86. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (segundo orden, homogénea) EJERCICIO RESUELTO
Summary
TLDREn este vídeo tutorial de 'Mate, Fácil', se resuelve una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Se propone una solución de tipo exponencial, ya que las funciones exponenciales tienen derivadas que son ellas mismas. Se calculan las derivadas primera y segunda, y se sustituyen en la ecuación para obtener una ecuación característica. Se resuelve esta ecuación para encontrar los valores de 'r', que permiten obtener dos soluciones linealmente independientes. Finalmente, se combina estas soluciones con constantes arbitrarias para obtener la solución general de la ecuación diferencial.
Takeaways
- 📘 Para resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes, se propone una solución de tipo exponencial.
- 🔍 Las funciones exponenciales son elegidas porque sus derivadas son ellas mismas, lo cual se alinea con la estructura de la ecuación diferencial.
- ✏️ Se calculan las primeras y segundas derivadas de la función exponencial propuesta para sustituir en la ecuación diferencial original.
- 🧮 Al sustituir las derivadas en la ecuación, se obtiene una ecuación que relaciona a r (la base de la exponencial) con una ecuación de segundo grado.
- 🔑 Se factoriza la ecuación resultante para encontrar los valores de r que satisfacen la ecuación, resultando en dos posibles valores para r.
- 📐 Los valores de r determinan las soluciones exponenciales individuales, que son linealmente independientes.
- 🌐 La solución general de la ecuación diferencial se obtiene combinando las soluciones individuales, multiplicadas por constantes arbitrarias.
- 🔄 Se menciona que se puede evitar el proceso de cálculo paso a paso y directamente resolver la ecuación característica para encontrar los valores de r.
- 📚 La ecuación característica tiene la misma forma que la ecuación diferencial, pero en términos de r, y se puede resolver para encontrar directamente las soluciones.
- 🔮 Se destaca que existen diferentes casos en ecuaciones de segundo grado, incluyendo soluciones reales duplicadas, una solución real única, o soluciones complejas.
Q & A
¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el vídeo?
-Se resuelve una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes.
¿Cuál es la forma general de la ecuación diferencial que se resuelve en el vídeo?
-La ecuación diferencial es de la forma y'' - 6y' + 8y = 0.
¿Por qué se propone una solución de tipo exponencial para la ecuación diferencial?
-Se propone una solución de tipo exponencial porque las funciones exponenciales son aquellas que tienen como derivadas a ellas mismas, lo que es coherente con la estructura de la ecuación diferencial.
¿Cómo se calculan las derivadas de una función exponencial en el contexto del vídeo?
-La primera derivada de una función de la forma e^(rx) es r*e^(rx), y la segunda derivada es r^2*e^(rx).
¿Cómo se sustituye la solución propuesta en la ecuación diferencial para resolverla?
-Se sustituye la solución propuesta en la ecuación diferencial, calculando las derivadas correspondientes y simplificando para obtener una ecuación en términos de r.
¿Qué se factoriza en el proceso de resolución de la ecuación diferencial?
-Se factoriza la expresión r^2 - 6r + 8, que se obtiene al simplificar la ecuación diferencial tras sustituir la solución propuesta.
¿Cuáles son los valores posibles para r tras factorizar la expresión en el vídeo?
-Los valores posibles para r son 2 y 4, ya que se resuelven las ecuaciones r - 2 = 0 y r - 4 = 0.
¿Cómo se obtienen las soluciones de la ecuación diferencial a partir de los valores de r?
-Se sustituyen los valores de r en la solución propuesta e^(rx) para obtener las soluciones e^(2x) y e^(4x).
¿Qué es la solución general de la ecuación diferencial y cómo se obtiene?
-La solución general es una combinación lineal de las soluciones particulares, es decir, c1*e^(2x) + c2*e^(4x), donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.
¿Qué es la ecuación característica y cómo se relaciona con la ecuación diferencial?
-La ecuación característica es una ecuación de segundo grado que se obtiene a partir de la ecuación diferencial al reemplazar y simplificar, y cuyas soluciones son los valores de r que determinan las soluciones de la ecuación diferencial.
¿Cómo se pueden obtener soluciones complejas en ecuaciones diferenciales de este tipo?
-Se pueden obtener soluciones complejas si los valores de r son complejos, lo que ocurre cuando la ecuación característica tiene discriminante negativo.
