90. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (Con una raíz igual a cero) EJERCICIO RESUELTO
Summary
TLDREn este vídeo, se explica cómo resolver la ecuación diferencial de segundo orden y lineal 'y'' - 5y' = 0'. Se propone una solución exponencial y se obtiene la ecuación característica 'r^2 - 5r = 0'. Al factorizar, se encuentran los valores de 'r' (0 y 5), y se derivan dos soluciones: y1 = 1 y y2 = e^(5x). La solución general es una combinación lineal de ambas, y = c1*y1 + c2*y2. Además, se menciona que en futuras ecuaciones, las soluciones pueden ser reales repetidas o complejas.
Takeaways
- 📘 La ecuación diferencial presentada es de segundo orden, lineal, homogénea y con coeficientes constantes.
- 💡 Para resolver este tipo de ecuaciones, se propone una solución de forma exponencial: y = e^rx.
- 🛠️ Se obtiene la ecuación característica al sustituir la solución en la ecuación diferencial y factorizar la exponencial.
- 🧮 La ecuación característica se forma al sustituir las derivadas por términos en r: r² para la segunda derivada, r para la primera, y el coeficiente para y.
- ✂️ Se puede factorizar una r común de la ecuación característica, resultando en: r(r - 5) = 0.
- ✅ Las soluciones de la ecuación característica son r = 0 y r = 5, generando dos soluciones para la ecuación diferencial.
- 🧑🏫 La primera solución es y1 = 1, obtenida al sustituir r = 0 en la solución exponencial.
- 🚀 La segunda solución es y2 = e^(5x), obtenida al sustituir r = 5 en la solución exponencial.
- 📐 La solución general de la ecuación diferencial es una combinación lineal de ambas soluciones: y = c1 + c2 * e^(5x).
- 🔮 En futuros vídeos, se abordarán casos donde la ecuación característica tiene soluciones repetidas o complejas.
Q & A
¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el vídeo?
-Se resuelve una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y de coeficientes constantes, que es homogénea.
¿Cómo se propone una solución inicial para la ecuación diferencial mencionada?
-Se propone una solución de forma exponencial, de la forma \( y = e^{rx} \).
¿Qué es la ecuación característica y cómo se obtiene?
-La ecuación característica es una ecuación algebraica que se obtiene a partir de la sustitución de la solución propuesta en la ecuación diferencial original.
¿Cómo se derivan las soluciones de la ecuación característica?
-Se derivan las soluciones de la ecuación característica al factorizar y resolver las ecuaciones resultantes de primer grado que surgen al igualar a cero el producto de los factores.
¿Cuáles son las soluciones obtenidas para la ecuación característica en el ejemplo?
-Las soluciones obtenidas para la ecuación característica son \( r = 0 \) y \( r = 5 \).
¿Qué solución se obtiene al sustituir \( r = 0 \) en la ecuación diferencial?
-Al sustituir \( r = 0 \), se obtiene la solución \( y_1 = 1 \).
¿Cuál es la segunda solución y cómo se obtiene?
-La segunda solución es \( y_2 = e^{5x} \) y se obtiene al sustituir \( r = 5 \) en la ecuación diferencial.
¿Cómo se expresa la solución general de la ecuación diferencial?
-La solución general se expresa como una combinación lineal de las soluciones particulares, es decir, \( y = c_1 \cdot y_1 + c_2 \cdot y_2 \).
¿Qué ocurre si la ecuación característica tiene soluciones complejas?
-Si la ecuación característica tiene soluciones complejas, se deben aplicar métodos adicionales para resolver la ecuación diferencial, como se explicará en un vídeo futuro.
¿Cómo se pueden verificar que las soluciones propuestas son correctas?
-Se pueden verificar las soluciones derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial original para confirmar que satisfacen la ecuación.
