COORDENADAS CARTESINAS, ESFERICAS Y CILINDRICAS
Summary
TLDREl guion trata sobre la importancia de los sistemas de coordenadas en la física, explicando detalladamente el sistema cartesiano, esférico y cilíndrico. Se describe cómo se representan puntos en el espacio utilizando ejes en el sistema cartesiano, y cómo se utilizan ángulos y la distancia al origen para definir puntos en el sistema esférico. Además, se aborda el sistema cilíndrico, que se refiere a un cilindro y cómo se relaciona con el plano xy y el eje z. Se proporcionan fórmulas para convertir entre los sistemas cartesiano y esférico, así como entre cartesiano y cilíndrico, destacando las aplicaciones prácticas de estos sistemas en el estudio de la física.
Takeaways
- 📏 Los sistemas de coordenadas son fundamentales en física y matemáticas, y se dividen en cartesianas, esféricas y cilíndricas.
- 📐 El sistema de coordenadas cartesianas se representa con tres ejes: x, y y z, y se utiliza para describir la posición de un punto en el espacio tridimensional.
- 🌐 El sistema de coordenadas esféricas se refiere a una esfera y se utiliza para describir puntos en relación con un radio y dos ángulos, theta y phi.
- 🔄 El ángulo theta en coordenadas esféricas es la proyección del vector posición en el plano xy, medido desde el eje x.
- 🌀 El ángulo phi, o fi, en coordenadas esféricas se refiere a la rotación del vector en torno al eje z.
- 🔄 La conversión entre coordenadas cartesianas y esféricas se realiza a través de relaciones trigonométricas como senos y cosenos de los ángulos theta y phi.
- 📦 El sistema de coordenadas cilíndricas se refiere a un cilindro y se usa para describir puntos en un plano xy y una altura z.
- 🔄 En coordenadas cilíndricas, el ángulo theta es el director con respecto al eje x y se relaciona con la posición en el plano xy.
- 🔢 La magnitud r en coordenadas cilíndricas representa la distancia desde el eje z al punto en el plano xy.
- 🔄 La conversión entre coordenadas cartesianas y cilíndricas se hace a través de la multiplicación de r por los senos y cosenos de theta para obtener x e y, y la altura z se mantiene igual en ambos sistemas.
Q & A
¿Cuáles son los tres sistemas de coordenadas que se discuten en el guion?
-Los tres sistemas de coordenadas discutidos en el guion son el sistema de coordenadas cartesianas, el sistema de coordenadas esféricas y el sistema de coordenadas cilíndricas.
¿Cómo se define el sistema de coordenadas cartesianas?
-El sistema de coordenadas cartesianas se define por tres ejes: el eje x, el eje y en un plano xy, y el eje z perpendicular a dicho plano.
¿Qué es la proyección del vector posición en el plano xy y cómo se llama?
-La proyección del vector posición en el plano xy se llama ángulo theta y se mide desde el eje x hasta la sombra proyectada del vector sobre el plano xy.
¿Cómo se relacionan las coordenadas cartesianas y esféricas?
-Las coordenadas cartesianas (x, y, z) se relacionan con las esféricas (r, theta, phi) a través de las fórmulas de conversión que involucran funciones trigonométricas como el coseno y el seno.
¿Qué es el ángulo phi en el sistema de coordenadas esféricas?
-El ángulo phi (φ) en el sistema de coordenadas esféricas es el ángulo fijo del vector con respecto al eje z.
¿Qué representan los ángulos theta y phi en el sistema de coordenadas esféricas?
-Theta (θ) representa el ángulo director del vector con respecto al eje x, y phi (φ) representa el ángulo fijo del vector con respecto al eje z.
¿Cómo se describe la magnitud del radio en el sistema de coordenadas esféricas?
-La magnitud del radio en el sistema de coordenadas esféricas se describe como la distancia desde el origen hasta el punto en la esfera.
¿Qué es el sistema de coordenadas cilíndricas y cómo se relaciona con el cartesiano?
-El sistema de coordenadas cilíndricas se relaciona con el cartesiano a través de una magnitud radial (r) en el plano xy, un ángulo director (theta) con respecto al eje x, y una magnitud z igual a la del sistema cartesiano.
¿Cómo se convierten las coordenadas cartesianas a cilíndricas?
-Para convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas, se multiplica la magnitud radial (r) por el coseno del ángulo theta para obtener x, por el seno de theta para obtener y, y z se mantiene igual.
¿Qué es la proyección del vector posición en el plano xy y cómo se mide?