Outlines
📘 Resolución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden
En este primer párrafo, se presenta el proceso para resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Se propone una solución de tipo exponencial, ya que las funciones exponenciales son sus propias derivadas. Se calculan las primeras y segundas derivadas de una función exponencial y se sustituyen en la ecuación diferencial. Al factorizar, se obtiene una ecuación característica que permite determinar los valores de 'r', los cuales son clave para encontrar las soluciones linealmente independientes. Finalmente, se construye la solución general de la ecuación diferencial como una combinación de estas soluciones.
🔍 Introducción a la ecuación característica y su importancia
El segundo párrafo profundiza en la importancia de la ecuación característica en la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica que, en lugar de seguir todos los pasos de la resolución, se puede ir directamente a esta ecuación para determinar los valores de 'r'. Se menciona que existen diferentes situaciones en las que pueden surgir soluciones reales o complejas, y se invita a los espectadores a resolver un ejercicio similar para practicar. Además, se anima a los espectadores a interactuar a través de comentarios, 'likes' y suscripciones para seguir aprendiendo sobre este tema.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación diferencial
💡Solución exponencial
💡Derivada
💡Ecuación característica
💡Factorización
💡Soluciones linealmente independientes
💡Solución general
💡Coeficientes constantes
💡Soluciones complejas
💡Constantes arbitrarias
Highlights
Resolución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes.
Propuesta de una solución de tipo exponencial para la ecuación diferencial.
Importancia de las funciones exponenciales en ecuaciones diferenciales debido a sus propiedades de derivación.
Cálculo de la primera derivada de una función exponencial.
Cálculo de la segunda derivada de una función exponencial.
Sustitución de las derivadas en la ecuación diferencial para encontrar la solución.
Factorización de la exponencial en la ecuación para simplificar.
Obtención de una ecuación característica para determinar los valores de 'r'.
Resolución de la ecuación característica por factorización.
Dos posibles valores para 'r' que dan lugar a dos soluciones linealmente independientes.
Sustitución de los valores de 'r' para obtener las soluciones específicas de la ecuación diferencial.
Forma general de la solución para una ecuación diferencial de segundo orden homogénea.
Explicación de por qué una función exponencial nunca es cero y su implicación en la resolución de la ecuación.
Método abreviado para resolver ecuaciones diferenciales a partir de la ecuación característica.
Ejercicio propuesto para aplicar los conceptos aprendidos.
Invitación a los espectadores a interactuar a través de comentarios, likes y suscripciones.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a resolver la
siguiente ecuación diferencial lineal de
segundo orden que tiene coeficientes
constantes y evi prima menos 67 prima
más 8 y igual a 0 para resolver una
ecuación diferencial de este tipo lo que
empezamos haciendo es proponer una
solución de tipo exponencial se propone
una solución de tipo exponencial porque
las funciones exponenciales son las que
tienen como derivadas a ellas mismas y
aquí si notan estamos sumando una
segunda derivada más una primera
derivada más la propia función y eso nos
tiene que dar igual a cero entonces por
ello es razonable pensar que la función
que estamos usando es una función
exponencial así que lo que empezamos es
proponiendo que es igual a una
exponencial de r por x está r es la que
nos gustaría conocer cuánto vale para
cada solución de esta ecuación
diferencial entonces lo que vamos a
hacer cómo estamos suponiendo que una
solución de esta ecuación es de este
tipo es sustituir esta función en
ecuación entonces necesitamos calcular
la primera derivada y la segunda
derivada de esta función así que
calculamos la primera derivada la
derivada de una exponencial recuerden
que se calcula derivando primero el
exponente la derivada de rx es
simplemente r porque eres una constante
y x
a la rx o sea se multiplica por la
propia exponencial hay que volver a
derivar para obtener la segunda derivada
y poder sustituir aquí entonces la
segunda derivada se calcula otra vez
derivando esta exponencial que otra vez
se deriva el exponente la derivada de rx
es r multiplicado por esta r nos da r
cuadrada y pasamos otra vez la
