UNIDAD 3: Integrales triples en coordenadas cilíndricas - Masa de un sólido

Cálculo 2

19 Oct 201912:00

Summary

TLDREn este ejercicio se calcula la masa de un sólido determinado por un cilindro y dos planos. El cilindro está definido por la ecuación x^2 + y^2 = 1, mientras que los planos son 7 = 2 - x y el plano objetivo al eje Z, que es el plano XY. La densidad del sólido es dada por ρ(x, y) = √(x^2 + y^2). Primero, se traza el sólido en un sistema tridimensional y luego se proyecta en el plano XY, revelando un círculo de radio 1. A continuación, se describe el sólido en coordenadas cilíndricas, donde se determinan las magnitudes r, θ y z. Finalmente, se calcula la masa del sólido a través de una integral triple, considerando la densidad y las coordenadas cilíndricas, lo que resulta en una masa aproximada de 8,38 kilogramos.

Takeaways

📐 Se presenta un ejercicio para calcular la masa de un sólido limitado por un cilindro y dos planos específicos.
📏 La densidad del sólido es dada por la fórmula ρ(x, y) = √(x² + y²), con las unidades en kilogramos/cúbico metro.
📏 Las variables x e y están en metros y la densidad varía en función de estas coordenadas.
🎨 Se inicia la solución con la representación gráfica del sistema tridimensional y las superficies que definen el sólido.
🔢 Se describen las ecuaciones de las superficies: cilindro (x² + y² = 1), plano oblicuo (z = 2 - x) y plano horizontal (z = 0).
📈 Se proyecta el sólido en el plano xy, obteniendo un círculo de radio 1, que se utiliza para describir el sólido en coordenadas cilíndricas.
🧮 Se cambian las ecuaciones de las superficies al sistema de coordenadas cilíndricas para facilitar el cálculo.
📉 Se determina la variación del radio en el plano xy, que varía desde el origen hasta la circunferencia del cilindro.
📐 Se establece la descripción del sólido en coordenadas cilíndricas, con r variando de 0 a 1 y θ de 0 a 2π.
∫ Se utiliza la integral triple para calcular la masa del sólido, integrando la densidad multiplicada por el diferencial de volumen.
🧮 Se desarrolla la integral triple paso a paso, integrando primero respecto a zeta (z), luego a r y finalmente a θ.
📌 Se evalúa la integral triple para obtener la masa del sólido, resultando en aproximadamente 8.38 kilogramos.

Q & A

¿Cuál es el límite del sólido que se está calculando la masa?
-El sólido está limitado por el cilindro x^2 + y^2 = 1, el plano oblicuo 7 = 2 - x y el plano horizontal z = 0 que es el plano xy.
¿Cómo se representa gráficamente el cilindro en el espacio tridimensional?
-El cilindro se representa gráficamente como una circunferencia de radio 1 con sus generatrices paralelas al eje z.
¿Cuál es la ecuación del plano oblicuo que limita el sólido?
-La ecuación del plano oblicuo es z = 2 - x, y se denota como superficie S1 en el texto.
¿Cómo se describen las coordenadas cilíndricas en el contexto del ejercicio?
-Las coordenadas cilíndricas son r, θ y z, donde r es el radio desde el eje z hasta el punto en el plano xy, θ es el ángulo en el plano xy y z es la coordenada axial.
¿Cómo se determina la densidad del sólido en el ejercicio?
-La densidad del sólido se describe como ρ(x, y, z) = √(x^2 + y^2), y en coordenadas cilíndricas, dado que y = r * sen(θ), la densidad se convierte en ρ(r, θ, z) = 2√(r^2) = 2r.
¿Cuál es la proyección del sólido en el plano xy?
-La proyección del sólido en el plano xy es un círculo de radio 1, ya que el cilindro x^2 + y^2 = 1 proyecta como tal en el plano xy.
¿Cómo se calcula el volumen del sólido?
-Para calcular el volumen del sólido, se utiliza la integral triple de la densidad sobre el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas.
¿Cuál es la integral triple que se utiliza para calcular la masa del sólido?
-La integral triple utilizada es ∫₀²∫₀¹∫₀²−rcos(θ) ρ(r, θ, z) r dz dr dθ, con ρ(r, θ, z) = 2r.
¿Cómo se evalúa la integral triple para encontrar la masa del sólido?
-Se evalúa la integral triple de la siguiente manera: primero se integra con respecto a z, luego con respecto a r, y finalmente con respecto a θ. Esto resulta en una masa del sólido de aproximadamente 8.38 kilogramos.
¿Cuál es la masa final del sólido que se calculó?
-La masa final del sólido, después de evaluar la integral triple, es aproximadamente 8.38 kilogramos.
¿Por qué se utilizan coordenadas cilíndricas para describir el sólido?
-Las coordenadas cilíndricas son útiles para describir figuras que tienen simetría cilíndrica, como es el caso del cilindro en el ejercicio. Facilitan la descripción y el cálculo del volumen y la masa del sólido.
¿Cómo se determina el rango de variación del radio r en las coordenadas cilíndricas?
-El rango de variación del radio r se determina de 0 a 1, ya que el radio varía desde el polo (origen) hasta el radio del cilindro, que es 1.

