ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS. Curso completo de ecuaciones diferenciales desde cero

Matemáticas con Juan

2 Jul 202118:43

Summary

TLDREl guion del video ofrece una clase sobre ecuaciones diferenciales desde cero, enfocándose en el análisis de ecuaciones no homogéneas y no separables. Se introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y se demuestra cómo, mediante la verificación de ciertas condiciones, se pueden resolver de forma sencilla. Se utiliza un ejemplo práctico para ilustrar el proceso de integración y resolución de una ecuación diferencial exacta, mostrando los pasos para encontrar la función solución y cómo se relaciona con las derivadas parciales. Finalmente, se desafía a los estudiantes con un ejercicio similar para aplicar los conceptos aprendidos.

Takeaways

📚 Clase sobre ecuaciones diferenciales, introduciendo conceptos básicos y avanzados.
🔍 Primera clase enfocándose en ecuaciones diferenciales con variables separadas y fáciles de separar.
🔄 Segunda clase explorando ecuaciones diferenciales homogéneas y cómo convertirlas en variables separadas mediante un cambio de variable.
🆕 Tercera clase introduciendo ecuaciones diferenciales exactas, las cuales no tienen variables separadas y no son homogéneas.
📉 Una ecuación diferencial es exacta si la derivada de una función con respecto a otra variable es igual a la derivada de otra función con respecto a la primera variable.
🧩 Solución de ecuaciones diferenciales exactas implica encontrar una función que, cuando derivada, satisface la ecuación dada.
📝 Ejemplo práctico de resolución de una ecuación diferencial que no es separable ni homogénea, pero es exacta.
📉 Demostración de que la ecuación dada es exacta a través de la comparación de derivadas parciales.
✍️ Proceso de integración para encontrar la solución de la ecuación diferencial, incluyendo la adición de constantes.
🔢 Identificación de la solución en términos de las variables y constantes, y cómo se relaciona con la ecuación original.
📝 Asignación de un ejercicio similar a los estudiantes para practicar la solución de ecuaciones diferenciales exactas.

Q & A

¿Qué tipo de ecuaciones diferenciales se discutieron en la primera clase?
-En la primera clase se discutieron ecuaciones diferenciales en las que las variables estaban separadas o eran fácilmente separables.
¿Qué se aprendió en la segunda clase sobre ecuaciones diferenciales?
-En la segunda clase, se estudiaron ecuaciones diferenciales homogéneas que, a pesar de parecer desordenadas, podían ser transformadas en ecuaciones con variables separadas mediante un cambio de variable.
¿Cuál es el tema principal de la tercera clase de ecuaciones diferenciales?
-El tema principal de la tercera clase es el estudio de ecuaciones diferenciales que no tienen variables separadas y que no son homogéneas, conocidas como ecuaciones diferenciales exactas.
¿Qué propiedad verifican las ecuaciones diferenciales exactas?
-Las ecuaciones diferenciales exactas verifican la propiedad de que la derivada de la función 'm' con respecto a 'y' es igual a la derivada de la función 'n' con respecto a 'x'.
¿Cómo se define la solución de una ecuación diferencial exacta?
-La solución de una ecuación diferencial exacta es una función que satisface la condición de que la integral de 'm' con respecto a 'x' más la integral de 'n' con respecto a 'y' es igual a una constante.
¿Cómo se resuelve la ecuación diferencial dada en el ejemplo del script?
-Se resuelve integrando las partes de la ecuación y encontrando una función que, cuando derivada con respecto a 'x' o 'y', cumpla con las condiciones de la ecuación diferencial exacta.
¿Por qué se dice que la ecuación diferencial en el ejemplo es exacta?
-La ecuación diferencial en el ejemplo es exacta porque se verifica que la derivada de la función 'm' con respecto a 'y' es igual a la derivada de la función 'n' con respecto a 'x'.
¿Qué es una ecuación diferencial separable y cómo se diferencia de las ecuaciones exactas?
-Una ecuación diferencial separable es aquella en la que las variables pueden ser separadas y la ecuación se puede resolver integrando cada parte por separado. Mientras tanto, una ecuación diferencial exacta cumple una condición específica de igualdad de derivadas, que no es necesariamente el caso para las separables.
¿Qué es un cambio de variable y cómo se utiliza en ecuaciones diferenciales homogéneas?
-Un cambio de variable es una técnica utilizada para simplificar ecuaciones diferenciales, transformándolas en una forma más manejable. En el caso de ecuaciones diferenciales homogéneas, un cambio de variable puede permitir escribir la ecuación con variables separadas.
¿Cómo se puede determinar si una ecuación diferencial es homogénea o no?
-Una ecuación diferencial es homogénea si, después de un cambio de escala adecuado, todas las variables y coeficientes tienen el mismo exponente, generalmente uno. Si no se puede hacer esto, la ecuación no es homogénea.
¿Qué es el ejercicio propuesto al final del script y cómo se relaciona con el tema de la clase?
-El ejercicio propuesto es resolver una ecuación diferencial que no tiene variables separadas ni es homogénea, pero es exacta. Se relaciona con el tema de la clase ya que ejerce los conceptos aprendidos sobre ecuaciones diferenciales exactas.

