UNIDAD 3: Integrales triples en coordenadas cilíndricas - Masa de un sólido

Summary

En este ejercicio se calcula la masa de un sólido determinado por un cilindro y dos planos. El cilindro está definido por la ecuación x^2 + y^2 = 1, mientras que los planos son 7 = 2 - x y el plano objetivo al eje Z, que es el plano XY. La densidad del sólido es dada por ρ(x, y) = √(x^2 + y^2). Primero, se traza el sólido en un sistema tridimensional y luego se proyecta en el plano XY, revelando un círculo de radio 1. A continuación, se describe el sólido en coordenadas cilíndricas, donde se determinan las magnitudes r, θ y z. Finalmente, se calcula la masa del sólido a través de una integral triple, considerando la densidad y las coordenadas cilíndricas, lo que resulta en una masa aproximada de 8,38 kilogramos.

Takeaways

• 📐 Se presenta un ejercicio para calcular la masa de un sólido limitado por un cilindro y dos planos específicos.
• 📏 La densidad del sólido es dada por la fórmula ρ(x, y) = √(x² + y²), con las unidades en kilogramos/cúbico metro.
• 📏 Las variables x e y están en metros y la densidad varía en función de estas coordenadas.
• 🎨 Se inicia la solución con la representación gráfica del sistema tridimensional y las superficies que definen el sólido.
• 🔢 Se describen las ecuaciones de las superficies: cilindro (x² + y² = 1), plano oblicuo (z = 2 - x) y plano horizontal (z = 0).
• 📈 Se proyecta el sólido en el plano xy, obteniendo un círculo de radio 1, que se utiliza para describir el sólido en coordenadas cilíndricas.
• 🧮 Se cambian las ecuaciones de las superficies al sistema de coordenadas cilíndricas para facilitar el cálculo.
• 📉 Se determina la variación del radio en el plano xy, que varía desde el origen hasta la circunferencia del cilindro.
• 📐 Se establece la descripción del sólido en coordenadas cilíndricas, con r variando de 0 a 1 y θ de 0 a 2π.
• ∫ Se utiliza la integral triple para calcular la masa del sólido, integrando la densidad multiplicada por el diferencial de volumen.
• 🧮 Se desarrolla la integral triple paso a paso, integrando primero respecto a zeta (z), luego a r y finalmente a θ.
• 📌 Se evalúa la integral triple para obtener la masa del sólido, resultando en aproximadamente 8.38 kilogramos.

Q & A

¿Cuál es el límite del sólido que se está calculando la masa?

El sólido está limitado por el cilindro x^2 + y^2 = 1, el plano oblicuo 7 = 2 - x y el plano horizontal z = 0 que es el plano xy.

¿Cómo se representa gráficamente el cilindro en el espacio tridimensional?

El cilindro se representa gráficamente como una circunferencia de radio 1 con sus generatrices paralelas al eje z.

¿Cuál es la ecuación del plano oblicuo que limita el sólido?

La ecuación del plano oblicuo es z = 2 - x, y se denota como superficie S1 en el texto.

¿Cómo se describen las coordenadas cilíndricas en el contexto del ejercicio?

Las coordenadas cilíndricas son r, θ y z, donde r es el radio desde el eje z hasta el punto en el plano xy, θ es el ángulo en el plano xy y z es la coordenada axial.

¿Cómo se determina la densidad del sólido en el ejercicio?

La densidad del sólido se describe como ρ(x, y, z) = √(x^2 + y^2), y en coordenadas cilíndricas, dado que y = r * sen(θ), la densidad se convierte en ρ(r, θ, z) = 2√(r^2) = 2r.

¿Cuál es la proyección del sólido en el plano xy?

La proyección del sólido en el plano xy es un círculo de radio 1, ya que el cilindro x^2 + y^2 = 1 proyecta como tal en el plano xy.

¿Cómo se calcula el volumen del sólido?

Para calcular el volumen del sólido, se utiliza la integral triple de la densidad sobre el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas.

¿Cuál es la integral triple que se utiliza para calcular la masa del sólido?

La integral triple utilizada es ∫₀²∫₀¹∫₀²−rcos(θ) ρ(r, θ, z) r dz dr dθ, con ρ(r, θ, z) = 2r.

¿Cómo se evalúa la integral triple para encontrar la masa del sólido?

Se evalúa la integral triple de la siguiente manera: primero se integra con respecto a z, luego con respecto a r, y finalmente con respecto a θ. Esto resulta en una masa del sólido de aproximadamente 8.38 kilogramos.

¿Cuál es la masa final del sólido que se calculó?

La masa final del sólido, después de evaluar la integral triple, es aproximadamente 8.38 kilogramos.

¿Por qué se utilizan coordenadas cilíndricas para describir el sólido?

Las coordenadas cilíndricas son útiles para describir figuras que tienen simetría cilíndrica, como es el caso del cilindro en el ejercicio. Facilitan la descripción y el cálculo del volumen y la masa del sólido.

¿Cómo se determina el rango de variación del radio r en las coordenadas cilíndricas?

El rango de variación del radio r se determina de 0 a 1, ya que el radio varía desde el polo (origen) hasta el radio del cilindro, que es 1.