Outlines

00:00

📐 Ejercicio de cálculo de masa de sólido

El primer párrafo describe un ejercicio de cálculo de la masa de un sólido determinado por un cilindro y dos planos. Se introduce la densidad del sólido como una función de 'x' y 'y', y se pide que se dibuje el sistema tridimensional. Se grafican las superficies que limitan el sólido y se proyecta el sólido en el plano xy, revelando una circunferencia de radio 1. Luego, se describe el sólido en coordenadas cilíndricas, donde se determinan las magnitudes 'r', 'z' y 'θ', y se establece la forma del sólido en estas coordenadas.

05:01

📉 Proyección en el plano y cálculo de la masa

Este párrafo aborda la proyección del sólido en el plano de crisis para observar la variación del radio 'r' y el ángulo 'θ'. Se nota que la proyección está en los cuatro cuadrantes y el radio varía desde el origen hasta la curva. Se escribe el sólido en coordenadas cilíndricas, con 'θ' variando de 0 a 2π y 'r' de 0 a 1. Se calcula la densidad en cualquier punto del sólido como una función de 'x' y 'y'. Con esta información, se procede a calcular la masa del sólido a través de una integral triple, integrando la función de densidad sobre el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas.

10:04

🔢 Evaluación de la integral triple para encontrar la masa

El tercer párrafo se enfoca en la evaluación de la integral triple para determinar la masa del sólido. Se realiza la integración en el orden 'zeta', 'r' y 'theta', respectivamente, y se aplican las coordenadas cilíndricas para transformar la función de densidad y el diferencial de volumen. Después de realizar los cálculos, se obtiene una expresión para la masa del sólido en términos de 'r' y 'theta'. Finalmente, se evalúa la integral para encontrar la masa total del sólido, que se aproxima a 8.38 kilogramos.

Mindmap

Keywords

💡Cálculo de Masa

El cálculo de masa es un proceso matemático que se utiliza para determinar la cantidad de materia que compone un objeto o un sólido. En el video, se trata de calcular la masa de un sólido definido por ciertas restricciones geométricas y condiciones de densidad. Se relaciona directamente con el tema central del video, que es el cálculo de la masa de un sólido específico.

💡Cilindro

Un cilindro es una forma geométrica que consiste en un cilindro de base circular y un eje perpendicular a la base. En el contexto del video, el cilindro define una de las caras límite del sólido cuya masa se desea calcular. La ecuación del cilindro en coordenadas cartesianas es x^2 + y^2 = 1.

💡Planos

Los planos son superficies bidimensionales que se utilizan para definir límites en el espacio tridimensional. En el video, se mencionan dos planos específicos: uno que es paralelo al eje z y otro oblicuo definido por la ecuación 7 = 2 - x. Estos planos junto con el cilindro forman las caras límites del sólido.

💡Densidad

La densidad es una propiedad física de la materia que indica la cantidad de masa por unidad de volumen. En el video, la densidad es dada como una función de las variables x e y, es decir, ρ(x, y) = √(x^2 + y^2), y es clave para el cálculo de la masa del sólido, ya que se utiliza en la integral triple que representa el volumen del sólido.

