Teoremas de derivación. Reglas básicas para derivadas. Cálculo diferencial
Summary
TLDREn este video, se presentan reglas básicas para derivar funciones. Se explica que la derivada es el límite matemático aplicado a una función y se discuten distintas nomenclaturas para representarla. Se cubren cuatro teoremas clave: la derivada de una función constante es cero, la de una potencia es el exponente multiplicando a la variable menos uno, la de una función multiplicada por una constante es la constante multiplicando la derivada de la función, y la de una suma o resta de funciones es la suma o resta de sus derivadas individuales. Este resumen es una guía para entender los conceptos fundamentales de derivación en matemáticas.
Takeaways
- 📚 La definición formal de una derivada involucra la aplicación de un límite matemático.
- 📊 Existen varias nomenclaturas para expresar una derivada, como F prima de x, dy/dx, y' y derivada de F respecto a x.
- 🔍 Cada nomenclatura tiene características que pueden ser aprovechadas en ciertos casos específicos.
- 🔢 La derivada de una función constante es igual a 0, sin importar el valor de la constante.
- 📈 La derivada de una función de la forma f(x) = x^n es n * x^(n-1).
- 🧮 La derivada de una función multiplicada por una constante se calcula multiplicando la constante por la derivada de la función.
- ➕ La derivada de una suma o resta de funciones se obtiene derivando cada término de forma individual.
- 🔄 El teorema sobre la derivada de una constante aplicada a un ejemplo: la derivada de f(x) = -3 es 0.
- 📉 El teorema sobre la derivada de potencias aplicado a un ejemplo: la derivada de f(x) = x^7 es 7x^6.
- 🧠 El teorema sobre la derivada de una constante por una función aplicado a un ejemplo: la derivada de 3x^4 es 12x^3.
Q & A
¿Cuál es la definición formal de una derivada en matemáticas?
-La definición formal de una derivada involucra la aplicación de un límite matemático, que se utiliza para calcular el cambio instantáneo de una función con respecto a una variable.
¿Cuántas nomenclaturas diferentes se mencionan en el guión para expresar una derivada?
-Se mencionan varias nomenclaturas para expresar una derivada, incluyendo F'(x), dy/dx, dy y dx/dx, y la derivada primera de F con respecto a x, entre otros.
¿Qué ventaja se tiene al utilizar cierta nomenclatura para derivar?
-Cierta nomenclatura puede ayudar a observar claramente qué letra representa la función o variable dependiente y cuál es la variable independiente con respecto a la cual se está derivando.
¿Qué teorema se presenta primero en el guión y qué dice?
-El primer teorema presentado trata sobre la derivada de una función constante. Si F está definida como c, entonces la derivada de F es igual a 0.
¿Cómo se calcula la derivada de una función que es una potencia de x según el guión?
-Si la función está definida como F = x^n, entonces la derivada de F es n * x^(n-1), donde el exponente original pasa a multiplicar la variable x y se le resta una unidad al exponente.
¿Cómo se determina la derivada de una función multiplicada por una constante según el guión?
-Si la función G está definida como una constante c multiplicada por la función F, entonces la derivada de G es la constante c multiplicada por la derivada de F.
¿Qué dice el teorema 4 sobre la derivada de la suma o resta de funciones?
-El teorema 4 indica que si una función H está definida por la suma o la resta de dos o más funciones, entonces la derivada de H es equivalente a derivar cada uno de los términos que componen dicha suma o resta.
¿Cómo se aplica el teorema de la derivada de una constante en un ejemplo sencillo?
-Si tenemos una función definida por F = -3, su derivada, aplicando el teorema de la derivada de una constante, simplemente será igual a 0.
¿Cuál es el resultado de la derivada de una función definida por f = x^7 según el guión?
-La derivada de la función f = x^7, según el teorema de potencias, sería 7x^6, ya que el exponente original 7 pasa a multiplicar a la variable x y se le resta una unidad al exponente.