-La proyección del vector posición en el plano xy se mide como la magnitud del punto p', que es la proyección del vector r sobre el plano xy, y se calcula como r coseno(theta) para x y r seno(theta) para y.
Outlines
📐 Introducción a los Sistemas de Coordenadas
El primer párrafo introduce los sistemas de coordenadas, fundamentales en el estudio de la física. Se describen tres tipos principales: cartesianas, esféricas y cilíndricas. El sistema cartesiano se caracteriza por tres ejes (x, y, z), donde un punto en el espacio se define por sus coordenadas x, y, z. Este sistema es ampliamente utilizado desde la secundaria y está asociado con René Descartes. El sistema esférico se refiere a una esfera y utiliza dos ángulos (theta y phi) más una medida del radio para definir la posición de un punto. Estos ángulos determinan la proyección del vector en el plano xy y su posición con respecto al eje z. La conversión entre ambos sistemas se basa en la proyección del vector en el plano xy y su relación con los ángulos theta y phi.
🌐 Sistema de Coordenadas Esféricas
Este párrafo se centra en el sistema de coordenadas esféricas, donde se definen los ángulos theta y phi para determinar la posición de un punto en una esfera. Theta se mide desde el eje x positivo y representa el ángulo azimutal, mientras que phi se mide desde el eje z positivo y se relaciona con la latitud. El radio r varía entre 0 e infinito, theta entre 0 y 2 pi para formar la circunferencia, y phi entre 0 y pi para formar la esfera. Se explica cómo, al mantener constantes theta o phi, se pueden formar planos o conos respectivamente. Además, se detallan las fórmulas de conversión entre coordenadas cartesianas y esféricas, utilizando las proyecciones del vector posición r sobre los ejes x, y y z.
📏 Sistema de Coordenadas Cilíndricas
El tercer párrafo explora el sistema de coordenadas cilíndricas, que se asemeja a un cilindro y se relaciona con el plano xy y el eje z. Se definen las coordenadas r y theta, análogas al sistema polar, y la magnitud z. Se describe cómo, al girar el plano xy alrededor del eje z, se forma un cilindro. Para convertir coordenadas cilíndricas a cartesianas, se utilizan las fórmulas x = r * cos(theta), y = r * sin(theta) y z = z. Se explica que en el plano xy, el sistema cilíndrico es conocido como polar, donde x = r * cos(theta) y y = r * sin(theta). Finalmente, se describe cómo se identifican los puntos en el espacio utilizando estas coordenadas.
Mindmap
Keywords
💡Sistema de coordenadas cartesianas
💡Sistema de coordenadas esféricas
💡Sistema de coordenadas cilíndricas
💡Ángulo director
💡Ángulo fijo
💡Radio
💡Proyección
💡Conversión de coordenadas
💡Cilindro
💡Ángulo azimutal
Highlights
Introducción a la dinámica y la importancia de estudiar sistemas de coordenadas.
Descripción de los tres sistemas de coordenadas principales: cartesianas, esféricas y cilíndricas.
Explicación del sistema de coordenadas cartesianas con ejes x, y y z.
Representación de un punto en el espacio utilizando coordenadas cartesianas.
Introducción al sistema de coordenadas esféricas y su relación con una esfera.
Descripción de los componentes de las coordenadas esféricas: ángulo director, radio y ángulo fijo.
Importancia de los ángulos theta y phi en el sistema de coordenadas esféricas.
Relación entre la proyección de un vector y los ángulos theta y phi.
Conversión de coordenadas cartesianas a esféricas mediante la proyección del vector posición.
Explicación de cómo se forman las coordenadas esféricas con ángulos theta y phi.
Descripción de las restricciones de los ángulos theta y phi para formar una esfera completa.
Introducción al sistema de coordenadas cilíndricas y su relación con un cilindro.
Descripción de los componentes de las coordenadas cilíndricas: r, theta y z.
Conversión de coordenadas cartesianas a cilíndricas utilizando la magnitud r y el ángulo theta.
Relación entre los sistemas de coordenadas cartesianas y cilíndricas en el plano xy.
Explicación de cómo se forman los cilindros y planos a partir de las coordenadas cilíndricas.
Conversión de coordenadas cilíndricas a cartesianas utilizando las fórmulas de conversión.
