecuación

diferencial porque es una ecuación en la

que encontramos una derivada aquí es una

ecuación diferencial en la que

encontramos también una derivada aquí

otra ecuación diferencial porque dice

una ecuación

esta es una diferencial pero ya esto

quiere decir la segunda derivada no se

puede escribir con el número dos aquí

arriba o con dos comidas como incluye

alguna derivada entonces esta es una

ecuación diferencial esta no es una

ecuación diferencial porque porque es

una ecuación pero en ningún lado está

escrita la derivada de una función

entonces ésta no es

una ecuación diferencial y esta sí es

una ecuación diferencial porque

relaciona la función con la derivada

incluso con la segunda derivada ahora

vamos a hablar de otra cosita que nos

interesa mucho que es resolver una

ecuación diferencial que es resolver una

ecuación diferencial bueno antes de

hablar de esto les voy a recordar por

ejemplo si yo quiero resolver una

ecuación por ejemplo x + 3 igual a 5 que

es resolver esta ecuación resolver esta

ecuación es encontrar un valor para la x

que haga que esto sea verdad sí que esto

que está escrito sea verdad por ejemplo

yo puedo decir que una respuesta o la

respuesta más bien de esta ecuación es

que la x es igual a 2 y porque esa es

una respuesta de la ecuación pues porque

esto satisface esta ecuación o sea yo

estoy diciendo que si reemplazo la x con

el número 2 esto va a ser correcto

entonces como hace uno para verificar si

sí está bien resuelta la ecuación pues

simplemente verificando que esto es

verdad yo estoy diciendo que si la x

vale 2 esto es verdad pues reemplazo la

x con él

aquí nos quedaría 23 igual a 523 es 5

que eso es obviamente igual a 5 entonces

estamos viendo que esta si es la

respuesta de esta ecuación pero

obviamente estas eran ecuaciones

sencillas que son ecuaciones de primer

grado pero en las ecuaciones

diferenciales ya no vamos a encontrar el

valor de una letra sino lo que vamos a

hacer es encontrar una función que

satisfaga dicha ecuación entonces vamos

a realizar un ejemplo de cómo mirar si

una solución si es solución de una

ecuación diferencial aquí tenemos una

ecuación diferencial que como se

reconoce pues porque tiene la derivada

acordémonos que esto se puede escribir

más fácilmente como acordemos que fx es

lo mismo que llegue entonces voy a

escribirlo como jay derivada es igual a

3 y sobre x entonces esta es una

ecuación diferencial y esta es

exactamente la misma ecuación supongamos

que ya resolvimos la ecuación que

obviamente eso lo vamos a ver en los

siguientes vídeos cómo resolver una

ecuación diferencial supongamos que ya

la resolvimos y el resultado medio que

era igual a x al cubo entonces cómo

hacemos para saber si esto sí es la

solución de esta ecuación diferencial

pues tenemos que mirar si esto si

satisface esta ecuación como lo haríamos

al igual que con lo de la x lo haríamos

reemplazando en esta respuesta acá pero

miren que aquí nos dice bueno esta es la

función que yo estoy diciendo que es

respuesta de esta ecuación pero entonces

como haríamos para verificarlo aquí dice

que derivada entonces aquí tengo que

escribir la derivada de la función que

yo estoy diciendo que es la respuesta

bueno este es un ejemplo cortico a esto

me voy les voy a explicar más

detenidamente esto de cómo verificar una

ecuación diferencial en el siguiente

vídeo donde voy a hacer la segunda parte

de la introducción entonces aquí

rápidamente como yo quiero reemplazar

aquí

con la función que dije que es la

solución aquí dice derivada esto es

entonces cómo hago para encontrar la

derivada pues hay una derivada entonces

ye derivada sería igual a derivar esto

acordémonos cuál es la derivada a la

derivada de x al cubo es bajar el

exponente y restarle 1 entonces si

reemplazamos en esta ecuación con lo que

tenemos acá nos quedaría de la siguiente

forma ya derivada que es la ya derivada

la derivada es 3x al cuadrado entonces

aquí reemplazo 3 x al cuadrado es igual