¿Cómo se calcula la derivada de una función que es una suma de términos, como 5x^3 - x^6, según el guión?
-La derivada de la función H que es 5x^3 - x^6 se calcula derivando cada término individualmente, dando como resultado 15x^2 - 6x^5.
¿Qué reglas básicas de derivación se mencionan en el guión?
-Las reglas básicas de derivación mencionadas en el guión son: 1) La derivada de una constante es 0. 2) La derivada de x^n es n * x^(n-1). 3) La derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. 4) La derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las derivadas de las funciones individuales.
Outlines
📚 Introducción a las reglas de derivación
En este primer párrafo, se presenta una introducción a las reglas básicas de derivación de funciones. Se menciona que la definición formal de una derivada implica el uso de un límite matemático y se destacan diferentes notaciones para representarla, como F'(x), dy/dx, y dx/dx'. Además, se señala que la elección de la notación puede influir en la facilidad de derivación en ciertos casos. Se promete enseñar teoremas que simplifican el proceso de encontrar derivadas, lo cual se ilustra con ejemplos sencillos.
🔢 Teoremas de derivación aplicados
El segundo párrafo se enfoca en los teoremas de derivación y cómo se aplican a funciones específicas. Se describen cuatro teoremas fundamentales: la derivada de una función constante, que es cero; la derivada de una potencia, donde el exponente se multiplica por la variable y se resta uno al exponente; la derivada de una función multiplicada por una constante, que es la constante multiplicada por la derivada de la función; y la derivada de la suma o resta de funciones, que implica derivar cada término por separado. Se proporcionan ejemplos prácticos para ilustrar cada teorema y se resalta la importancia de estos principios para simplificar el proceso de derivación.
Mindmap
Keywords
💡derivada
💡límite matemático
💡notaciones
💡función constante
💡potencias
💡teoremas
💡función multiplicada por constante
💡suma o resta de funciones
💡variable dependiente
💡variable independiente
Highlights
Se mostrarán reglas básicas para derivar funciones.
La definición formal de una derivada involucra el uso de límites matemáticos.
Existen diversas nomenclaturas para expresar una derivada.
Se pueden usar F'(x), dy/dx, dy, y f'(x) entre otras notaciones.
Las nomenclaturas varían y pueden ser útiles en diferentes situaciones.
Se puede observar claramente la variable dependiente y la independiente en ciertas nomenclaturas.
Los teoremas simplifican el proceso de encontrar derivadas.
El teorema 1 establece que la derivada de una función constante es 0.
Se ilustra el teorema 1 con el ejemplo de la función F = -3.
El teorema 2 trata sobre la derivada de potencias de x.
La derivada de x^n es n*x^(n-1).
Se aplica el teorema 2 al ejemplo de la función f = x^7.
El teorema 3 explica la derivada de una función multiplicada por una constante.
La derivada de una constante c multiplicada por una función F es c*f'(x).
Se ejemplifica el teorema 3 con la función 3x^4.
El teorema 4 se refiere a la derivada de la suma o resta de funciones.
La derivada de una suma/resta es la suma/resta de las derivadas de los términos individuales.
Se ilustra el teorema 4 con la función H = 5x^3 - x^6.
Se resumen las reglas básicas de derivación vistas en el video.
Se espera que el material sea útil para los espectadores.