💡Coordenadas Cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de referencia espacial alternativo al cartesiano, que es útil para problemas geométricos que tienen simetría cilíndrica. En el video, se utilizan las coordenadas cilíndricas (r, θ, z) para describir el sólido y simplificar el cálculo de su masa, ya que la geometría del sólido se alinea mejor con este sistema de coordenadas.

💡Integral Triple

Una integral triple es una generalización de la integral doble a un volumen tridimensional. En el video, se utiliza la integral triple para calcular el volumen del sólido y, por tanto, su masa, dado que la densidad varía en el espacio. La integral triple se calcula sobre el volumen del sólido multiplicado por la función de densidad.

💡Volumen Diferencial

El volumen diferencial es una pequeña porción de volumen que se utiliza en cálculos integrales para aproximar áreas o volúmenes. En el video, el volumen diferencial en coordenadas cilíndricas es dr dθ dz, y se utiliza en la integral triple para calcular el volumen y, finalmente, la masa del sólido.

💡Proyección en el Plano xy

La proyección en el plano xy implica visualizar el objeto en un plano bidimensional, lo que a menudo simplifica el análisis geométrico. En el video, la proyección del sólido en el plano xy es un círculo de radio 1, lo que ayuda a entender la geometría del sólido y a establecer límites para las coordenadas cilíndricas r y θ.

💡Curva de Interacción

La curva de interacción se refiere a la forma que sigue la intersección de dos superficies en el espacio tridimensional. En el video, la curva de interacción entre el cilindro y el plano oblicuo es importante para definir los límites del sólido y, por lo tanto, para calcular su masa.

💡Coordenadas Cartesianas

Las coordenadas cartesianas son un sistema de numeración en el espacio tridimensional que utiliza tres ejes perpendiculares entre sí: x, y y z. En el video, las coordenadas cartesianas se usan inicialmente para definir el cilindro y los planos que limitan el sólido, y más tarde se transforman en coordenadas cilíndricas para el cálculo de la masa.

💡Función de Densidad

La función de densidad es una expresión matemática que relaciona la densidad de un material con sus coordenadas espaciales. En el video, la función de densidad es ρ(x, y) = √(x^2 + y^2), lo que indica que la densidad varía con la posición dentro del sólido y es fundamental para el cálculo de la masa.

Highlights

Ejercicio de cálculo de la masa de un sólido limitado por el cilindro x^2 + y^2 = 1 y los planos 7 = 2 - x y 70° si se conoce la densidad como √(x^2 + y^2)

Representación tridimensional del sistema y gráfico del cilindro con la curva directriz como una circunferencia de radio 1

Desarrollo del cilindro en coordenadas cartesianas y su interacción con los planos dados

Identificación de las superficies limitantes del sólido: cilindro, plano oblicuo y plano z = 0

Proyección del sólido en el plano xy revelando un círculo de radio 1

Elección de describir el sólido en coordenadas cilíndricas para facilitar el cálculo

Conversión de las superficies a coordenadas cilíndricas para obtener ecuaciones en r, θ, z

Detección de que la proyección en el plano rz varía en los cuatro cuadrantes, con r variando de 0 a 1

Establecimiento de las coordenadas cilíndricas del sólido con θ variando de 0 a 2π, r de 0 a 1 y z de 0 a 2 - r cos(θ)

Densidad del sólido expresada como una función de las coordenadas x e y

Cálculo de la masa del sólido utilizando la integral triple sobre el volumen del sólido con la densidad dada

Transformación de la función de densidad a coordenadas cilíndricas para integrar

Determinación del diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas como r dr dz dθ

Evaluación de la primera integral con respecto a z, obteniendo una expresión en términos de r

Integración siguiente con respecto a r, resultando en una expresión que incluye r al cubo

Integración final con respecto a θ, proporcionando un resultado en términos de π

Cálculo de la masa del sólido que resulta en aproximadamente 8.38 kilogramos

Explicación detallada y paso a paso del proceso de cálculo, facilitando la comprensión del método