Outlines

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📚 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Exactas

El primer párrafo presenta la introducción al tema de las ecuaciones diferenciales exactas, una extensión de los conceptos vistos en las clases anteriores sobre ecuaciones diferenciales separables y homogéneas. Se menciona que las ecuaciones exactas tienen una propiedad única: si la derivada de una función con respecto a otra variable es igual a la derivada de la segunda función con respecto a la primera variable, entonces la ecuación es exacta. Esta propiedad permite encontrar una solución de la forma de una función que es constante. Se utiliza un ejemplo práctico para ilustrar cómo se llega a la solución, destacando la importancia de la comprensión de las propiedades de las ecuaciones exactas.

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🔍 Verificación de la Exactitud de una Ecuación Diferencial

En el segundo párrafo, se profundiza en el proceso de verificar si una ecuación diferencial es exacta. Se muestra cómo tomar las derivadas parciales y compararlas para determinar si la ecuación cumple con la condición de ser exacta. El ejemplo concreto de una ecuación dada se analiza paso a paso, y se confirma que es exacta mediante la verificación de que sus derivadas cruzan son iguales. Seguidamente, se abordan las fórmulas para encontrar la solución de la ecuación, utilizando la integral de la función involucrada y el manejo de constantes.

10:05

📝 Desarrollo de la Solución para una Ecuación Diferencial Exacta

El tercer párrafo se centra en el desarrollo de la solución para una ecuación diferencial que se ha verificado como exacta. Se describe el proceso de integración para encontrar la función solución, que involucra la manipulación de expresiones algebraicas y la identificación de constantes. Se muestra cómo se llega a una solución provisional, que luego se refina para incluir constantes de integración y se ajusta para cumplir con la forma esperada de la solución. Se resalta la importancia de la precisión en los cálculos y la interpretación de los resultados.

15:08

🏋️‍♂️ Ejercicio de Práctica para los Estudiantes

El último párrafo concluye el script con una llamada a la acción para que los estudiantes practiquen lo aprendido. Se presenta un ejercicio similar al anterior, pero con una ecuación diferencial diferente que desafía al estudiante para que aplique los conceptos aprendidos y verifique si la ecuación es exacta y, de ser así, encuentre su solución. El autor se bromea sobre su habilidad para correr rápidamente mientras los estudiantes trabajan en el ejercicio, invitando a la interacción y el intercambio de soluciones y experiencias en los comentarios del video.

Mindmap

Keywords

💡Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son una clase de ecuaciones matemáticas que implican derivadas parciales o ordinarias. Son fundamentales en la modelización de fenómenos físicos, económicos y biológicos. En el video, se discuten diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, como las separables y las homogéneas, y cómo resolverlas.