Transcripts
Hola matemáticas sencillas aquí en este
video mostraré algunas reglas básicas
para derivar
funciones como he ilustrado en un video
con anterioridad La definición formal de
una derivada involucra la aplicación de
un límite matemático tal Como se muestra
podemos observar que existen varias
nomenclaturas para expresar una derivada
tales como F prima de
x d y sobre dx o diferencial de y sobre
diferencial de x y prima derivada de F
con respecto a x entre
otros cada nomenclatura tiene
características diferentes que pueden
ser mejor aprovechadas en ciertos casos
Como por ejemplo en esta nomenclatura
podemos observar claramente Qué letra
representa la función o variable
dependiente y cuál es la variable
independiente o variable con respecto a
la cual se está derivando y claro todas
estas nomenclaturas representan la
derivada es decir la aplicación de este
límite
matemático también como pudimos observar
en el video sobre la derivada la
resolución de dicho límite en ocasiones
puede involucrar funciones que generen
un análisis matemático extenso profundo
y en ocasiones
complicado sin embargo gracias a
diversos teoremas podemos encontrar la
derivada de funciones de una manera más
sencilla Así que te mostraré dichos
teoremas Empezando por el número uno que
trata sobre la derivada de una función
constante si c es una constante y
tenemos una función F F que está
definida como c entonces la derivada de
F es igual a 0 y aplicándola en un
ejemplo muy sencillo nos queda de la
siguiente manera si tenemos una función
definida por F = -3 su derivada simple y
sencillamente será igual a
0 este teorema se aplica de igual manera
si es que nuestra función original
fuera 5 10 100 1000
0.4
3/5 pi etcétera de igual manera su
derivada seguiría siendo
cer nuestro siguiente teorema trata
sobre la derivada de potencias y nos
dice así si tenemos una función definida
por F es igual a x a la n entonces la
derivada de F es n * x a la n - 1 puedes
observar que el exponente original n
pasa a multiplicar a la variable x y al
exponente original le restamos una
unidad Así que aplicando esto nos va a
quedar de la siguiente manera con este
ejemplo si tenemos una función definida
por f = x a la
7 su derivada será 7x a la 6 como puedes
observar el exponente original 7 pasa a
multiplicar a la variable x y el
exponente se transforma en 7 - 1 =
6 el teorema 3 nos habla sobre la
derivada de una función multiplicada por
una
constante sea una función G definida por
la constante c por la función F entonces
la derivada de la función G va a ser la
misma constante c por la derivada de la
función como te podrás dar cuenta la
constante la dejamos tal cual está y
procedemos a derivar la función F
aplicando un ejemplo nos queda de la
siguiente manera si tenemos una función
definida por 3x a la 4 que como te
puedes dar cuenta bien puede ser
expresada también como 3 por x a la 4 de
tal manera que puedas observar que el 3
representa la constante su derivada va a
ser 3 por la derivada de X a la 4 es
decir 12x a la 3 En
conclusión la
constante permanece igual y uno se
enfoca en derivar la función que la
multiplica
finalmente el teorema 4 habla sobre la
derivada de la suma o resta de dos o más
funciones y nos dice
así si tenemos una función H definida
por la suma o la resta de dos o más
funciones entonces simplemente la
derivada de esa función H va a ser
equivalente a derivar cada uno de los
términos que componen dicha suma o dicha
resta y aplicándola en un ejemplo muy
sencillo si tenemos una función H que es
5x a la 3 - x a la 6 la derivada de H
simple y sencillamente es derivar estos
dos términos es
decir 3 * 5 15 y al exponente 3 le
restamos 1 nos queda 2 y de igual manera
aquí x a la 6 su derivada sería 6x a la
5 Así
que Cuáles son las reglas básicas de
derivación que hemos visto el día de hoy
Bueno vamos a hacer un breve repaso y
son las siguientes la primera es que si
tenemos una función que es igual a una
constante entonces su derivada
simplemente será cer0 la segunda nos
dice que si tenemos una función x a la n
su derivada será n * x a la n - 1 el
tercer teorema nos dice que si tenemos
una constante por una función la
derivada será la misma constante por la
derivada de la función F y finalmente si
tenemos la sumatoria de dos o más
funciones o la resta de dos o más
funciones la derivada va a ser
equivalente a derivar cada uno de los
términos que componen dicha sumatoria o
dicha
resta esperando que este material haya
sido de provecho para ti nos vemos
pronto para otra demostración de
matemáticas
sencillas
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