Outlines
📚 Introducción y resolución de la ecuación diferencial
En este párrafo se da la bienvenida al vídeo y se presenta el problema a resolver, una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes y homogénea. Se menciona la metodología general para resolver este tipo de ecuaciones, proponiendo una solución exponencial en función de una variable. Además, se introduce la ecuación característica como parte clave para obtener la solución y se describen los pasos para derivarla, aunque sin entrar en detalles debido a que se ha explicado en vídeos previos. Finalmente, se explica cómo reconocer la ecuación característica a partir de la ecuación diferencial sin necesidad de derivar cada vez las soluciones intermedias.
📝 Resolución de la ecuación característica
Este párrafo se centra en la resolución de la ecuación característica obtenida. Se muestra cómo factorizar la ecuación para obtener dos valores de 'r' (0 y 5), los cuales proporcionan dos soluciones linealmente independientes para la ecuación diferencial. La primera solución surge al sustituir r=0 en la ecuación exponencial, resultando en una constante, y la segunda solución al sustituir r=5, generando una función exponencial de base elevada a 5x. Finalmente, se expresa la solución general como una combinación lineal de ambas soluciones, con dos constantes arbitrarias, c1 y c2.
⚙️ Casos especiales y conclusiones
En este párrafo se aclara que la resolución presentada aplica únicamente a ecuaciones donde la ecuación característica tiene dos soluciones reales distintas. Se menciona que en otros casos, como cuando hay una solución real doble o soluciones complejas, el proceso cambia. Se da un ejemplo de una ecuación que resultaría en soluciones complejas y se invita a los espectadores a ver el próximo vídeo donde se explicará cómo resolver esos casos más complicados. Se cierra el vídeo pidiendo apoyo a los espectadores, invitándolos a suscribirse, compartir y dejar comentarios o sugerencias.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación diferencial
💡Coeficientes constantes
💡Solución exponencial
💡Ecuación característica
💡Factorización
💡Soluciones linealmente independientes
💡Solución general
💡Soluciones complejas
💡Derivada
💡Ecuación de segundo orden
Highlights
Introducción al vídeo sobre cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden.
Propuesta de una solución exponencial para la ecuación diferencial.
Obtención de la ecuación característica a partir de la ecuación diferencial.
Explicación de cómo factorizar una exponencial y cancelar en la ecuación característica.
Descripción de la ecuación característica como una ecuación algebraica de segundo grado.
Factorización de la ecuación característica para resolverla.
Resolución de la ecuación r - 5 = 0 para encontrar los valores de r.
Obtención de dos soluciones para la ecuación diferencial: r = 0 y r = 5.
Análisis de la solución cuando r = 0 y su correspondiente función y(x).
Verificación de que y(x) = 1 es una solución de la ecuación diferencial.
Análisis de la solución cuando r = 5 y su correspondiente función y(x).
Expresión de la solución general como una combinación lineal de las dos soluciones encontradas.
Introducción a la posibilidad de que la ecuación característica tenga una única solución real repetida o soluciones complejas.
Promoción del próximo vídeo para explicar cómo resolver ecuaciones con soluciones complejas.
Invitación a los espectadores a like, suscribirse y compartir el vídeo.
