DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO: DEMOSTRACIÓN Y EJEMPLO
Summary
TLDREn este video, se presenta la demostración de la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano. Se comienza identificando dos puntos, P1 y P2, con sus respectivas coordenadas (x1, y1) y (x2, y2). Se utiliza el teorema de Pitágoras para relacionar la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por estos puntos con sus catetos, resultando en la fórmula d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). Se aplica el ejemplo práctico de encontrar la distancia entre los puntos A(-3, 1) y B(1, -2), obteniendo un resultado de 5 unidades. Finalmente, se verifica gráficamente la distancia obtenida, confirmando la precisión del método analítico.
Takeaways
- 📚 La demostración explica cómo calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano.
- 📐 Se comienza considerando dos puntos cualesquiera, P1 y P2, con sus respectivas coordenadas (x1, y1) y (x2, y2).
- 🔍 Se utiliza un triángulo rectángulo para determinar las longitudes de los catetos, que son las diferencias entre las abscisas y ordenadas de los puntos P1 y P2.
- 📈 El teorema de Pitágoras se aplica para relacionar la longitud de la hipotenusa (la distancia entre P1 y P2) con las longitudes de los catetos.
- 🧩 Se resuelve la ecuación de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa, que representa la distancia entre los puntos.
- 🔢 La fórmula resultante para la distancia es \( \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} \).
- 📝 Se proporciona un ejemplo práctico para aplicar la fórmula, donde se calcula la distancia entre los puntos A(-3, 1) y B(1, -2).
- 📊 El resultado del ejemplo muestra que la distancia entre A y B es de 5 unidades.
- 📏 Se verifica la distancia analítica con una escuadra gráfica para confirmar la precisión del cálculo.
- 🖼️ La demostración incluye una representación visual de los puntos en el plano cartesiano y el segmento entre ellos.
- 🎓 El script es una lección completa que combina teoría y práctica para entender cómo medir distancias en un plano cartesiano.
Q & A
¿Qué es la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano?
-La fórmula para determinar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano es la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la diferencia de las abscisas y el cuadrado de la diferencia de las ordenadas de los puntos.
¿Cómo se llaman los puntos considerados en la demostración de la fórmula?
-Los puntos considerados en la demostración son P1 y P2, donde P1 tiene coordenadas (x1, y1) y P2 tiene coordenadas (x2, y2).
¿Qué es un cateto en un triángulo rectángulo?
-Un cateto en un triángulo rectángulo es uno de los lados que forman el ángulo recto, y su longitud es la diferencia entre las coordenadas de los puntos que lo forman.
¿Cuál es el teorema aplicado para relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo?
-El teorema aplicado es el teorema de Pitágoras, que establece que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
¿Cómo se determina la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo?
-La longitud de la hipotenusa se determina a través de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
¿Por qué las distancias siempre deben ser cantidades positivas?
-Las distancias siempre deben ser positivas porque no es posible medir una distancia negativa en el espacio; la longitud de un segmento no puede ser menos que cero.
¿Cómo se aplicó la fórmula para encontrar la distancia entre los puntos A y B en el ejemplo dado?
-Se aplicó la fórmula sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B, calculando la diferencia de las abscisas y las ordenadas, elevándolas al cuadrado y sumándolas, y finalmente tomando la raíz cuadrada del resultado.
¿Cuál es la distancia entre los puntos A y B según el ejemplo proporcionado?
-La distancia entre los puntos A y B, según las coordenadas proporcionadas en el ejemplo, es de 5 unidades.
¿Cómo se puede verificar la distancia analíticamente determinada gráficamente?
-Se puede verificar gráficamente marcando los puntos en el plano cartesiano y mediendo la longitud del segmento que los une utilizando una escuadra o herramienta similar.
¿Qué herramienta se utiliza para verificar la distancia en el plano cartesiano?
-Se utiliza una escuadra para verificar la distancia en el plano cartesiano, asegurándose de que la medida corresponda a la distancia analíticamente calculada.
Outlines
📐 Demostración de la fórmula de distancia en el plano cartesiano
En este primer párrafo, se presenta la demostración de la fórmula matemática utilizada para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano. Se comienza considerando dos puntos, P1 y P2, con sus respectivas coordenadas (x1, y1) y (x2, y2). Se describe el proceso de construir un triángulo rectángulo utilizando estos puntos y se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa, que corresponde a la distancia entre los puntos. La fórmula resultante es dada por la raíz cuadrada de la suma de las diferencias al cuadrado de las coordenadas x e y de los dos puntos.
