Círculo unitario. Definición de funciones trigonométricas

Summary

En este video se presenta el concepto del círculo unitario, explicando que tiene un radio de 1 y está centrado en el origen del plano cartesiano. Se discuten las coordenadas de puntos importantes en la circunferencia y se introduce la convención para ángulos positivos y negativos. El video muestra cómo utilizar el círculo unitario para definir las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, extendiendo las definiciones más allá de los triángulos rectángulos y permitiendo trabajar con ángulos negativos y mayores de 90°. Finalmente, se menciona que se utilizarán ejemplos prácticos en futuros videos.

Takeaways

• 📐 El guion describe el dibujo de un círculo unitario centrado en el origen con radio de 1.
• 📍 Se identifican las coordenadas principales del círculo unitario: (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1).
• 🔄 Se establece una convención para los ángulos positivos y negativos, donde positivo es antihorario y negativo es horario.
• 📉 Se ilustra cómo usar el círculo unitario para extender las definiciones trigonométricas más allá de los ángulos menores a 90°.
• 📐 Se dibuja un ángulo theta (θ) y se considera su intersección con el círculo unitario para formar un triángulo rectángulo.
• 🧭 Se plantea la pregunta de cómo calcular el coseno del ángulo θ, utilizando el mnemónico SOH CAH TOA.
• 📏 Se define el coseno de θ como el cateto adyacente (a) dividido por la hipotenusa (1), resultando en la coordenada x del punto de intersección.
• 📏 El seno de θ se define como el cateto opuesto (b) dividido por la hipotenusa (1), resultando en la coordenada y del punto de intersección.
• 🔍 Se cuestiona la limitación del mnemónico SOH CAH TOA para ángulos fuera del rango de 0 a 90° y se sugiere una nueva definición.
• 📈 Se propone una nueva definición de trigonometría basada en el círculo unitario, donde el coseno y el seno de θ son las coordenadas x e y del punto de intersección, respectivamente.
• 🔢 Se indica que la tangente de θ puede ser vista como el seno dividido por el coseno, usando las nuevas definiciones basadas en el círculo unitario.

Q & A

¿Qué es un círculo unitario y por qué se llama así?

Un círculo unitario es un círculo que tiene un radio de longitud 1, centrado en el origen de un sistema de coordenadas. Se llama unitario porque su radio es igual a 1, lo que facilita las cálculos en trigonometría.

¿Cuál es la convención para los ángulos positivos en el guion?

La convención para los ángulos positivos es que se dibujan en sentido antihorario, comenzando desde el lado rosa que se menciona en el guion.

¿Cómo se definen los ángulos negativos en el guion?

Los ángulos negativos se definen como aquellos que tienen sentido horario, es decir, en el mismo sentido que las manecillas del reloj.

¿Cuál es la hipótesis central del guion sobre el uso del círculo unitario para trigonometría?

La hipótesis central es que el círculo unitario puede ayudar a extender las definiciones trigonométricas más allá de los ángulos menores a 90°, proporcionando una nueva forma de entender y calcular funciones trigonométricas para ángulos de cualquier medida.

¿Cómo se relaciona el ángulo theta [θ] con el punto de intersección en el círculo unitario?

El ángulo theta se relaciona con el punto de intersección en el círculo unitario al considerar este punto como el vértice opuesto al ángulo en un triángulo rectángulo formado por la extensión del ángulo hasta el círculo.

¿Cuál es el valor de la hipotenusa en el triángulo rectángulo formado por el ángulo theta y el círculo unitario?

La hipotenusa en el triángulo rectángulo formado por el ángulo theta y el círculo unitario tiene un valor de 1, ya que el radio del círculo unitario es 1.

¿Cómo se calcula el coseno del ángulo theta [θ] usando el círculo unitario?

El coseno del ángulo theta se calcula como la coordenada x del punto de intersección entre la línea del ángulo y la circunferencia unitaria.

¿Cómo se calcula el seno del ángulo theta [θ] usando el círculo unitario?

El seno del ángulo theta se calcula como la coordenada y del punto de intersección entre la línea del ángulo y la circunferencia unitaria.

¿Cuál es la relación entre la tangente de theta y las coordenadas del punto de intersección en el círculo unitario?

La tangente de theta es igual al seno de theta dividido por el coseno de theta, lo que, en función de las coordenadas del punto de intersección, es la y dividida por la x.

¿Cómo el círculo unitario ayuda a entender las funciones trigonométricas para ángulos que no son rectángulos?

El círculo unitario proporciona una representación gráfica que permite definir y calcular funciones trigonométricas para ángulos de cualquier medida, incluyendo ángulos mayores a 90° o negativos, más allá de las limitaciones de los triángulos rectángulos.

¿Qué se entiende por 'SOH CAH TOA' y cómo se relaciona con el círculo unitario?

SOH CAH TOA es un mnemónico para recordar las relaciones entre las funciones trigonométricas y las partes de un triángulo rectángulo. El círculo unitario extiende estas relaciones al considerar el ángulo en relación con el círculo, permitiendo calcular trigonometría para ángulos más allá de los rectángulos.

¿Cómo se define la tangente de un ángulo theta [θ] en el círculo unitario?

La tangente de un ángulo theta se define como el cociente de la coordenada y (seno de theta) y la coordenada x (coseno de theta) del punto de intersección del ángulo con el círculo unitario.