Transcripts
bueno para estudiarlo con nosotros vamos
a ver sobre la dinámica necesitamos
estudiar algunos antecedentes que vieron
en física uno dentro de ellos están los
sistemas de coordenadas los sistemas de
coordenadas los vamos a dividir en tres
se dividen en tres el sistema de
coordenadas cartesianas si en el espacio
ok libidiano el sistema de coordenadas
esféricas y el sistema de coordenadas
cilíndricas el sistema de coordenadas
cartesianas lo vamos a representar con
tres ejes el eje x aquí está el eje x el
eje y están sobre un plano xy y el eje z
perpendicular tanto a x como allí
entonces con este sistema si yo quiero
representar un punto en el espacio como
lo es que está aquí pues tengo que dar
una magnitud en x una magnitud de dnie y
una magnitud en zeta y de esa forma
encuentro de este punto pues de esa
manera se describe
el sistema de coordenadas cartesianas es
software se ha visto desde que ustedes
comenzaron a estudiar de la secundaria
este sistema y eso en honor a rené
descartes
el sistema de coordenadas esféricas hace
alusión a una esfera
entonces todas las
cosas que podamos medir
que nos representa en una esfera
es más fácil referenciar los a un
sistema de coordenadas esféricas y sobre
este sistema de coordenadas esféricas
nosotros vamos a tener
dos ángulos
y una medida del radio
nos vamos a tener el ángulo director con
respecto al eje x xi hasta donde está la
proyección de la sombra de este vector
posición r pues yo tengo este vector
posición r en el espacio en un punto
aquí y eso lo proyecto sí
imagínense que aquí arriba está una luz
perfectamente perpendicular al plano y
nos va a dar una sombra de esta magnitud
pues esa sombra se va a proyectar sobre
el plano xy
al tener yo esta sombra
el ángulo director que tengo con
respecto al eje x hasta dónde está esa
sombra sobre el plano xy le voy a llamar
ángulo theta
la magnitud desde mi posición inicial
desde cero hasta dónde está el punto de
medición la vamos a llamar vector
posición r si no va a ser el radio de la
esfera y finalmente con respecto al eje
z y hasta dónde está el vector si r
vamos a llamarle el ángulo fijo de esta
forma voy a tener yo
teta fi r para poder expresar las
coordenadas esféricas pues aquí está
únicamente un plano en dónde está este
vector r dónde están estos estos ángulos
y vamos a ver la esfera como como nos
queda
entonces aquí está esta es la misma
figura que la anterior aquí está el
punto p hasta dónde están midiendo el la
posición del vector posición r
los en coordenadas cartesianas lo voy a
medir como x1 y 1 z 1 y en coordenadas
esféricas lo vamos a medir ese punto p
como r que es la magnitud del vector
posición el ángulo theta que es la
magnitud del ángulo director con
respecto al eje x y xi que va a ser el
vector posición con respecto a
el eje zeta
entonces aquí haciendo la esfera si ya
hacemos la esfera en esta posición yo
voy a tener el vector si voy a tener
este ángulo que es el ángulo fi y voy a
tener ese ángulo que va a ser el ángulo
theta entonces de esta forma si yo tengo
en estas características si tengo un
vector r y tengo que teta está entre
cero y dos pisos este de aquí si está
entre cero y da toda la vuelta
toda esta vuelta completa dos pisos 360
grados los me están formando esta
circunferencia y este ángulo si lo damos
desde cero hasta entonces desde aquí lo
damos y damos esta media vuelta estamos
haciendo esas tres características
formamos una esfera
entonces
que me representa cada uno de ellos r
representa alrededor de la esfera teta
es el ángulo denominado azimutal y lo
vamos a medir desde el eje x positivo
que es el ángulo denominado por latitud
y está medido del eje z positivo de
forma tal que para formar esta esfera lo
les explicaba hace un momento
r puede estar entre 0 e infinito
eta puede estar theta debe estar entre 0
y 2 para formar la circunferencia y si
está entre 0 y pi con estas
características se forman nuestra esfera
cuando eres constante si eres constante
entonces teta y fi son variables
formamos la esfera si teta es constante
y raíz y son variables los vamos a
formar un plano y syfy es constante y
erradicar estas variables se nos va a
formar un cono
ok entonces aquí tenemos que tener una
esfera de radio constante el radio no
puede cambiar los aquí únicamente r
tiene que ser constante para que se nos
forme la esfera y a los que vamos a
hacer variar va a ser atenta desde cero
hasta dos pi y así desde cero hasta pi y
de esta forma conformamos una esfera