📏 Aplicación de la fórmula de distancia con un ejemplo
El segundo párrafo muestra un ejemplo práctico de cómo aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. Se utiliza el punto A con coordenadas (-3, 1) y el punto B con coordenadas (1, -2) para calcular la distancia entre ellos. Se sigue el procedimiento analítico descrito en el primer párrafo, reemplazando los valores de las coordenadas en la fórmula y resolviendo el resultado, que en este caso es de 5 unidades. Además, se sugiere una forma de verificar visualmente esta distancia utilizando una escuadra en el plano cartesiano, confirmando así la precisión del cálculo analítico.
Mindmap
Keywords
💡Fórmula de distancia
💡Plano cartesiano
💡Abscisa
💡Ordenada
💡Segmento de recta
💡Catetos
💡Hipotenusa
💡Teorema de Pitágoras
💡Raíz cuadrada
💡Ejemplo de aplicación
💡Esquadra
Highlights
Demostración de la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.
Aplicación de la fórmula a través de un ejemplo práctico.
Consideración de dos puntos, P1 y P2, con sus respectivas coordenadas (x1, y1) y (x2, y2).
Uso de un triángulo rectángulo para determinar las longitudes de los catetos.
Cálculo del primer cateto como la diferencia entre las abscisas x2 - x1.
Cálculo del segundo cateto como la diferencia entre las ordenadas y2 - y1.
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo.
Expresión de la hipotenusa como la raíz cuadrada de la suma de las diferencias de las coordenadas al cuadrado.
Consideración de que la distancia siempre debe ser una cantidad positiva.
Ejemplo específico para hallar la distancia entre los puntos A(-3, 1) y B(1, -2).
Cálculo de la diferencia entre las abscisas y ordenadas para el ejemplo dado.
Resolución de la operación para encontrar la distancia entre los puntos A y B.
Resultado analítico de que la distancia entre A y B es de 5 unidades.
Verificación gráfica de la distancia mediante un plano cartesiano y una escuadra.
Confirmación de la distancia de 5 unidades a través de la representación gráfica.
Importancia de la fórmula para determinar distancias en el plano cartesiano en contextos analíticos y gráficos.
Transcripts
en esta ocasión veremos la demostración
de la fórmula para determinar la
distancia entre dos puntos del plano
cartesiano después veremos un ejemplo de
aplicación de esa fórmula
comenzamos considerando dos puntos
cualesquiera en el plano cartesiano por
ejemplo tomamos este que vamos a llamar
el punto p 1 y podemos tomar este de acá
que vamos a llamar el punto p 2 cada uno
de esos puntos tienen su abscisa y su
ordenada entonces para el caso del punto
p 1
vamos a llamar su abscisa x 1 y su
ordenada las llamamos
1 ahora para el punto p 2 su abscisa o
sea su valor en x es x 2 y su ordenada o
sea su valor en el eje que lo llamamos
ye sub dos ahora entre los puntos b1 y
b2 tenemos un segmento de recta cuya
longitud es la que vamos a determinar
siendo
el punto cuyas coordenadas son x 1,1 y
el punto p 2 aquel cuyas coordenadas son
x 2,2 entonces vamos a llamar esa
distancia de 10 la que vamos a
determinar en eso consiste nuestra
demostración para ello vamos a
considerar este triángulo rectángulo
vamos a llamar este punto con la letra q
es aquí donde tenemos el ángulo recto o
el ángulo de 90 grados vamos entonces a
determinar la longitud de cada uno de
los catetos de ese triángulo la longitud
de este cateto el segmento que va desde
p 1 hasta q será la diferencia entre
estas dos abscisas la mayor menos la
menor entonces vamos a escribirla por
acá x2 menos x 1 será esta distancia que
corresponde a la longitud
cateto ahora la longitud del otro cateto
es decir el segmento que va desde pedos
hasta que será esta distancia que
corresponde a la diferencia entre esas
dos ordenadas vamos a escribir eso por
acá será la mayor que es de 2 - la menor
que se ha representado como 81 entonces
lo que hacemos ahora es dibujar por acá
ese triángulo rectángulo el que tiene
como vértices los puntos p uno de los q