💡Separadas

En el contexto de las ecuaciones diferenciales, 'separadas' se refiere a que las variables pueden ser aisladas de tal manera que la ecuación se convierte en una función de una sola variable, facilitando su integración. Ejemplo en el script: 'en donde las variables estaban separadas todo masticadito y si, no estaban separadas era muy fácil, separarlas'.

💡Homogéneas

Las ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas en las que todos los términos tienen la misma variable a la cual se le está derivando. El video menciona que a través de un cambio de variable, estas ecuaciones pueden ser transformadas en ecuaciones con variables separadas.

💡Exactas

Una ecuación diferencial exacta es aquella que cumple con la condición de que la derivada de una función con respecto a una variable es igual a la derivada de otra función con respecto a la variable independiente. En el script, se ilustra cómo identificar y resolver estas ecuaciones.

💡Derivada

La derivada es un concepto fundamental del cálculo que describe la pendiente instantánea de una curva en un punto dado. En el video, se usan derivadas para analizar y resolver ecuaciones diferenciales, como en 'derivada de m respecto de y igual a la derivada de n respecto de x'.

💡Integral

El proceso opuesto a la derivación es la integración, que busca la función original a partir de su derivada. En el script, se utiliza la integración para encontrar la solución a las ecuaciones diferenciales, como en 'la integral de m diferencial de x'.

💡Variables separables

En matemáticas, cuando las variables de una ecuación diferencial se pueden separar, esto significa que cada variable se aísla en un lado de la ecuación, lo que simplifica el proceso de integración. El script menciona este concepto al discutir ecuaciones que no son homogéneas pero que pueden ser tratadas como si lo fueran.

💡Función

Una función es una relación matemática que asigna un único valor a cada entrada dentro de un conjunto de entradas. En el video, la función es central en la resolución de ecuaciones diferenciales, donde se busca una función que satisfaga la ecuación dada.

💡Constante

En matemáticas, una constante es un valor que no cambia. En el contexto de las ecuaciones diferenciales, a menudo se añaden constantes arbitrarias al integrar, ya que la integración de una función es ambigua más que una constante. El script hace referencia a esto al resolver las ecuaciones.

💡Ejercicio

El script concluye con un desafío para los estudiantes, presentando un 'ejercicio físico' que consiste en resolver una ecuación diferencial similar a las discutidas en el video. Esto demuestra el proceso de aprendizaje y aplicación de los conceptos vistos.

Highlights

Introducción a las ecuaciones diferenciales desde cero en la tercera clase del curso.

Revisión de ecuaciones diferenciales sencillas con variables separadas en la primera clase.

Análisis de ecuaciones diferenciales homogéneas y su resolución a través de cambios de variable en la segunda clase.

Presentación de ecuaciones diferenciales no homogéneas y no separables en la tercera clase.

Introducción a las ecuaciones diferenciales exactas y su propiedad fundamental.

Condición de exactitud de una ecuación diferencial: la derivada de m respecto a y igual a la derivada de n respecto a x.

Método para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales exactas.

Explicación de dos formas distintas de encontrar la función solución de una ecuación diferencial.

Ejemplo práctico de resolución de una ecuación diferencial no separable ni homogénea.

Demostración de que la ecuación propuesta es una ecuación diferencial exacta.

Proceso de integración para encontrar la solución de la ecuación diferencial dada.

Discusión sobre la forma de escribir la solución de una ecuación diferencial exacta.

Corrección de un error en la expresión de la solución y su reescritura correcta.

Integración de la derivada de la función solución para encontrar la constante integral.

Resolución completa de la ecuación diferencial con la presentación de la solución final.

Asignación de un ejercicio similar para que los estudiantes practiquen la resolución de ecuaciones diferenciales.

Esperanza de recibir comentarios y soluciones de los estudiantes en la sección de comentarios.

Conclusión de la clase y despedida del profesor con una invitación a la próxima sesión.