Oportunidad para los espectadores de dejar preguntas o sugerencias en los comentarios.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de más
fácil en este vídeo vamos a resolver la
siguiente ecuación diferencial de be
prima menos 5 prima igual a 0 esta es
una ecuación diferencial de segundo
orden es lineal y de coeficientes
constantes y es homogénea para resolver
una ecuación de este tipo lo que hacemos
es empezar por proponer una solución de
forma exponencial proponemos que lleva a
ser igual a ^ rx y lo siguiente que
hacemos es obtener la ecuación
característica a partir de la ecuación
diferencial sustituyendo esta solución
que estamos indicando aquí
estrictamente lo que tendríamos que
hacer es obtener la primera derivada y
la segunda derivada sustituir aquí y
después factorizar una exponencial
cancelar y obtendríamos la ecuación
característica todo este procedimiento
ya lo he mostrado en otros vídeos pero
realmente no es necesario estarlo
repitiendo en cada ecuación que veamos
de coeficientes constantes podemos
obtener la ecuación característica a
partir de la forma que tenga la ecuación
diferencial donde aparezca la segunda
derivada de y vamos a poner una r
cuadrada donde aparezca la primera
derivada de llevamos a poner una r y si
apareciera alguna ye sin derivar hay
nada más pondríamos el puro coeficiente
de las cosas y aquí apareciera por
ejemplo más 3 y aquí pondríamos más 3
únicamente sin ninguna r
entonces esta es la ecuación
característica de esta ecuación
diferencial y ahora hay que ver cómo
resolver esta ecuación esta es una
ecuación algebraica de segundo grado en
este caso esta ecuación se resuelve muy
fácilmente factor izando una r de aquí
ya que ambos términos tienen r podemos
factorizar una r como factor común de
esta manera
me quedaré por rm 5 igual a 0 ahora
tenemos aquí un producto que es igual a
0 eso significa que algunos de los
factores debe ser igual a 0 por lo que
igualamos r igual a 0 y r menos 5 igual
a 0 tenemos ahora dos ecuaciones que son
de primer grado
la primera ecuación ya nos dice
directamente que r es igual a cero pero
en la segunda ecuación este 5 que está
restando lo pasamos sumando y nos queda
entonces que r es igual a 5 entonces
hemos obtenido dos resultados era igual
a cero y era igual a 5 a partir de estos
dos resultados vamos a obtener dos
soluciones para la ecuación diferencial
recordemos que para resolver
completamente una ecuación diferencial
de segundo orden
necesitamos dos soluciones que sean
linealmente independientes una de esas
soluciones va a ocurrir cuando
sustituyamos ere igual a cero aquí vamos
a obtener entonces que ya y uno es igual
ha elevado a cero por equis
0 x x es 0 así que eso es lo mismo que
poner elevado a la cero y cualquier
número que elevamos a la cero nos da
como resultado 1 así que uno es igual a
1 esa es una solución y podemos
comprobar que efectivamente es una
solución esta es muy fácil de comprobar
si derivamos una vez la derivada de uno
es cero y la segunda derivada también es
cero y sustituimos aquí
0 - 5 por 0 3 efectivamente nos da 0 por
lo tanto si es una solución bueno otra
solución lo vamos a obtener cuando
sustituyamos ere igual a 5 aquí entonces
nos queda que ye 2 es igual a elevado a
5 por x
y bueno entonces ya tenemos dos
soluciones que son linealmente
independientes que uno igual a uno que
dos igual a las 5 x podemos expresar la
solución general como una combinación
lineal de estas dos soluciones es decir
escribimos ye igual a una constante
arbitraria c 1 x la primera solución que
es 1 c 1 x 1 es simplemente ese 1 así
que no hace falta escribir el 1 y luego
eso más una constante arbitraria hace 2
multiplicada por la segunda solución que
es a las 5 x así que esta de aquí es
finalmente la solución general de
nuestra ecuación diferencial
bueno hasta aquí hemos visto únicamente
ecuaciones diferenciales en las cuales
la ecuación característica tiene dos
soluciones reales pero esto no siempre
es así hay veces que la ecuación
característica tiene únicamente una
solución real que se repite o bien no
tiene ninguna solución real es decir las
soluciones son complejas
por ejemplo esta ecuación de aquí la
segunda derivada de menos 6 por la
primera derivada de 13 que igual a 0
cuando resolvamos esta ecuación la
ecuación característica nos va a dar dos
soluciones que son complejas eso voy a
explicar en el siguiente vídeo cómo es
que se resuelve así que los invito a que
lo vean y si les gustó este vídeo apoyen
me regalándome un like suscriban a mi
canal y compartan mis vídeos y recuerden
que si tienen cualquier pregunta o
sugerencia pueden dejarla en los
comentarios
Browse More Related Video
87. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (segundo orden, homogénea) EJERCICIO RESUELTO
86. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (segundo orden, homogénea) EJERCICIO RESUELTO
Método de Euler para EDOs de primer orden
Ecuaciones Cuadraticas
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 1
78. Qué son las ecuaciones de segundo orden, ecuaciones homogéneas y de coeficientes constantes
5.0 / 5 (0 votes)