ok entonces cómo cambiamos de
coordenadas entre un sistema y el otro
vamos a ver la proyección este que está
aquí le estoy llamando prima no puede
ser también ere prima esta que es la
sombra de la proyección del vector
posición r sobre el plano este se
reprima ese es el punto p es el punto p
prima y entonces este cateto de aquí sí
que sería x va a ser r prima o este
punto prima por el coseno del ángulo
este cateto que está aquí va a ser p
prima por el seno del ángulo y éste esta
altura sobre el eje z está referenciado
este ángulo es con el coseno del rango
entonces va a ser r
jose no de si los con estas tres
características vamos a formar nosotros
los factores de conversión entre el
sistema de coordenadas cartesianas y el
sistema d
las esféricas 2 x p prima si por
cuestiones del ángulo que es este de
aquí y de allí obtengo esta magnitud en
en x y este prima por el seno del ángulo
entonces ésta que es ella este de aquí
es pues va a ser que prima este de aquí
por el seno del ángulo theta z está
referenciado
el ángulo extra en la parte superior
sobre el eje zeta entonces sí sí va a
ser r la magnitud de r&b x
el coste no del ángulo de esa forma
obtengo z vamos a asociar estos tres que
tenemos en este momento para poder
obtener
las magnitudes haciendo la conversión
aquí tengo x de iceta
si los voy a sustituir en x esta prima y
aquí es igual de prima
de prima es igual a r por el seno de fi
de dónde sale esa prima dónde sale esta
reserva de fijo
este cerro por el seno de fi es este de
aquí sale entonces si yo quiero obtener
este punto p
tengo que multiplicar a r por el seno de
fi
tengo esta magnitud aquí y de esa forma
obtengo ese punto b
los con estas características vamos a
hacer la sustitución
lo sustituimos voy a sustituir este de
aquí lo voy a sustituir a quien lo voy a
sustituir aquí y nada más entonces en
lugar de poner prima voy a poner el seno
de fin entonces eres uno de los
destituyó aquí en 2 x me va a quedar el
relleno de fi por el cose no detecta si
lo sustituyó a quien va a ser r se nos
dé fin por el seno de teta y z es igual
a r coseno de sí
nos vamos al sistema de coordenadas
cilíndricas en el sistema de coordenadas
cilíndricas pues hacemos alusión a un
cilindro y vamos a cambiar de
coordenadas cilíndricas a coordenadas
cartesianas
en el espacio del herediano
entonces tenemos nosotros aquí la
magnitud
tengo r si ahora está r está en el plano
de xy
y con respecto a ese mismo plano tengo a
theta sí con respecto al eje x positivo
esta treta es el ángulo director
y voy a tener yo la magnitud z y va a
ser igual a z en los dos planos ok pues
con estas características se les forme
un cilindro si yo extraer el agua girar
desde cero hasta dos pig y después lo
multiplicó por z 2 obtengo como
resultado un cilindro los en coordenadas
cilíndricas
para obtener este x si es necesario
multiplicar r por el coseno de teta y
obtengo x si yo quiero obtener este de
aquí esta magnitud de aquí que sería y
este eje de acá que es entonces
multiplico br por el seno de eta que
sería ésta de aquí iceta va a ser igual
a z entonces es la forma de cómo cambiar
del sistema de coordenadas cartesianas
el sistema de coordenadas cilíndricas
cuando estamos en el plano cuando
estamos aquí sobre el eje sobre el plano
xy
al sistema de coordenadas cilíndricas
también se le conoce como sistema de
coordenadas polares entonces en el plano
xy es lo que han manejado como sistema
de coordenadas polares en donde x es
igual a r poseen o de teta y ya es igual
a cero de teta
pues para poder dar un punto en el
espacio si en coordenadas cilíndricas y
yo quiero dar este punto que está hasta
acá entonces hacemos esta ere y de aquí
nos subimos la posición z
sale sostengo ere y se está en la
posición entonces tengo r el ángulo teta
el ángulo director por respecto al eje x
y z con estos 3
características
damos la referencia en el sistema de
coordenadas cilíndricas como convertimos
a cartesianas como les había mencionado
x
es r josé no de teta y es igual a el
seno de teta y z es igual a z pues de
esa forma cambiamos entre los 3 sale xrx
a 933 en 936 desigual aceite
Voir Plus de Vidéos Connexes
Graficar puntos en el plano cartesiano.Aprende matemáticas.
Plano cartesiano introducción | Cómo dibujar el plano
Intersecciones de una función con los ejes X e Y / Función Lineal
Plano polar y coordenadas polares.
Sistemas de ecuaciones | Solución Método Gráfico | Ejemplo 1
Distancia entre dos puntos, usando Teorema de Pitágoras
5.0 / 5 (0 votes)