exponencial de rx bueno pues ahora vamos
a sustituir estos valores aquí en la
ecuación diferencial y nos queda
entonces lo siguiente
la segunda derivada que ese recuadro
deje al aire x menos 6 por la primera
derivada que es r a la rx-8 por la
propia ya que es 8
al aire x igual a 0 noten que aquí
podemos factorizar la exponencial de rx
y nos queda lo siguiente ere cuadrada
menos 6 ere más 8 todo esto multiplicado
por el aire x igual a cero ahora no
tenemos que aquí tenemos una
multiplicación de dos funciones igual a
cero eso significa que necesariamente
alguno de los factores es cero pero una
función exponencial nunca es cero
esa es una propiedad de las funciones
exponenciales entonces la exponencial no
puede ser cero por lo tanto r cuadrada
menos 6 además 8 es igual a 0 y ahora
esto lo podemos ver como una ecuación de
segundo grado las ecuaciones de segundo
grado ya sabemos resolverlas se pueden
resolver por factorización o con la
fórmula general en este caso sale muy
fácil resolverla por factorización noten
que este trinomio se puede factorizar
como r menos dos por rm 4 y esto igual a
cero
ahora otra vez tenemos un producto de
factores que nos da como resultado 0 así
que alguno de ellos debe ser 0 entonces
tenemos la siguiente posibilidad que r -
2 sea igual a 0 o que r menos 4 sea
igual a 0 de la primera ecuación
obtenemos que r tendría que ser igual a
2
si simplemente este 2 que está restando
pasa sumando 0 + 2 es 2 y en la segunda
que r debe ser igual a 4 entonces
obtenemos dos valores para r esto es
porque recordemos que una ecuación
diferencial de segundo orden homogénea
tiene dos soluciones que son linealmente
independientes y precisamente cada
solución va a ser para obtenerse con
cada uno de estos valores de r
simplemente sustituimos el primer valor
de r que es r igualados en la solución
que propusimos y obtenemos que una
solución que uno va a ser igual a
elevado a la 2x y la segunda solución se
obtiene sustituyendo r igual a 4 aquí en
donde propusimos nuestra solución así
que hay 2 es igual a que a la 4x ya
tenemos entonces dos soluciones que son
linealmente independientes por lo tanto
podemos obtener la solución general de
nuestra ecuación diferencial
simplemente multiplicando una constante
arbitraria c1 por la primera solución a
la 2 x más una constante arbitraria hace
2 por la segunda solución a la 4x y esta
de aquí es la solución general de
nuestra ecuación diferencial
así es como se resuelven las ecuaciones
diferenciales de coeficientes constantes
básicamente se propone una solución de
tipo exponencial y se obtiene el valor
de r claro que podemos hacer todo este
procedimiento de proponer la función ya
iguala el aire x calcular la derivada a
la segunda derivada a sustituir
factorizar y luego resolver esta
ecuación o bien podríamos saltarnos
todos estos pasos y darnos cuenta que a
partir de la forma de la ecuación
diferencial podemos deducir cuál va a
ser la forma de la ecuación en términos
de r que por cierto esta ecuación se
llama ecuación característica de la
ecuación diferencial entonces la
ecuación característica noten que tiene
la misma forma que la ecuación
diferencial donde aparece la segunda
derivada es donde aparece r cuadrada
donde aparece la primera derivada es
donde aparece r con el mismo coeficiente
menos
y donde aparece únicamente y aquí no
aparece ninguna r entonces aquí desde
aquí podemos ver la ecuación
característica r cuadrada menos 6 cr más
8 igual a 0 así que no es necesario
estar repitiendo todo este procedimiento
podemos saltarnos estos pasos e irnos
directamente a la ecuación
característica resolverla y a partir de
ahí recordar que la solución tiene la
forma yo igual a la rx simplemente
sustituimos cada valor de r que
generalmente son dos valores y de ahí
obtenemos la solución general bueno en
una ecuación de segundo grado también
tenemos otras posibilidades
una posibilidad es esta que nos dé dos
soluciones reales hay otra posibilidad
en la cual obtenemos únicamente una
solución real y hay otra posibilidad en
la que no obtenemos ninguna solución
real en la que obtenemos dos soluciones
complejas esos casos los veremos más
adelante por ahora les dejo un ejercicio
que es similar a esta ecuación
diferencial calculen usted es la
solución general de la ecuación
diferencial yeví prima más 4 ye prima +
3g igual a 0 y en el siguiente vídeo les
muestro procedimiento completo para que
verifiquen su respuesta
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que si tienen cualquier pregunta o
sugerencia pueden dejarla en los
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