si bien miren que estamos reemplazando

aquí dice 3 por ye o sea 3 x pero la que

es la función o sea la que es x al cubo

dividido entre x entonces si al hacer

esta operación me da esto o sea si me da

una igualdad verdadera es porque está si

era la solución de esta ecuación aquí

pues lo fácil es eliminar una x con una

de las tres que están arriba entonces

aquí nos queda 3 x al cuadrado igual y

aquí nos quedaría 3

y al eliminar una de las equis con esta

de abajo nos queda x al cuadrado como

nos dio 3 x al cuadrado igual a 3 x al

cuadrado quiere decir que esta sí es la

solución de esta ecuación porque porque

esta es una función que satisface esta

ecuación diferencial y por último vamos

a hablar de una de las clasificaciones

de las ecuaciones diferenciales las

ecuaciones diferenciales con respecto al

número de variables que están derivadas

dentro de esa ecuación se diferencian

entre ecuación diferencial ordinaria que

generalmente en los libros ya o uno ya

se acostumbra a escribir eso sí para no

escribir ecuación diferencial ordinaria

y que es una ecuación diferencial

ordinaria es una ecuación que contiene

derivadas respecto a una sola variable

independiente o sea contiene derivadas

con respecto a una sola letra y aquí

tenemos algunos ejemplos de ecuaciones

diferenciales ordinarias bueno espero

que no estén muy

muy desordenado aquí tenemos una

ecuación diferencial ordinaria porque

aquí la derivada está solamente con

respecto a x no hay más aquí tenemos la

derivada que generalmente como les decía

esto es derivada de con respecto a x lo

mismo aquí tenemos solamente derivadas

de la función ya que generalmente es con

respecto a x aquí bueno algo que me voy

a cortar escribiendo aquí es que una de

las ecuaciones diferenciales yo les

escribí el cuadrado acá pero no el

cuadrado acá pues cuidado porque creo

que lo escribí mal debió haberle escrito

el cuadrado aquí a la equis no el

cuadrado no porque quiere decir segunda

derivada no entonces aquí está la

segunda derivada con respecto a x aquí

está la primera derivada con respecto a

xy aquí está la y pues que es la función

no entonces como contiene derivadas

solamente con respecto a una sola

variable estas son las ecuaciones

diferenciales ordinarias que es

obviamente lo que vamos a ver en la

primera parte del curso y el otro tipo

de ecuaciones diferenciales son las

ecuaciones diferenciales en derivadas

que se describe de esta forma de

ecuación diferenciales parciales y son

las ecuaciones que contienen derivadas

parciales por eso se llaman parciales de

una o más variables independientes y

aquí les escribí dos ejemplos de

ecuaciones diferenciales en derivadas

parciales que son estas como se

reconocen y miren las diferencias en

este caso miren que esta derivada está

con respecto a t y luego tenemos otra

derivada con respecto a x entonces aquí

ya se ve que son derivadas parciales una

con respecto a una letra oa una variable

y la otra con respecto a otra variable

aquí tenemos la segunda derivada de z

con respecto a x y aquí tenemos la

segunda derivada de z con respecto a y

entonces tenemos con respecto a dos

variables por eso esta es una ecuación

diferencial o son dos ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales

como les decía los invito a ver el

siguiente vídeo para que veamos cómo

saber si una solución si es solución de

una ecuación diferencial para ya entrar

en forma a ver los diferentes tipos de

solución de ecuaciones diferenciales en

este caso no les voy a dejar ejercicio

de práctica porque eso lo vamos a ver en

esos siguientes vídeos de los que les

hablo

bueno amigos espero que les haya gustado

la clase si les gusto los invito a que

vean el curso completo para que

profundicen un poco más sobre este tema

o algunos vídeos recomendados y si están

aquí por alguna tarea o evaluación

espero que les vaya muy bien los invito

a que se suscriban comenten compartan y

le den laical vídeo y no siendo más bye

bye