entonces escribimos acá sus dimensiones
la hipotenusa es la letra de este cateto
dijimos que su longitud se representa o
se expresa como x 2 - x 1 y el otro
cateto tiene una longitud
representada por 2 - 1 ahora por ser
este un triángulo rectángulo entonces es
perfectamente lícito aplicar el teorema
de pitágoras
recordemos que este teorema nos dice lo
siguiente la longitud de la hipotenusa
al cuadrado o sea el segmento p1 p2 todo
esto elevado al cuadrado
debe ser igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de sus
cafetos es decir el cateto p1 q
ese segmento su longitud elevada al
cuadrado más el otro cateto que será el
segmento p los q
su longitud también elevada al cuadrado
ahora para cada uno de esos segmentos
vamos a reemplazar las medidas que
tenemos acá el segmento p1 p2 o sea la
hipotenusa tiene una longitud que hemos
llamado de entonces nos queda de al
cuadrado este segmento c1 q su longitud
dijimos que es x 2 - x 1 y esto va al
cuadrado más el otro segmento de 2 cv
cuya longitud es de 2 menos de 1 y todo
esto elevado al cuadrado lo que hacemos
ahora es tomar raíz cuadrada a ambos
lados de esta igualdad bien allí tenemos
eso y en el lado izquierdo esta raíz
cuadrada con este exponente 2 se
cancelan mutuamente nos libera la letra
d vamos a escribirla entonces
no podemos olvidar que esto nos produce
dos resultados de será igual a más o
menos esta raíz cuadrada sin embargo
debemos recordar que d es la longitud de
este segmento es la distancia entre los
puntos p 1 y p2 y las distancias siempre
deben ser cantidades positivas por lo
tanto quitamos esto y pulimos nuestra
expresión allí tenemos entonces la
fórmula para determinar la distancia
entre dos puntos
p1 y p2 en el plano cartesiano vemos
este ejemplo hallar la distancia entre
los puntos a de coordenadas menos 3 1 y
b de coordenadas
1 - 2 este hace el papel del punto p 1
entonces lo llamamos x1 y 1 y este otro
hace el papel del punto p 2 entonces lo
nombramos como x2 de 2 aunque podríamos
llamar este punto como p 2
2 y este como p 1 con x 1 de 1 eso no
importa
en el desarrollo del ejercicio usamos
entonces la fórmula que demostramos
creamos entonces como nos queda
distancia de entre los puntos aire será
igual a la raíz cuadrada de x2 que vale
1
esto - x1 que vale menos 3 entonces es
el número lo protegemos con paréntesis
por ser negativo y toda esta diferencia
la protegemos con corchetes para que
esté elevada al cuadrado
vamos con el otro componente tenemos que
2 que es menos 2
esto menos que uno que vale 1
esto lo protegemos con paréntesis y va
elevado al cuadrado resolviendo esas
operaciones nos queda así raíz cuadrada
de uno menos menos tres esto es como
tener 13 que nos da 4 y 4 elevado al
cuadrado es 16 más menos 2 -1 esto nos
da menos tres y menos tres al cuadrado
nos da nueve ahora esta suma que tenemos
dentro de la raíz nos da 25 por lo tanto
el valor de de será la raíz cuadrada de
25 que es igual a 5 entonces la
distancia de entre los puntos a y b que
pertenecen al plano cartesiano es de 5
unidades lo anterior que hemos
determinado analíticamente utilizando la
fórmula que demostramos podemos
verificarlo ahora gráficamente venimos
al plano cartesiano localizamos el punto
a
ordenadas menos 31 ese punto nos queda
aquí en el segundo cuadrante y ahora
localizamos el punto b coordenadas 1 - 2
quedan localizado acá en el cuarto
cuadrante ahora analíticamente la
longitud del segmento ave los dio cinco
unidades vamos a comprobarlo con esta
escuadra podemos hacer dos marcas que
correspondan a los puntos a y b aquí
tenemos el punto a y acá el punto b y
ahora venimos acá al eje x para
verificar si efectivamente esa distancia
corresponde a cinco unidades vamos a
bajarla un poco aquí la tenemos tenemos
entonces que corresponde a la distancia
que hay entre 0 y 5
el eje x esto nos confirma que la
longitud de ese segmento es de 5
unidades
sí
[Música]
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